主题：【原创】在一个园上任点三点,求为锐角三角形的概率 (My answer) -- 地下室

第一次发贴。打中文很慢。用英文八。

Let's name the three points A, B and C.

Pick any one, say A, as our starting point. That will not make any difference. Use "|" to indicate if any other point stays in the half circle with A or not.

For the remaining two points, B and C, there are four scenarios with equal probability:

A|BC - sharp triangle

AB|C - sharp

AC|B - sharp

ABC| - obtuse

Obviously, 在一个园上任点三点,求为锐角三角形的概率 is 3/4

Q.E.D.

the answer should be 1/4.

锐角的是1/4 钝角的是3/4

不过我的方法从数学证明上也是不太严谨的说。

第一步就是把概率事件转化成对应的实数：

在圆上任取两点 则这两点的圆心角可以是（0,pi]的任一实数，记为n。明显这个圆心角的概率分布是均匀的。

事件1：锐角三角形 对应的就是第三点取在n范围内（作圆心连接前两点的反向延长线 第三点只能在这个扇形上）

事件2：钝角三角形 对应的就是第三 点取在（2pi－n）范围内

那么P{事件1}＝n/2pi

第二步求此实数的期望值作为要求的概率：

如前所述 n均匀分布于(0,2pi]，则E（n）＝pi/2，则E（n/2pi）＝1/4

ps: 直观上也觉得肯定是锐角、钝角1：1 直角是小概率事件。 不过这么一比划又觉得有点不可思议。大三时候学概率觉得一开始的那些东西挺难弄的 难在你作出来了都不知道对不对，因为数学工具都用不上 全靠琢磨。

设任何两点和圆心的等边三角形顶角为a度,则此时钝角三角形的几率是

（180-a)/360.由此可做一分布曲线（实际是直的），a=0,P=1/2;a=45,P=1/4;a=90,P=0.当a>90时，情况和原来对称。所以最后整个圆上的平均值是1/4（钝角）。

A, B, C are three random points on the circle. Use two diameters to divide the circle into four areas (one horizontal and one vertical). Assume A is at the bottom of the vertical line. Then B, C points have the following distribution:

B C Triangle

1 1 A

1 2 A

1 3 A

1 4 O

2 1 A

2 2 A

2 3 O

2 4 A

3 1 A

3 2 O

3 3 O

3 4 O

4 1 O

4 2 A

4 3 O

4 4 O

O/T = 1/2; A/T = 1/2

今天空闲，索性给大家的解答挑挑毛病

A|BC - sharp triangle

AB|C - sharp

AC|B - sharp

ABC| - obtuse

如果你所指定的A开始所在的半圆是固定的话，

AB|C 不一定是锐角

AC|B 不一定是锐角

如果你指定A开始所在的半圆不是固定的话，

你给出的四个条件互相重合，有交集，无法简单求得概率。

假设这个圆的圆心在原点，任意取A点，然后将B、C两点选取在X轴上，这是一个直角三角形。

沿Y轴平行移动直线BC，有两个移动方向：靠近A点和远离A点，前者产生的新三角形ABC为钝角三角形，后者产生锐角三角形。由于移动是各态历经的，产生钝角和锐角三角形的概率相等。

每一次坐标系、A点、B、C点位置的选择都是不失一般性的，所以最后的结论是1/2。

不记得如何用公式表达了，有兴趣的朋友应该可以证明出：产生钝角三角形和锐角三角形的概率相等，而产生直角三角形的概率要小一个无穷量阶。

你的解答中：

沿Y轴平行移动直线BC，有两个移动方向：靠近A点和远离A点，前者产生的新三角形ABC为钝角三角形，后者产生锐角三角形。由于移动是各态历经的，产生钝角和锐角三角形的概率相等。

远离A点移动BC，不一定产生锐角三角形

对于圆上任意钝角三角形，总是可以作出一条平行于该三角形钝角对边的直径，该直径与该三角形没有交点。

如果上面的假设成立，那我前面的推理仍然有效。