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我爱莫扎特:【原创】勾股定理（十一）--- 王者归来

我爱莫扎特:【原创】勾股定理（十二） --- 王者归来（续）

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更新实在太慢，太慢。争取周内有新的段落。

还有三大段要写：高斯的微分几何，黎曼几何，以及几何之外的勾股定理。

这些内容是近代数学的核心组成部分，是我自己最想写的部分。

但这也是比较困难的部分。

数学与别的学科相比，实在难以接近。尤其是近代与现代的数学，往往把深刻的思想隐藏在抽象的符号背后，令人望而却步。国内普通的数学系学生，在本科阶段接触的内容不少是100多年甚至于200年前的内容。还没来得及瞥一眼现代数学，本科四年已经过去了。

更别提非数学专业的朋友了。微积分让无数文科生痛不欲生，那可是300多年前的古董啊！

以我的能力，用通俗的语言介绍现代数学实在勉为其难。我自己个儿还是半瓶子醋呢。。。很不好意思的说，微分几何虽然兄弟在本科时学过，但当时学得并不算好。最近为了写帖子，重新看当时的课本和其他材料，居然时有茅塞顿开之感。不少定理和概念突然明白了。黎曼几何我当年压根没上过课。最近写这个帖子好歹看了些，总算有些长进。能通过自己的努力，把100年前的珍宝给大家展示展示，也算是功德一件。

接下来的帖子，除了八卦的部分外，技术性的内容会越来越多。我不打算回避。数学的美正是体现在那些精巧的定理和深刻的思想上。当然，我会尽可能用通俗的语言把他们表达出来。

说起来，勾股定理写了那么久实在让我很不好意思。好在写帖子的过程让我自己多少也有长进，算是一个安慰。也希望大家能从帖子中得到些乐趣或者别的什么。

老方的“科学史上的公案”系列

30号的经济观察报

http://www.xys.org/xys/netters/Fang-Zhouzi/jingji/galois.txt

高斯不是人，至少在我的心目中，高斯是半神。

作为一个物理学家而言，1905年的爱因斯坦无疑是个很难企及的高度，他的三篇论文每篇都极具开创性，引出了狭义相对论和量子力学两大理论。而高斯所取得的成就，更令人叹为观止，他的研究成果可能用一本厚厚的书才能讲清。纵观数学史，与高斯站在同一高度的伟人只有两位：牛顿与阿基米德。他们三人不仅同时在纯粹与应用数学的各个领域做出惊人的发现，还通过他们灵巧的双手和深邃的思想，大大扩展了其他学科，尤其是物理学的疆域。

按照中国人的标准，牛人须“上知天文，下晓地理”。根据这个定义，高斯是牛人。证明如下：

高斯对天文学的一个著名贡献是他精确计算了小行星“谷神星”的轨迹。“谷神星”是太阳系中最小的一颗小行星，可想而知，这颗小巧的星星多么难以被捕捉到。在那个天文学的黄金时代，计算它的轨迹是个相当有诱惑力的挑战，无数大科学家都亲手动笔计算过，而其中最著名的当属欧拉。还记得我在我爱莫扎特:【原创】欧拉公式的证明，拓扑学及数学的统一性（上）中提到的这位独眼巨人么？据传说，这位“计算如呼吸一般简单”的大数学家连续奋战了三日三夜，最终很遗憾的失败了。而且，他的一只眼睛在这场战斗中失明，可谓战况惨烈。而23岁的年轻人高斯通过深入的思考找到了一种较为简便的解法，仅用了19个小时就解决了战斗。有人曾问他计算的诀窍，高斯说：“我用对数简化了计算。我心里有张对数表。”多年后，他把他对天体运动的计算心得写成《天体运行论》一书。至今，国际天文学界仍然沿用一些高斯当年制定的标准，如高斯引力常数（Gaussian gravitational constant）等。由于高斯在天文学的多项突出贡献，他被任命为哥廷根天文台的台长。

高斯对地理学的贡献在于他花了将近10年时间主持了汉诺威公国的大地测量工作，并为大地测量这个实用性很强的学科提供了大量有用的理论。在高斯这位科学大师的手中，数学这门高高在上的理论性学科被用来解决非常实际的测量问题。更有趣的是，这些非常实际的问题又被高斯重新抽象化理论化，反过来给数学提供了新的养料，最终直接导致了一门新的数学分支---微分几何的诞生。高斯的这次测量工作与本文的主题大有关系，我将在后文中详细介绍。

