主题：【原创】简单而深奥的博彩问题：1.为什么久赌必输？ -- 陈经
家园 咳，不用想得那么复杂 要是久赌必赢，还有人开赌场吗？
大学读过概率论，还有点印象。
简单来说，风险和回报的问题。几乎所有的游戏，对赌客来说，都是回报抵不上风险，所以久赌必输。
举个简单的例子，轮盘赌红黑。赌中了一赔一，好像很公平吧，但慢着，有一种情况，赌场大小通吃，就是0出现的时候, 不论您买中与否，赌场都会拿走您的筹码。
对赌客来讲，要冒一个风险，就是无论有无压中颜色，都会失去筹码。赌场却没有这个风险。而且，赌客冒了风险，还没有相应的回报，您说，亏不亏？
赌场就是靠这么简单的概率原理来挣钱的，完全没必要骗钱，这可是光明正大地抢钱啊！
家园 【注意】问题定义上有点不严格, 随便说两句 用随机过程来看这个问题，就是最基本的随机行走的问题，
假如你每次下注就是X轴上向无穷移动一步，如果赢/输一次就在当前的金额(y轴)加
减一，我们的前题是一直赌下去，也就是假定最后趋向X轴无穷大，实际上这个时候
均值是等于初始时候的赌本的。
但是这个问题的假定是当前赌本为0时候就退出游戏，也就是又给一个条件，来限制
X轴趋向无穷，也就是当到达某一个中间状态，就退出游戏(不一定是0)，实际上可
能到达中间状态的每个值都是可能的，不同的是概率不同，但是总是有可能出现的，
注意我说总是有可能出现的，假如你规定这个状态就退出游戏，就和X轴上向无穷移
动相悖，当然得不到理想赌本不变的的状态。
就像我前面说到的，实际上可能到达中间状态的每个值都是可能的，不同的是到到
达的概率不同，你潜在规定了到达其中一个数值退出游戏，而这个中间状态(实际上
就是末态)是一定会出现的，如果这个数值是0，就是久赌必输，但是如果你规定这
个中间状态是大于最初赌本的，于是我们可以得到久赌必赢的结果。
用Markov链来看也可以来解解看，其实T(n) >= 0包涵了出现任何一个赌本状态都是
可能的，不单单是0，所以证明不是很对的，请指教。
家园 我和你的观点是一样的。陈老大这次犯了一个错误。 是退出游戏的条件，即赌本为0， 决定了久赌必输，如果把这个条件改为其他值，比如把0改为接近赌场的赌本的一个值，那么赌徒久赌必赢。
家园 嗬嗬，这篇文章是我唯一没有给这个作者花的文章。 几个月前写过回文，可是发贴时丢了，于是兴趣顿失。
您运用随机漫步的分析我完全同意。补充一点：实际赌博（交易）时都不是随机漫步，或是它的连续形式，布朗运动。而是几何布朗运动：赢了钱，下次输赢会更大。我认为这才是久赌必输的原因：每次输赢的概率是一样的，可是输的钱平均比赢得钱要多。
一个极端的例子：一个义无反顾的赌徒使用的策略是每次赌博总是把自己赌本里p%的钱押出去。如果p=100,我们很容易想象他"almost surely"的悲惨命运。
同样的现象大量出现在wall street. 一个家伙自认为天赋异秉弄来了几千万块钱设立了一个fund，在头几年果然三星照四季财排行榜上五魁首，于是投资像狂风浪蝶一样涌过来，一下子变成几个比邻了，manager的信心也无比膨胀，很可能margin也大了，risk mgmt也松了，结果骰子突然向相反的方向抖了一下，就什么都牟了。
家园 看来人要有赌品啊... 一个极端的例子：一个义无反顾的赌徒使用的策略是每次赌博总是把自己赌本里p%的钱押出去。如果p=100,我们很容易想象他"almost surely"的悲惨命运。一个朋友就是使用这个极端的例子所描述的策略.
此君每月去澳门一次,每次只带1W,只赌一局大小,永远只买大,不管输赢都转身走人.他的原话是"输了就回家,赢了去双飞".
然后每次回来都抱怨脚软上不了楼.
半年后终被其老爸发现...
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家园 怎么这么多人都没提到轮盘赌当中的,零的问题呢？ 0-36是37个数字，押中一个数字1赔37才是公平交易，现在赌场1赔36，赌徒们当然久赌必输。
同样，押大小，单双，红黑的成功概率因为这个零都是18/37，而不是18/36=1/2。
家园 一直赌下去 就是说对手赌本无穷而你自己有限，所以你最后输。
如果你也无限，赌下去好了。
家园 那如果我们两个人赌 那如果我们两个人赌,就赌猜硬币正反面,正面你赢,反面我赢.这样一来,我们的输或赢的概率都是50%.要是一直赌下去,谁输光啊?
