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主题:【原创】简单而深奥的博彩问题:1.为什么久赌必输? -- 陈经

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  • 家园 【原创】简单而深奥的博彩问题:1.为什么久赌必输?

    简单而深奥的博彩问题

    一。为什么久赌必输?

    赌徒们用经验主义总结出了“久赌必输”这个道理,但能明白其中的数学原理的

    人没有多少。

    久赌必输,很多人以为根本原因是“庄家”用各种方法设置赌局甚至出老千,使

    得赌局概率上偏向庄家不利于赌徒,长久下来,赌徒们就不行了。这是一种错误

    的理解。

    赌徒们输光,原因在于“久賭”。只要一次赌博赢的概率小于或者等于50%,赌徒

    就必输光。概率小于50%长久会输光容易理解,但是等于50%也会输光么?这并不

    很直观,也许不符合直觉,但可以有很简单的数学证明。

    假设赌徒的初始资金是n,每赌一次或输或赢,资金分别变为n+1和n-1。求一直

    赌下去资金变为0的概率是多少?假设从n开始一直赌下去变为0的概率是T(n).

    那么我们有:

    T(0) = 1

    T(n) = ( T(n-1) + T(n+1) )/2, 对n > 0.

    这第二个式子相当于数n有一半机会变成n-1,一半机会变成n+1。

    那么变换一下相当于T(n+1) = 2T(n)-T(n-1)。

    设T(1)的值为a, 那么显然0<a<=1。利用T(n+1) = 2T(n)-T(n-1)

    T(1) = a

    T(2) = 2a - 1

    T(3) = 2(2a-1) - a = 3a - 2

    T(4) = 4a - 3

    ...

    T(n) = na - n + 1.

    我们知道T(n) >= 0对于任意的n成立。所以a必须为1.

    所以我们证明了T(1) = 1. 同样的过程可以得到T(2) = 1, ...,

    一直下去,T(n) = 1. 证毕。

    这个证明过程并不是很容易想到(本人没看过参考资料,全是自己想的,但数

    学理论界肯定早有这样的结果了),但绝不是特别难的东西。

    这样,我们得到了一个有些违背直觉的结论:无论你有多少钱,你用50%的概率

    赌下去,“久赌必输”。有些赌徒会一次押多些,不是一次1单位,但我们并不

    难认同,这只会改变输的方式,只要是50%的概率,最后总是输光的。


    本帖一共被 2 帖 引用 (帖内工具实现)
    • 家园 Gambler's Ruin

      不过其实这个对双方一样,所以就看谁钱多

    • 家园 什么乱七八糟的,一个简单的悖论!

      两人掷硬币对赌,一直赌下去,都输光,谁赢了?

      • 家园 在这个模式里,没有赢家

        两个人抛硬币,最后都输光,谁赢了?

        首先,这个模式里,不是两个人对赌,而是一个人和一个无穷大的系统对赌。这个人的输赢,并不会造成这个系统的增减。

        其次,这个游戏没有设定结束的条件。因此,即使是两个人对赌,赌到一个人全都输给另一个人的时候,输光的那个人出局,因为他再也没有筹码赢回来。而赢的那个人还要和第三个人接着赌......

      • 家园 这个问题我曾经也提过,不过这里是假设和庄家玩

        庄家的筹码远胜于玩家,由于赌博中玩家都倾向于输钱,所以玩家会先输光。

    • 家园 【原创】这个结果我是这样理解的

      这个结果容易理解。

      如果赌博从n开始,并且没有定死什么时候结束,就是默认永远进行下去。

      然而,既然总是有概率变小,那么就一定有概率变成0。于是就有了以下过程:

      如果还没变成0,那么,继续;

      如果已经变成0,那么赌博结束。

      所以只要赢得概率不是100%,那么最终的结果都是0。

      • 家园 直观来说,正是这样

        这要求对手是无限大,或者是极大。

        事实上也不要求多大,10倍就够你喝一壶的了。前提是你的目的是赢光对手。

        还有一个问题在于波动大小的总承受能力。直观上讲,假设每个赌徒钱一样多,赌场有3000个赌徒那么多的钱,那么,如果赌场容纳能力是300个赌徒,前提不变的情况下,这些赌徒基本全死定了。如果有6000个人进来赌,赌场的风险就比较大了。如果是30万人跑进来,赌场基本可以肯定玩完了。这些人全部赌大小,15W2K赌大,14W8K赌小,赌场完蛋的几率是50%……

        问题就在于,30W人的统计涨落直接大于了赌场的资金总量,那你就等着玩完吧。

    • 家园 数学还是让搞数学的人来搞吧

      证明就是要在数学上说明你的理论正确,那么你的证明过程就必须无懈可击。而不是要靠实际情况的限制条件来推导。如果在你证明中没有的条件,你不能用实际中有的条件来限制,否则你的数学证明和你的结论就是两回事。

    • 家园 伪证

      “假设从n开始一直赌下去变为0的概率是T(n).