至此。证明完毕。

当然，“牛人”和“半神”还有差距。我们继续。

接着说高斯对物理学的贡献。高斯与比他小27岁的物理学家韦伯（Wilhelm Weber）合作，对电磁学的原理和应用进行了系统的研究。这些研究的主要部分已经成为了今天物理学教程的标准内容，“高斯”被命名为磁通量的单位无疑是对他工作的充分肯定。作为他们理论的一个应用，高斯和韦伯与1840年绘出了人类历史上第一张地球磁场图，并且定出了地球磁南极和磁北极的位置。

为了研究工作的需要，高斯还经常搞些小发明之类。比如后来被广泛应用于大地测量的日光观测仪（Heliotrope）就是他在汉诺威公国的大地测量期间的一个“副产品”。而他和韦伯的合作中的“副产品”更多。最著名的无疑是电报。1833年，他在韦伯的实验室和天文台之间架起了人类第一座电报系统，尽管长度只有八千米。

此外，高斯在语言学上的天赋也很高。而且他的语言能力到老都没有退化。60多岁的他为了研究罗巴切夫斯基的双曲几何论文，用了一年多时间自学并完全掌握了俄语。

上面列的这些，足以令任何一个人名垂青史。但高斯归根结底是一个数学家。与他的数学成就相比，以上这些只能说是小巫见大巫。

说起高斯，人们总是会想起那个把1加到100的小神童。不过神童多了去了，中国古代的仲永同学便是反面典型。许多神童在长大后虽然也颇有成就，却失去了小时候的光芒。高斯和莫扎特可能是神童们长大后最成功的两位，但高斯比莫扎特幸运，他活了78岁，比莫扎特整整多了一倍。

高斯第一次展示数学才能是在3岁的时候，那天他父亲在算着账，在边上一声不吭趴着看的小高斯突然指着一处说他爸爸算错了。据说他老爹当时很怒，要知道高斯那时候话还不太会说，结果，自然是他老爹真的算错了。10岁左右的时候发生了大家熟知的做加法的小故事。不过这些其实并不算特别厉害。高斯真正展露头角实在他18岁左右的那几年。他一举解决两大历史难题：尺规作正十七边形问题和代数基本定理。前者是古希腊时代就遗留下来的经典难题。而后者说的是任何一个一元n次方程一定有n个复数根，从它被称为“代数基本定理”就知道它有多么重要。毫不夸张的说，这两个成果已经使高斯进入一流数学家的行列。而且，它们对高斯自己也很重要，据说，正是这两个定理促使他下决心以数学为职业，而不是哲学。

在他长达50年的研究生涯中，他在数学几乎所有的领域都做出了决定性的贡献。有人曾经将大数学家分为两类。一类人擅长钻研难题，对一个特定的领域深入研究。解决费马大定理的怀尔斯（Andrew Wiles），中国人熟悉的陈景润是其中代表。另一类人如同翱翔于天空的雄鹰，能看到科学前进的方向，并手握巨斧，为后人披荆斩棘，开辟新的疆域。提出23个问题的希尔伯特（Daivd Hilbert）当属此类。诚然，大多数数学家应该同时具有两者的能力。无法想象一个无力解决难题的人能开拓新领域，而一个对数学整体没有认识的人也很难解决真正的难题。但任何一个人只要做好其中的一方面，就足以扬名立万了。而高斯无疑是两者皆通的真正大师。

高斯不仅解决多个历史难题，还开创了若干新的数学方向。高斯的著作《数论探究》是数论领域的里程碑，今天读来仍然令人深受启发。高斯第一个把虚数这个困扰了几代数学家的幽灵真正的纳入数学的版图，为后人增添了一个强力的工具。凡是高斯认真工作过的数学领域，无一不是此后100年内数学家的主战场。在高斯的时代，数学已经出现了不少的分支，比如几何，代数，分析（微积分），数论等等。除了欧拉这样的少数例外，大多数数学家们往往有各自擅长的领域。而在高斯全盛时期，他就像奥林匹克赛场上的菲尔普斯加刘易斯，在他报名参加的项目里，没有人可以领先甚至接近他。令人惊异的是，高斯的创造力直到中老年也没有大的退步。50多岁的他以一己之力开创了一门新兴的学科 -- 微分几何。

中国有句古话叫“枪打出头鸟”。高斯在数学领域太过强大，所以引发的“优先权”争议也特别多。而其中最著名的，就是咱们前文中提到的非欧几何的风波。

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