主题：【原创】上帝之书 -- 我爱莫扎特
回顾一下，故事讲到现在，非欧几何还没真正出现欧式几何那样的图，没图的几何，谁信啊？！所以首先我们需要知道，一种“想象”的几何如何才能受到学术界的承认？
一种办法是在物理上证明非欧几何的意义，也就是直接找出宇宙不符合欧氏几何的证据。这其实是条正确的道路，直到广义相对论之前，人们普遍相信宇宙是个三维的欧式空间（加上时间的话，是四维空间）。但罗巴切夫斯基还是愿意尝试一下，他假定宇宙是个很大的双曲几何的空间，用他的理论代入，计算了地球的半径，结果很遗憾，误差相当大。不过到了一百多年后，人们用广义相对论计算得知，我们这个“膨胀”的宇宙很有可能是个双曲空间，还是四维的，老罗泉下有知，应该感到安慰吧。
第二种办法，是在数学上证明他们推理出的那么多结论与前四条公理无矛盾。请大家注意，老罗也好，鲍耶也好，他们推出了一套完美的理论，而且他们相信他们的理论没有矛盾。但他们并没有证明他们的理论没有矛盾！
有人可能很不满，这有什么好证的，都那么一大套理论了，怎么还有问题？可是您怎么能保证有个不知道什么的矛盾藏在不知道什么地方呢？也许只是他们做的还不够，还没看到那个问题吧。我知道的最夸张的例子，某数学家为了用反证法，硬生生搭建起100多页的理论，最后找到一个矛盾，终于证明一个定理。
可是要证明一套理论内部无矛盾（自洽）绝对不是一件简单的事儿。有人说数学是最严格的学科，其实有个叫做数理逻辑的学科（我也不知道它算不算数学分支）才是最严格的。说到严格，有个小笑话：
这是说不同学科的科学家观念的差异，数理逻辑学家和一般数学家的差异大概有数学家与物理学家的差异那么大。数理逻辑里有一套完整的理论，专门用来对付这类公理体系有没有矛盾之类的问题。要是让数理逻辑学家来说，欧式公理体系（五条公理）本身就含糊不清，语焉不详。为此，19世纪末德国数学家希尔伯特（David Hilbert）把这些公理重新改造一番，造出一个“希尔伯特公理体系”替代欧式公理体系。而要证明一个公理体系的内在不矛盾绝对不是一件容易的事情，事实上连自然数体系的不矛盾也是到20世纪才搞清楚的，这些故事我在后文里可能会提一句。
这也不行，那也不行，怎么办呢？Beltrami出场了，他做的事情说起来很简单，他让人们（在欧式几何框架下）“看见”双曲几何，这样一来，只要大家还承认欧式几何本身没有问题，那罗巴切夫斯基几何也就安全了。
他先后给出4种非欧几何的模型，我下面介绍其中一种，这个模型又称Poincare圆盘模型。Poincare是法国大数学家，也就是前文中提到对狭义相对论有突出贡献的那位。他在Beltrami之后独立发现了这个模型，不过他比前者有名的多，人们都以为他是首创者，就以他命名了。（等会我们会说到，后来的数学家Klein也独立发现了四个模型中的一个，被命名为Klein模型。Beltrami挺冤的！）
下面的话大家可以当童话来看。
如果说我们的宇宙是一张欧式平面的话，有一群外星人住在一个“圆盘宇宙”里，就是上图画的那样。圆盘里的几何对象在我们的世界和他们的世界有不同意义，我用蓝色表示在欧式平面里的意义（也就是正常的意义），用红色表示“圆盘宇宙”。咱们列个表：
圆盘内部（不含边界）的点 代表 “圆盘宇宙”的点
圆盘内部的与边界圆垂直的圆弧 代表 “圆盘宇宙”的直线，或称测地线
（垂直是指交点处的切线垂直）
上图画的其实是“圆盘宇宙”里纵横交错的直线（测地线）。
看到这里，估计很多朋友会有疑问，归纳起来大概有：
1， 直线怎么不是直的？
2， 这些弯曲的直线还能走最短距离么？
3， 咱们的世界里，直线能延伸到无穷，为啥这儿的直线那么短？
4， “圆盘宇宙”里直线都是弯的，角度怎么算？面积怎么算？
问题的关键其实就在勾股定理上。不过要讲清楚，得写点公式。咱们暂时搁一搁，先把不费脑子的部分看完。有兴趣的朋友可以看
在咱们地球人眼里，“圆盘宇宙”里会发生很多奇怪的事情。
比如过直线外一点有无穷多条平行线。（改变的第五公设，见图）
比如三角形内角和小于180度。（上次提过）。
再比如看起来大小差得很多的图形却全等，当然面积也相等。下面两张图非常有名，是著名画家Escher的作品。他总是喜欢画一些外星世界的图画。第一张画名为“天使与魔鬼”，里面的天使（或者魔鬼）分别全等，从而一样大小。第二幅画里的鱼也都一样大，且沿着测地线头尾衔接。大家如果觉得很难接受的话，可以想象这些画是画在一个大碗里，你从上面看下去，那些靠边沿的图案由于与视线平行，就显得很小，其实和碗底的图案一样大的。
很有意思吧。数学家们看到Beltrami的图后，一点就通，且一通百通，不久之后，罗巴切夫斯基几何的地位正式得到承认。人们也学着他，找到了很多种不同的模型。比如下图是在三维空间中的二维曲面描述罗巴切夫斯基几何。
在一段时间内，很多数学家做了大量非欧几何方面的工作。其中值得一提的是德国大数学家克莱因（Felix Klein）。
克莱因是继高斯之后，哥廷根（Gottingen）新一代领袖，正是在他和后来的希尔伯特的领导下，德国哥廷根成为无可争议的世界数学中心，甚至于希尔伯特说出了“哥廷根外无生活（Extra Gottingen non est vita, si est vita non est ita）”这样的话。可见，克莱因的行政能力无与伦比。与许多散漫的教授不同，克莱因严谨，高傲，甚至有些拒人于外。后人常称他为“君王般的克莱因”。由于他的贡献，他被德国授予枢密顾问官职务，从此他不许别人称他为“教授”，而必须改称“枢密顾问阁下”。
克莱因在几何学发展史上有很重要的地位。
首先，他独立发现了Beltrami四种模型中的一种，并成功的将非欧几何与欧式几何正式联系在一起，把非欧几何的基础与欧式几何的基础正式等同起来，再加上希尔伯特后来把欧式几何重新“公理化”的工作，两种几何终于安全了。
第二，正是他发现了另一种非欧几何 --- 椭圆几何的一个模型。还记得前文说过的球面几何么？克莱因发现，只要把球面的“对径点”（直径两端的顶点）“粘合”起来，得到的模型就可以用来描述椭圆几何。
第三，最著名的事情是，克莱因在德国的一个小镇埃尔朗根（Erlangen）发表了一个里程碑式的演讲，史称埃尔朗根纲领（Erlangen program）。报告中，他把几何学用变换群的思想重新组织了起来，使得当时层出不穷的各种几何完整的统一了起来。这种统一的思想让人们对几何学从整体上有了全新的认识。也正是他，把罗巴切夫斯基几何命名为“双曲几何”，把黎曼发现的另一种几何命名为“椭圆几何”。
经过了将近100年的时间，非欧几何从被发现，到人们逐渐掌握，再到开花结果直到出现统一的理论，一切都是那么美好而和谐。我们的故事似乎应该讲完了。可人们不知道的是，就在他们身边，一场更大更强的几何学风暴正在孕育。。。
是时候让我们聊聊高斯了。
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