主题：【原创】简单而深奥的博彩问题：1.为什么久赌必输？ -- 陈经
简单而深奥的博彩问题
一。为什么久赌必输？
赌徒们用经验主义总结出了“久赌必输”这个道理，但能明白其中的数学原理的
人没有多少。
久赌必输，很多人以为根本原因是“庄家”用各种方法设置赌局甚至出老千，使
得赌局概率上偏向庄家不利于赌徒，长久下来，赌徒们就不行了。这是一种错误
的理解。
赌徒们输光，原因在于“久賭”。只要一次赌博赢的概率小于或者等于50%，赌徒
就必输光。概率小于50%长久会输光容易理解，但是等于50%也会输光么？这并不
很直观，也许不符合直觉，但可以有很简单的数学证明。
假设赌徒的初始资金是n，每赌一次或输或赢，资金分别变为n+1和n-1。求一直
赌下去资金变为0的概率是多少？假设从n开始一直赌下去变为0的概率是T(n).
那么我们有：
T(0) = 1
T(n) = ( T(n-1) + T(n+1) )/2, 对n > 0.
这第二个式子相当于数n有一半机会变成n-1，一半机会变成n+1。
那么变换一下相当于T(n+1) = 2T(n)-T(n-1)。
设T(1)的值为a, 那么显然0<a<=1。利用T(n+1) = 2T(n)-T(n-1)
T(1) = a
T(2) = 2a - 1
T(3) = 2(2a-1) - a = 3a - 2
T(4) = 4a - 3
...
T(n) = na - n + 1.
我们知道T(n) >= 0对于任意的n成立。所以a必须为1.
所以我们证明了T(1) = 1. 同样的过程可以得到T(2) = 1, ...,
一直下去，T(n) = 1. 证毕。
这个证明过程并不是很容易想到（本人没看过参考资料，全是自己想的，但数
学理论界肯定早有这样的结果了），但绝不是特别难的东西。
这样，我们得到了一个有些违背直觉的结论：无论你有多少钱，你用50%的概率
赌下去，“久赌必输”。有些赌徒会一次押多些，不是一次1单位，但我们并不
难认同，这只会改变输的方式，只要是50%的概率，最后总是输光的。
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二。赌场怎么靠50%的概率发大财的？
概率上明显对庄家有昨的赌局固然是庄家赢钱的一种方法，但并非赌场发财的根
本之计。对于赌场来说，最重要的一点，是保证赌局的概率不倾向赌徒，也就是
说50%的输赢概率是最好的赌局。如果赌局倾向赌徒，则庄家会输钱，这很容易
理解。所以庄家们用各种方法防止赌徒们搞出大于50%的胜率。庄家需要的，只
是50%，就可以稳赚不赔了，大的赌场甚至可以每年给政府交好几亿的税。
就如压大小，这是一种理论上胜率是50%的绝对公平的赌局。理论上，一个赌场
只要保证很多人来玩，而且开大开小真的是绝对随机事件，就可以天天稳定的赚
钱了。
这种理论猛一听上去很没道理。你庄家和赌客们用50%的概率赌了一年，既然是
50%，那你赢赌客们的钱和输给赌客们的钱总是差不多的，怎么可能多出上亿的
钱交给政府？所以，结论就是，庄家们胜的概率肯定大于50%。赌徒们没看出来
庄家其实占便宜了，还以为是50%。那押大小的管开牌的人肯定有什么花样，只
不过我们不知道。
上面这种说法就是典型的误解。实际上开大小这种赌法真的只是50%的概率，赌
场并没有搞什么花头。只不过赌场就靠这50%发了大财。
要搞清楚这个道理，就得靠上面所说的“久赌必输”原理了。我们还是搞个简单
的模型，假设有1万个赌客，每人资金100元，和庄家玩压大小，每次压1元，一直
玩下去。根据久赌必输原理，1万个赌客在或长或短时间里全部输光了，庄家手里
多了100万元。不信的话你去写个计算机程序模拟一下，就知道庄家的钱真的是越
来越多的。
