主题：【原创】简单而深奥的博彩问题：1.为什么久赌必输？ -- 陈经
家园 听说过online gambling上的Bonus hunter 吗？ 他们也算“久赌”的吧。
家园 他們正好是“不久賭”賺錢的典型 他們賺錢的原理是注冊得到bonus，但是一旦得手就不
繼續玩，繼續去別地注冊。對祂們來說，賺錢的概率
幾乎是100%。如果他們真的玩起來了，很可能會輸的。
家园 先献花一通，热烈欢迎陈兄，再研究论题。 50%胜率会输光的论证要仔细研究，直觉上似乎有问题。
家园 献花一朵，再请教六个问题 仔细看完了老兄的文章，有三点不解，试与老兄探讨如下：
一、输赢概率严格为50%的时候，赌徒会输光
老兄的证明过程如下：
假设赌徒的初始资金是n，每赌一次或输或赢，资金分别变为n+1和n-1。求一直赌下去资金变为0的概率是多少？假设从n开始一直赌下去变为0的概率是T(n).
那么我们有：
T(0) = 1
T(n) = ( T(n-1) + T(n+1) )/2, 对n > 0.
这第二个式子相当于数n有一半机会变成n-1，一半机会变成n+1。
那么变换一下相当于T(n+1) = 2T(n)-T(n-1)。
设T(1)的值为a, 那么显然0<a<=1。利用T(n+1) = 2T(n)-T(n-1)
T(1) = a
T(2) = 2a - 1
T(3) = 2(2a-1) - a = 3a - 2
T(4) = 4a - 3
...
T(n) = na - n + 1.
我们知道T(n) >= 0对于任意的n成立。所以a必须为1.
所以我们证明了T(1) = 1. 同样的过程可以得到T(2) = 1, ...,
一直下去，T(n) = 1. 证毕。
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对此，我有三个问题：
1、老兄论证的前提是，赌徒的输赢概率都是50%。那么，是否可以理解为和他对赌的赌场，输赢概率也是50%？
如果是这样，赌场从n开始一直赌下去变为0的概率，可否使用上述的公式进行计算？如果能，赌场也会输光；如果不能，请指教一下，为什么不能这么计算？老兄后文说，赌场的资金无穷大；但是在此处，老兄的公式似乎并未对此做出任何限制啊。
那么，究竟能不能用这个计算结果，来论证输赢概率都是50%的赌场，最终必然输光？在这里，赌场，和赌客，又有什么区别？
2、赌徒如果赢输的单位都是1的话，或许老兄的解释有道理。但是，如果赢的单位是2，输的单位是1，又当如何？在赌场里，经常有加注的情况出现；这时候，就肯定不是押1，必然输1或赢1的问题了。对此，也请老兄指教一下；
3、恐怕要指出，老兄所说
T(0) = 1T(n) = ( T(n-1) + T(n+1) )/2, 对n > 0.
这第二个式子相当于数n有一半机会变成n-1，一半机会变成n+1。
这个立论过程似乎不太严谨。顺便说一句，
T(n) = ( T(n-1) + T(n+1) )/2, 对n > 0.这句话是有问题的。老兄拟出如此公式，不知道是出于怎样的考虑？因为按老兄对T（n）的定义，这个公式应该被解释为
“从n输到0的概率，等于（从n-1输到0的概率）与（从n+1输到0的概率）的中值”。
百思不得其解。这个推论是怎么来的？为什么？
举个简单的例子，如果n=5，也就是说我拿了5块钱，那么我这5块钱输光的概率，就介于输光4块和输光6块之间，而且还正好是它们的中间值。
——为什么呢？
看等式的右边，
( T(n-1) + T(n+1) )/2,实际的意义似乎应该是某一次赌博的输赢概率。可是，无论是T（n-1），还是T（n+1），说的又都是累计多次赌博并输到0的概率，这。。似乎不太对啊……
老兄能解释一下吗？
二、赌场怎么靠50%的概率发大财的？