家园 概率相等 楼主的问题是和一个无限的赌场玩
也就是说，赌场输光的概率为000000
家园 半懂，不过还是学了不少东西 家园 五。压单还是压双？ 五。压单还是压双？
如果是随机地扔一个骰子，相信所有的人都会同意，出现单与双的概率是一样
的。但实际的赌博业务往往赌的是足球比赛的进球数是单还是双，或者篮球比
赛的比分和是单还是双。
例如香港赛马会每周都对很多足球比赛开出单双的赔率，一般是（1.9，1.8）
或者（1.85，1.85）这两种赔率组合，从来不会出现（1.85，1.9）这种赔率
组合。这个赔率的意思是你押100元1.9赔率中了就收获190元。我们很容易知
道赛马会给出这种赔率组合是稳赚的，公平的赔率组合是（2，2）。但为什么
马会给“单”设的赔率总是大于或者等于“双”的赔率？一种可能是赛马会的
人就喜欢这么干，没什么特别的考虑。但是不是有什么数学因素在里面？
再例如中国篮球彩票，让人猜四节比赛的比分和的单双，共16总可能，四节全
中了，就赢了。那么，是不是16种选择是等概率的？会不会和扔骰子有微小的
不同？这里不考虑打假球的因素。
我们先来考虑足球。足球比赛一开始的比分就是0比0，天然是个双数。足球比
赛进球不象篮球那么容易，会不会双数比单数有一点优势？这我们要建立模型
分析一下了。
假设A队和B队打，两队都以防守稳著称，象切尔西连续6场没丢球，AC米兰也
曾经连续多场没丢球。那么这种情况下，0:0这个比分是会不会占优势？例如
切尔西对阵AC米兰，打一百场，多方的进球总数可能是各40个。如果我们准备
100个框子，把80个球往里面随机地扔，可以一个框子占多球，那么每场比赛
的单双概率会是如何？当然这未必与实际比赛的进球分布相同，只是先这么
看看结果如何。
也就是说，来一个简单数学模型，有m场比赛，总进球数是n个，每个进球等概
率地发生在这m场比赛中的任一场。求单场比赛总进球数是单双的概率大小，
分别记为D(m,n)与S(m,n)。
我们可以确信的是，如果n=0，那么D(m,0)=0，S(m,0)=1，每场比赛都是双。
如果n=1，那么只有一场比赛为单，m-1场为双，D(m,1)=1/m。如果n=2，计算
就要复杂些了，如果是两场1:0，则单的概率为2/m，如果是一场1:1，则单的
概率为0。两个进球出现在一场比赛的机会是1/m。所以，单的概率是：
2/m * (m-1)/m = 2(m-1)/m^2。
建立一个递推公式：(m,n+1)的情况相当于(m,n)的情况再多来一个球。
(m,n)的情况中，D(m,n)*m场是单数，S(m,n)*m场是双数。这个球来到单数场
的机会是D(m,n)。到了单数场中，则单数场加一双数场减一，即单数场变为
D(m,n)*m - 1。另一种情况是以(1-D(m,n))的机会到了双数场，则单数场变
为D(m,n)*m+1。我们可以据此得到：
D(m,n+1) = D(m,n) * ( D(m,n) * m - 1 ) / m + (1 - D(m,n)) * ( D(m,n) * m + 1)/m
= (1 - 2 * d(m,n))/m + d(m,n)
验算n=0与1的情况都是正确的。
那么我们可以考察D(m,n)随着n的变化情况。让我们重新整理一下：
D(m,0) = 0,
D(m,n+1) = ( 1 - 2 * d(m,n) ) / m + d(m,n)
这种情况想快速得到一些值不要去死推公式，拿个Excel整几个格子很快就出
结果了。
下表是m(10,n)的情况，n从0增长到25.
n m(10, n)
0 0
1 0.1
2 0.18
3 0.244
4 0.2952
5 0.33616
6 0.368928
7 0.3951424
8 0.41611392
9 0.432891136
10 0.446312909
11 0.457050327
12 0.465640262
13 0.472512209
14 0.478009767
15 0.482407814
16 0.485926251
17 0.488741001
18 0.490992801
19 0.492794241
20 0.494235392
21 0.495388314
22 0.496310651
23 0.497048521
24 0.497638817
25 0.498111053
我们可以确信，m(10,n)是无限逼近0.5的，但总是小于0.5。
我们不难看到，单数的确是不如双数机会大的。即使进球数
多到篮球，也是双数占优。所以篮球彩票该填全双。