怎么回事？赌场真的赚钱了，也好理解啊？前面的理解到底错在哪里？关键在于，
50%的概率的同时，还要看初始资金的多少。赌场的初始资金相当于无穷大，如果
和资金有限的赌客对赌，它最终全胜的概率是1。赌客输光了，他就没法玩了，只
好回去。赌场是不会让你无限欠钱赌下去的。
“久赌必输”原理有一个很有意思的推论：如果可以一直赌（负值也可以玩），资
金到达任何数值的概率都是1。但这个推论无法在赌场中运用，只有“久赌必输”
在赌场中天天发生。
所以赌场中发生的故事就是这样的：许多赌客带钱来了（可能有几千万，相对于
赌场仍然太少），赌了一段时间输光了，只好回去了。概率上如果他有资格欠钱
一直赌下去，他是可以等到扳本的时候再回去的。但是赌场不准赌客输光了继
续賭，所以输光了回去的人远多于成功扳本了再回去的人数。如果赌场允许人们
负资产也能赌，那么它就赚不到钱了。
三。我老婆是怎么靠“赌场原理”混麻将场的
我老婆没追求，日常娱乐活动就是看一帮同事朋友打麻将赌钱。有些人麻将打得
和鬼一样精，即使我老婆不笨，也无法在麻将打法上占到便宜，何况。。。
但是有一种赌法是，自己不打在旁边看着，随机的摸几张牌，分别代表正在玩的
四个人。然后一局完了，和那抽中的人一样的输赢。例如东家自摸胡牌了，南西
北三家各输他10块钱。而我老婆抽的四张牌两张代表东，另两张代表西北，那么
她就和两倍庄家一样收入30*2元，付出10*2元，她最后收入40元。如果她抽的四
个都是南西北，那么她就亏了40元。这种玩法叫“跑马”。
老婆抱怨输钱的感觉很不好，她们打得也不算小，一次输下来多了是会肉疼的。
我岳母的态度是不能玩了，坚决禁赌，为此还吵过架。但是我想了一阵子以后对
老婆说，继续玩，不准认输！每次给我带上足足的钱去，绝对不准输光了回来！
不过只准去“跑马”，随便你怎么抓，一局抓多少张都没关系。
从此老婆每次看别人打麻将赌钱都积极参与“跑马”，总是身上带很多钱去。从
此她取得了稳定的正收益。有几个收入不高的赌友都输得没饭吃了，老婆还很同
情地借钱给他们。
老婆在麻将场上相当于当了个赌场庄家。她随机抽取牌，抽中胡牌的人就赢，抽
中其它人就输，这个是绝对的50%概率。就算打牌的四个人技术有高低区别，我仔
细分析，她的概率还真的不受影响，就是50%。我再让她带足够的钱去，这样就相
当于她是当庄和打牌的人50%地对赌。经常是一些牌友钱不够或者输怕了就此认赔
回家，但我老婆有了准备带的钱足以超过一次的输赢额度（因为玩的不很大）。
如果我们明白了上面的“久赌必输”与“赌场必胜”原理，就知道我老婆长久赌
下来是稳赚的。
这样搞了很长时间，老婆真的通过混麻将桌赚到了钱。不过她自己不知道怎么回
事。我也不会试图去向她解释清楚。
看谁的赌本更接近无穷大，谁能熬到底谁就赢...
早年间看过一个翻译故事，讲一个混巴黎的年轻人，混到最后穷困潦倒身上只剩下一个法郎，跑到赌场去试运气结果又输掉了，就在赌场门口大哭起来，过来一个阔佬问他哭什么，他说自己命运多桀，事事不顺。阔佬冷笑说哪有什么命运，你随我来。把他带会去后洗巴洗巴喂饱了，然后说，每天给你一千法郎，专门去赌场赌最大的，保你早晚有赢的一天。这哥们从此就天天去赌场点名，专挑最大的赌，输了就走，潇洒得很。终于有一天他转身要走之时被告知他刚赢了赌场历史上最大一注...
结局比较悲惨 -- 哥们屁颠屁颠回去把支票交给老爷，老爷满意地说：“你看，我说了你会赢的嘛... 好了，你可以走了。” 于是他又重新身无分文...
这个故事里就假设出一个财富可敌赌场的阔佬 -- 没准阔佬也是开赌场的 -- 吃饱了撑得拿人试验概率论...
其实这个掷硬币/赌大小，概率学上早就推算出对赌客最有利的策略，那就是，双倍 -- 输了加倍，再输了再加倍押上... 当然，前提就是得有无穷大赌本，和无穷大赌胆...