以老兄的说法，赌场和上面说的赌徒似乎没有什么区别，输赢概率都是50%。可因为
赌场的初始资金相当于无穷大，所以，它可以耐心地等待所有赌徒输光为止。对此，我也有两个问题，请老兄指教：
1、赌徒，如果没有等到输光就走了，情况会有什么变化？据我所知，确有很多赌徒经常一赌到底；但是，也一样有很多人秉持“小赌怡情”的原则，玩玩就走了——赌场还没等到这些人输光，而输赢概率又各是50%，——先不说累计的概率怎么计算，赌场在这种情况下，还一定是胜家么？
流水客人的钱没挣到，还很可能被赢走了一小笔——因为概率是50%——而赌场的大财，是不是只能发在那些焊在赌场的人身上呢？
2、这个问题大概更实在一些。想来，老兄应该是知道赌场有“抽头”一说，也即不管谁赢，都必须付出一定金额的款项（以筹码代替）给赌场的代表人——庄家。押大小如此，轮盘赌上更是直接划出一个区域，针转到这位置钱就得归庄家，赌客只能去押这个轮盘的其它区域。形象一点说，庄家稳占10%的胜利几率，其余人赌，只能是45%对45%——他们赌客谁赢庄家不管，反正那是他们自己的钱；但是对于每个赌客来说，胜率就只有45%了；如果是赌客和庄家对赌，庄家的概率更要高达55%，赌客是45%——在可统计的条件下，庄家应该是总体获利的。
至于普遍的老虎机，那概率无论如何不是50%吧……
以前看过某文，具体记不清楚了，说赌场的利润，主要来自于作弊和抽头。我的问题就是：既然赌场光靠50%的输赢概率就能稳赢，为什么还要作弊和抽头？那样公平地赌，虽然或许钱来的慢一点，但不是更有说服力和公信力么？
另外一个顺带的问题是，不知道老兄能不能介绍一下世界上哪个赌场，是不依靠作弊和抽头，只严格依靠50%输赢概率运营的？
三、尊夫人在赌场“跑马”稳胜
这个我也有一个问题，希望老兄能点拨一下：
1、各地麻将规则迥异，实在不知道老兄当地的规则如何。不过看遍全文，似乎仍然只允许一家胡牌，算为胜利。那么，
她随机抽取牌，抽中胡牌的人就赢，抽中其它人就输，这个是绝对的50%概率。
实在有点不太明白，难道老兄当地的规则，只允许两人对打么？可前后文一看，又不是这么回事。明明4个人打，抽中胡牌的人概率为什么是
绝对的50%？即便如文中所说，一次可以抽四张牌，且每一盘里，4个人中只有1个人可能胡牌，那么
第一张抽中胡牌人的概率= 1/4 = 25%
第二张抽中胡牌人的概率= 1/4 = 25%
第三张抽中胡牌人的概率= 1/4 = 25%
第四张抽中胡牌人的概率= 1/4 = 25%
因此，四张牌全部抽不中的概率就是
（1 - 25%）*（1 - 25%）*（1 - 25%）*（1 - 25%）= 0.31640625 ≈ 31.6 %
换言之，只有小于三分之一的可能，尊夫人的“跑马”将落空——而在剩下的68.4%的可能性里，尊夫人由于押对了胡牌的人，将跟着胡牌的人收钱。
问题是，胡牌的人可能是庄家，也当然可能不是庄家——如果是庄家自摸，三家要给；如果是点了庄家的炮，该怎么算？如果是非庄家自摸，庄家要给多少？如果是非庄家非自摸，又该怎么算？
这样一来，由于老兄没有提供足够的信息，而且计算起来也太繁杂，“尊夫人究竟会不会赢钱”就变成了一个很麻烦的问题。
但是，如果尊夫人押对了胡牌人，从输赢的角度讲，就相当于她自己也胡了牌；根据上面的计算，尊夫人胡牌的概率正是68.4%——而如果不考虑有人作弊、不考虑运气因素、不考虑水平高低的话，牌桌上打牌的四位，每个人胡牌的概率应该都是四分之一，即25%。
这就是说，尊夫人胡牌的概率，比在桌上打牌的人胡牌的概率要高得多得多——我个人的猜测是，这才是尊夫人赢钱（如果真赢了的话，呵呵）的根本原因；而未必是老兄所说，因为她占据了50%的“概率必胜点”。
