主题：【求教数学问题】如何判别这个函数在原点附近的性质？ -- 晨枫

1.题目的条件不能保证在原点的导数的存在性。作为反例，取y=|x|。

2.今假设在原点的导数的存在性，则其连续性可以证明如下。为方便起见，我们取简化的微分方程dy/dx=x/y，原来的形式类似地由更加精细的分析可证。事实上，我们可以证明y^2=x^2。依对称性，只需考虑x>0的情形。

我们不妨设y(x_0)>0对于某个x_0>0成立。若y(x)=x对任意x>0成立，则命题已证。若y(x)不恒等于x,因为y(0)=0，所以存在某个x_1>0使得

1. y(x_1)>x_1 （或者对称的y(x_1)<x_1);

2. y(x)>=x (0<x<x_1).

由中值定理(The Mean Value Theorem)，存在一个点x_2\in(0,x_1)满足

\[

y'(x_2)=(y(x_1)-y(0))/(x_1-0)=y(x_1)/x_1>1.

\]

但是另一方面

\[

y'(x_2)=x_2/y(x_2)<=1.

\]

此为矛盾。因此只要y(x)在一个x>0处为正，则必取y(x)=x。

不错，夸奖自己一下，该睡觉了！