仔细看完了老兄的文章，有三点不解，试与老兄探讨如下：
一、输赢概率严格为50%的时候，赌徒会输光
老兄的证明过程如下：
赌下去资金变为0的概率是多少？假设从n开始一直赌下去变为0的概率是T(n).
那么我们有：
T(0) = 1
T(n) = ( T(n-1) + T(n+1) )/2, 对n > 0.
这第二个式子相当于数n有一半机会变成n-1，一半机会变成n+1。
那么变换一下相当于T(n+1) = 2T(n)-T(n-1)。
设T(1)的值为a, 那么显然0<a<=1。利用T(n+1) = 2T(n)-T(n-1)
T(1) = a
T(2) = 2a - 1
T(3) = 2(2a-1) - a = 3a - 2
T(4) = 4a - 3
...
T(n) = na - n + 1.
我们知道T(n) >= 0对于任意的n成立。所以a必须为1.
所以我们证明了T(1) = 1. 同样的过程可以得到T(2) = 1, ...,
一直下去，T(n) = 1. 证毕。
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对此，我有三个问题：
1、老兄论证的前提是，赌徒的输赢概率都是50%。那么，是否可以理解为和他对赌的赌场，输赢概率也是50%？
如果是这样，赌场从n开始一直赌下去变为0的概率，可否使用上述的公式进行计算？如果能，赌场也会输光；如果不能，请指教一下，为什么不能这么计算？老兄后文说，赌场的资金无穷大；但是在此处，老兄的公式似乎并未对此做出任何限制啊。
那么，究竟能不能用这个计算结果，来论证输赢概率都是50%的赌场，最终必然输光？在这里，赌场，和赌客，又有什么区别？
2、赌徒如果赢输的单位都是1的话，或许老兄的解释有道理。但是，如果赢的单位是2，输的单位是1，又当如何？在赌场里，经常有加注的情况出现；这时候，就肯定不是押1，必然输1或赢1的问题了。对此，也请老兄指教一下；
3、恐怕要指出，老兄所说
T(n) = ( T(n-1) + T(n+1) )/2, 对n > 0.
这第二个式子相当于数n有一半机会变成n-1，一半机会变成n+1。
这个立论过程似乎不太严谨。顺便说一句，
这句话是有问题的。老兄拟出如此公式，不知道是出于怎样的考虑？因为按老兄对T（n）的定义，这个公式应该被解释为
“从n输到0的概率，等于（从n-1输到0的概率）与（从n+1输到0的概率）的中值”。
百思不得其解。这个推论是怎么来的？为什么？
举个简单的例子，如果n=5，也就是说我拿了5块钱，那么我这5块钱输光的概率，就介于输光4块和输光6块之间，而且还正好是它们的中间值。
——为什么呢？
看等式的右边，
实际的意义似乎应该是某一次赌博的输赢概率。可是，无论是T（n-1），还是T（n+1），说的又都是累计多次赌博并输到0的概率，这。。似乎不太对啊……
老兄能解释一下吗？
二、赌场怎么靠50%的概率发大财的？
以老兄的说法，赌场和上面说的赌徒似乎没有什么区别，输赢概率都是50%。可因为
对此，我也有两个问题，请老兄指教：
1、赌徒，如果没有等到输光就走了，情况会有什么变化？据我所知，确有很多赌徒经常一赌到底；但是，也一样有很多人秉持“小赌怡情”的原则，玩玩就走了——赌场还没等到这些人输光，而输赢概率又各是50%，——先不说累计的概率怎么计算，赌场在这种情况下，还一定是胜家么？
流水客人的钱没挣到，还很可能被赢走了一小笔——因为概率是50%——而赌场的大财，是不是只能发在那些焊在赌场的人身上呢？
2、这个问题大概更实在一些。想来，老兄应该是知道赌场有“抽头”一说，也即不管谁赢，都必须付出一定金额的款项（以筹码代替）给赌场的代表人——庄家。押大小如此，轮盘赌上更是直接划出一个区域，针转到这位置钱就得归庄家，赌客只能去押这个轮盘的其它区域。形象一点说，庄家稳占10%的胜利几率，其余人赌，只能是45%对45%——他们赌客谁赢庄家不管，反正那是他们自己的钱；但是对于每个赌客来说，胜率就只有45%了；如果是赌客和庄家对赌，庄家的概率更要高达55%，赌客是45%——在可统计的条件下，庄家应该是总体获利的。