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我的数学一塌糊涂，但是确实对老兄的论证有疑问；希望高人能予以指点，当然，更希望老兄能指教一下在下，谢谢了！
以及，老兄关注的这个赌场问题，确实很有意思；花一朵，盼望老兄续作！
元宝推荐：ArKrXe,家园 詳細回答如下 1.賭場和賭客的區別
賭場錢比賭客多多了，這就是區別。我証明的是，一個數n
每次加1或者減1，則達到0的概率是1。實際上，如果允許負
數也繼續玩，達到任何數的概率都是1。現實中，不允許負
數繼續，所以到達0就停止了。實際的數學模型是，兩個數
m和n每次各自加減1，有一個數到0就停止。如果m遠大於n，
那麼n變成0的概率就是1。
2.50%的意思，是指的資金回報率，而不是勝負的次數。如
果賭客每次勝得2元輸虧1元，那麼賭場應該調整概率使得
賭客輸的次數是勝的次數的2倍。
3.T(n) = ( T(n-1) + T(n+1) )/2 怎么來的
讓我記住，T(n)的意思是一直玩下去達到0的概率。那麼你從
n開始，做1萬次實驗。5000次第二步到了n-1，另外5000次是
到了n+1。所以n輸光的情形是，一半的情況是以"從n-1開始”
的方式輸光，另一半的情況是以“從n+1開始”的方式輸光。
這是一個最簡單的概率公式，沒法再解釋下去了。
4.賭徒沒輸光就走了，賭場怎么賺？
沒輸光就走的賭徒們有兩種，一種是賺了的，一種是賠了的。
如果是50%概率，這些賭徒們總的輸贏是0。賭場賺不到他們的
錢，但是也不會虧。但是輸光了的賭徒就是絕對輸給賭場了，
他們的數量很多，賭場賺他們的錢就夠了。
5.賭場作弊和抽頭
據我所知，上檔次的賭場不靠作弊，他們主要的技朮工作是
防止賭客作弊。抽頭是這樣的，有一些賭局是賭客們對賭，
輸贏與賭場無關，賭場當然得去抽頭。有一些50%賭局，如
押大小，賭場是不抽頭的。不然你50%的概率押10塊贏9塊，
輸就是輸10塊，一目了然地不利，你不會去玩的。
從利潤最大化角度，如果賭場覺得抽頭不會減少賭客就會去
抽頭，象老虎機、輪盤賭之類的，反正你也算不清楚，必輸
還來玩，我不抽白不抽。但不要以為賭場50%概率的那些賭
局是不賺錢的，這些表面是絕對公正的50%賭局是賭場利潤
的一大來源。
香港馬會就是一個靠50%概率發大財的賭場。它真的不作弊
也不抽頭，它就是通過設置陪率50%地和賭客對賭足球、賽
馬之類的。它贏了錢還被政府抽頭，賭客贏錢就不用給政府
錢。就這樣，馬會還發得不得了。
6.我老婆打麻將“跑馬”贏的概率
我說她的概率是50%，指是的資金回報率。她隨機的亂抽，
抽中胡牌的人就收錢，抽中不胡的人就賠錢。她收到的錢
與賠的錢應該是大至相等的。相當於她初始資金1000元，
這1000元一段時間後變成900元與變成1100元的概率是一
樣的，這樣就可以用我們的n加1減1的模型了。並不是說
她收到錢的次數與賠錢的次數一樣。
家园 顶！虽然我看不大明白。但是陈经的场子是一定要捧的，花！ 家园 二。赌场怎么靠50%的概率发大财的？ 二。赌场怎么靠50%的概率发大财的？
概率上明显对庄家有昨的赌局固然是庄家赢钱的一种方法，但并非赌场发财的根
本之计。对于赌场来说，最重要的一点，是保证赌局的概率不倾向赌徒，也就是
说50%的输赢概率是最好的赌局。如果赌局倾向赌徒，则庄家会输钱，这很容易
理解。所以庄家们用各种方法防止赌徒们搞出大于50%的胜率。庄家需要的，只
是50%，就可以稳赚不赔了，大的赌场甚至可以每年给政府交好几亿的税。
就如压大小，这是一种理论上胜率是50%的绝对公平的赌局。理论上，一个赌场
只要保证很多人来玩，而且开大开小真的是绝对随机事件，就可以天天稳定的赚
钱了。
这种理论猛一听上去很没道理。你庄家和赌客们用50%的概率赌了一年，既然是
50%，那你赢赌客们的钱和输给赌客们的钱总是差不多的，怎么可能多出上亿的