      那么我们有:

      T(0) = 1

      T(n) = ( T(n-1) + T(n+1) )/2, 对n > 0.

      这第二个式子相当于数n有一半机会变成n-1,一半机会变成n+1。”

      这第二个式子推导的有问题,如果可以这么推的话,你能推导出从n开始一直赌下去变为任意数的概率都是1。

      T(n) = na - n + 1.

      我们知道T(n) >= 0对于任意的n成立。所以a必须为1.

      在之前楼主假设了n〉0,所以这个推导就不成立了。对于n〉0,a可以有无穷多解。

      楼主在下面的回答中,总是强调在实际生活中的限制,那么请问,在实际生活中怎么可能达到无穷多次呢?为什么到0就结束而不是到其他数结束呢?0在这里没有任何特殊的地位,所以你的结论适用于任何数,我也可以从你的推导(假设你的推导正确,实际上根本不正确)中推出:一直赌下去,变成富翁的概率也是1。

    • 家园 【嫁接】为什么久赌必赢?

      一。为什么久赌必赢?.

      赌徒们用经验主义总结出了“久赌必赢”这个道理,但能明白其中的数学原理的

      人没有多少。.

      久赌必赢,很多人以为根本原因是“庄家”用各种方法设置赌局甚至出老千,使

      得赌局概率上偏向庄家不利于赌徒,长久下来,赌徒们就不行了。这是一种错误.

      的理解。

      赌徒们赢光,原因在于“久賭”。只要一次赌博赢的概率小于或者等于50%,赌徒.

      就必赢光。概率小于50%长久会赢光容易理解,但是等于50%也会赢光么?这并不

      很直观,也许不符合直觉,但可以有很简单的数学证明。

      .

      假设赌徒的初始资金是n,每赌一次或赢或赢,资金分别变为n+1和n-1。求一直

      赌下去资金变为2n的概率是多少?假设从n开始一直赌下去变为2n的概率是T(n).

      那么我们有:.

      T(0) = 1

      T(n) = ( T(n-1) + T(n+1) )/2, 对n > 0.

      这第二个式子相当于数n有一半机会变成n-1,一半机会变成n+1。.

      那么变换一下相当于T(n+1) = 2T(n)-T(n-1)。

      .

      设T(1)的值为a, 那么显然0<a<=1。利用T(n+1) = 2T(n)-T(n-1)

      T(1) = a

      T(2) = 2a - 1.

      T(3) = 2(2a-1) - a = 3a - 2

      T(4) = 4a - 3

      ....

      T(n) = na - n + 1.

      我们知道T(n) >= 0对于任意的n成立。所以a必须为1.

      .

      所以我们证明了T(1) = 1. 同样的过程可以得到T(2) = 1, ...,

      一直下去,T(n) = 1. 证毕。

      .

      这个证明过程并不是很容易想到(本人没看过参考资料,全是自己想的,但数

      学理论界肯定早有这样的结果了),但绝不是特别难的东西。

      .

      这样,我们得到了一个有些违背直觉的结论:无论你有多少钱,你用50%的概率

      赌下去,“久赌必赢”。有些赌徒会一次押多些,不是一次1单位,但我们并不

      难认同,这只会改变赢的方式,只要是50%的概率,最后总是赢光的

    • 家园 可以用醉鬼走路概率来解释

      按50%输赢几率,就是赌n次的赌资涨落为n的开平方。n的开方是n的单调函数,既n足够大时,你的赌本就输光了。

      所以,50%几率虽然公平,但赌本长的人赢的几率总大于赌本短的赌徒,因为一旦你赌本输完,你就得滚蛋。

      赌场50%的游戏也能赚钱,因为赌场赌本比谁都长。赌徒有输光的时候,但赌场永远有翻本的机会。

      • 家园 赌场不见得总输不光,不过它有绝招

        首先限注,其次,如果看到有高手出来捞钱会特别关照一下的,当然,人家既然能混成高手,自然知道分寸,不会把自己弄到出门就得仆街,有命赚钱没命花的地步。

    • 家园 赌博要看赌什么

      如果赌钱,这钱是一个人花长时间赚到/挣到的,那就会

      输。赌博关键的是运气,花时间挣钱挣到手,也就是已经

      有了运气:一旦他把这运气重新放到赌场上等于他放弃了

      运气。就像一个人在一座桥上抛接自己的手机玩儿,下场

      一定是掉河里。

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