至于普遍的老虎机，那概率无论如何不是50%吧……
以前看过某文，具体记不清楚了，说赌场的利润，主要来自于作弊和抽头。我的问题就是：既然赌场光靠50%的输赢概率就能稳赢，为什么还要作弊和抽头？那样公平地赌，虽然或许钱来的慢一点，但不是更有说服力和公信力么？
另外一个顺带的问题是，不知道老兄能不能介绍一下世界上哪个赌场，是不依靠作弊和抽头，只严格依靠50%输赢概率运营的？
三、尊夫人在赌场“跑马”稳胜
这个我也有一个问题，希望老兄能点拨一下：
1、各地麻将规则迥异，实在不知道老兄当地的规则如何。不过看遍全文，似乎仍然只允许一家胡牌，算为胜利。那么，
中其它人就输，这个是绝对的50%概率。
实在有点不太明白，难道老兄当地的规则，只允许两人对打么？可前后文一看，又不是这么回事。明明4个人打，抽中胡牌的人概率为什么是
即便如文中所说，一次可以抽四张牌，且每一盘里，4个人中只有1个人可能胡牌，那么
第一张抽中胡牌人的概率= 1/4 = 25%
第二张抽中胡牌人的概率= 1/4 = 25%
第三张抽中胡牌人的概率= 1/4 = 25%
第四张抽中胡牌人的概率= 1/4 = 25%
因此，四张牌全部抽不中的概率就是
（1 - 25%）*（1 - 25%）*（1 - 25%）*（1 - 25%）= 0.31640625 ≈ 31.6 %
换言之，只有小于三分之一的可能，尊夫人的“跑马”将落空——而在剩下的68.4%的可能性里，尊夫人由于押对了胡牌的人，将跟着胡牌的人收钱。
问题是，胡牌的人可能是庄家，也当然可能不是庄家——如果是庄家自摸，三家要给；如果是点了庄家的炮，该怎么算？如果是非庄家自摸，庄家要给多少？如果是非庄家非自摸，又该怎么算？
这样一来，由于老兄没有提供足够的信息，而且计算起来也太繁杂，“尊夫人究竟会不会赢钱”就变成了一个很麻烦的问题。
但是，如果尊夫人押对了胡牌人，从输赢的角度讲，就相当于她自己也胡了牌；根据上面的计算，尊夫人胡牌的概率正是68.4%——而如果不考虑有人作弊、不考虑运气因素、不考虑水平高低的话，牌桌上打牌的四位，每个人胡牌的概率应该都是四分之一，即25%。
这就是说，尊夫人胡牌的概率，比在桌上打牌的人胡牌的概率要高得多得多——我个人的猜测是，这才是尊夫人赢钱（如果真赢了的话，呵呵）的根本原因；而未必是老兄所说，因为她占据了50%的“概率必胜点”。
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我的数学一塌糊涂，但是确实对老兄的论证有疑问；希望高人能予以指点，当然，更希望老兄能指教一下在下，谢谢了！
以及，老兄关注的这个赌场问题，确实很有意思；花一朵，盼望老兄续作！
50%胜率会输光的论证要仔细研究，直觉上似乎有问题。
只要赌客获胜概率不是100%，则拥有无限赌注的一方（一般是赌场方，可以近似成无限赌注）必胜，因为另一方在输掉后，无法继续。
建立在这个基础上，赌场有很多的Trick可以玩，甚至包括设计一些赌客获胜概率大于50%的玩法，照样保证赌场有钱赚。关键就是让赌客赢时是一点一点地（如对赌客加注加以规则上的限制），但输时是猛烈地就行。当然，要是大家全都见好就收，总体上赌场还是要歇菜地，嘿嘿。
俺首次看到这个问题的探讨依稀记得是在《科学美国人》中译本的一期上。
所以楼主的论证，最好能加以更多的限制条件。
祝大家赌好！
如果赌博双方都有无穷的本钱，那么赌下去大家打平手。如果我有无穷的本钱，那么我可以让赌场输光。
可是，我有了无穷的钱，我还去赌场干什么？
理论上没问题，问题是这种赌博方法对本钱要求是指数上涨。
他们也算“久赌”的吧。
你反正有无穷的钱，即使分我一半，仍然是有无穷的钱...
别的不说，车子房子先拿过来... 