钱交给政府？所以，结论就是，庄家们胜的概率肯定大于50%。赌徒们没看出来
庄家其实占便宜了，还以为是50%。那押大小的管开牌的人肯定有什么花样，只
不过我们不知道。
上面这种说法就是典型的误解。实际上开大小这种赌法真的只是50%的概率，赌
场并没有搞什么花头。只不过赌场就靠这50%发了大财。
要搞清楚这个道理，就得靠上面所说的“久赌必输”原理了。我们还是搞个简单
的模型，假设有1万个赌客，每人资金100元，和庄家玩压大小，每次压1元，一直
玩下去。根据久赌必输原理，1万个赌客在或长或短时间里全部输光了，庄家手里
多了100万元。不信的话你去写个计算机程序模拟一下，就知道庄家的钱真的是越
来越多的。
怎么回事？赌场真的赚钱了，也好理解啊？前面的理解到底错在哪里？关键在于，
50%的概率的同时，还要看初始资金的多少。赌场的初始资金相当于无穷大，如果
和资金有限的赌客对赌，它最终全胜的概率是1。赌客输光了，他就没法玩了，只
好回去。赌场是不会让你无限欠钱赌下去的。
“久赌必输”原理有一个很有意思的推论：如果可以一直赌（负值也可以玩），资
金到达任何数值的概率都是1。但这个推论无法在赌场中运用，只有“久赌必输”
在赌场中天天发生。
所以赌场中发生的故事就是这样的：许多赌客带钱来了（可能有几千万，相对于
赌场仍然太少），赌了一段时间输光了，只好回去了。概率上如果他有资格欠钱
一直赌下去，他是可以等到扳本的时候再回去的。但是赌场不准赌客输光了继
续賭，所以输光了回去的人远多于成功扳本了再回去的人数。如果赌场允许人们
负资产也能赌，那么它就赚不到钱了。
家园 【文摘】《别闹了，费曼先生》里的赌徒 第一次到赌城，我就坐下来把所有机率算出来，发现
掷骰子的机率是0．493之类。如果我赌一块钱，实际上我
只要花1．4毛钱。于是我跟自己说：“为什么这么不想赌
呢？花不了多少钱的！”
我开始下注——一下子我就连续输了5元——就那么1
元、2元、3、4、5元。理论上我应该才输掉7分钱， 但我
已输了5元了！从此我也没再赌过钱了 （就是说，如果要
用我自己钱的话）。我真幸运，一开始就输钱。
还有一次，我在跟一位表演女郎吃午餐。那是个安静
的下午，没有平常的嘈杂，她说：“看那边那个人，在草
地上走的那个？他是‘希腊历克’，是个职业赌徒。”
我很清楚在赌城赢钱的机率有多大，便说：“他怎么
可能靠赌维生？”
“我叫他过来。”
历克过来，她介绍我们认识。“玛丽琳说你是个职业
赌徒。”
“没错。”
“我很想知道你怎么可能靠赌博维生，因为像骰子之
类的机率才0．493。”
“你说的对，”他说：“让我解释给你听。我不赌骰
子或什么的。我只赌那些对我有利的。”
“喝！它们什么时候对你有利过？”我不相信地问。
“其实这也很容易，”他说。“我就在赌桌旁闲逛，
如果有人说：‘9点！一定是9点！’那人兴奋极了，他认
定这是9点，而且正想下注。我早已计算出所有机率， 于
是我说：‘我跟你赌4元对你3元，这不是9点！’ 长期来
说我会赢。我不直接下注在骰子上，但我跟其他赌客赌—
—他们都有偏见，迷信一些幸运数字。”
历克继续：“现在我已声名在外，就更好办了，因为
很多人会来跟我赌。就算他们知道机会不怎么大，但只为
了如果真的赢了希腊历克，就可以四处告诉别人。我是真
的靠赌博维生，这种生活也好极了！”
希腊历克确是个很有学问的角色，他人很好。我谢谢
他教了我这么多，现在我全都明白了。知道吗？我总喜欢
弄明白这个世界到底是怎么一回事！
家园 老兄这个例子不妥 在赌场（至少澳门的），大小并不是50％的概率。
例如庄家开出3个6，18点，应该是大，但是除非你押中“666”，其他都是庄家赢。
楼下赵扩的想法也不行，赌台上是有押注金额限制的，例如葡京的赌场限制是一次投注相当于赔偿金额8万的金额。
另外，赌场有权利不欢迎某些客人入场。