主题：几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 （0） -- changshou
进入视界的观察者相对于自己是静止，就观察者的体验而言，史瓦西半径没有什么特殊的。而在远处的静止观察者看来，由于时间无限膨胀，向视界运动的东西（如 想要进入视界的观察者）其速度在视界处（史瓦西半径）趋于0。
在视界内，进入的观察者在有限的时间演化后到达奇点
就是说观察者只存在一个时刻。在那时刻前或时刻后观察者都不存在。我们当然不认为有物理意义的观察者会是这样。
我琢磨既然观察者可以在视界外三正一负的那三个正的空间方向上保持静止而不能在负的这个时间方向上保持静止，那么如果在视界内时空交换，那观察者好像应该可以在正的这个时间方向上保持静止而不能在三个负的空间方向上保持静止吧？
还是时间维度和空间维度本身在这个方面的性质是一定的，跟正的负的没关系？
时空交换是对视界外的静止观察者的坐标系而言的。只不过在视界内 对进入观察者而言的时间方向 成了对视界外的静止观察者的坐标系而言的原本的空间方向。但这不会引起问题，因为视界外的静止观察者看不到视界内。
几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （22）小结
22.1 小结
广义相对论认为时空是洛仑兹流形，而且不是预先给定的 而是“动力学的”，即 满足爱因斯坦方程：描述内在弯曲的数学量 等于 描述物质分布的数学量。 而引力就是内在弯曲的时空
。
时空 和观察者对时空的体验是两回事。不同的观察者 有不同的坐标系和时空分解。他们也可以有不同的时间体验（原时）。 但 尽管不同观察者使用的不同坐标系 导致不同的时空描述， 时空本身作为度量流形，却不依赖于这些描述。因此我们说 广义相对论具有广义协变性。这也意味着 广义相对论是规律的规律。
狭义相对论是广义相对论的局部近似。闵可夫斯基时空是一般时空的局部近似。局部区域越小，近似越好。我们可以把光锥场搬到时空洛仑兹流形上，并由此出发讨论时间定向和因果结构。
自由运动的观察者走的世界线是测地线。测地线是探测时空弯曲的好工具。
22.2 第三座高峰
如果你理解了22.1，那么你在 获得较可靠时空观的道路上 已攀上第三座高峰。在这里你已经可以欣赏到很多奇景了。不过如果你有更大的兴趣，下面还有一座高峰
。
待续
本帖一共被 1 帖 引用 (帖内工具实现)
几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （23）时空分解与演化
23.0 先有鸡还是先有蛋
爱因斯坦方程说：描述内在弯曲的数学量 等于 描述物质分布的数学量。 仔细一想，这里面隐藏着很多 “先有鸡还是先有蛋” 类型的问题
。
23.1 先有弯曲时空 还是先有物质
乍看起来我们要先给定物质分布，再研究物质造成的弯曲时空。这个思路的来源可追溯到牛顿引力论：先给物质分布，再决定引力。然而 在广义相对论中引力成了弯曲的时空，而物质是分布在时空中的。如果时空是怎样的都不清楚，如何描述物质在时空中的分布？ 事实上 爱因斯坦方程 右边的 描述内在弯曲的数学量 就依赖于时空的性质。因此先给定物质分布 再研究物质造成的弯曲时空，在数学上或物理上都行不通。
23.2 再看 空的弯曲时空
我们已经知道 爱因斯坦方程的解可以是 无物质的 空的弯曲时空。我们固然可以说，弯曲时空 可以仅由弯曲时空造成。可这到底是什么意思？
先有弯曲时空，再有弯曲时空？哪个弯曲时空决定哪个弯曲时空？
23.3 先有鸡。。。先有蛋。。。先有“先”？
在前面的讨论中隐含着一个假设，即我们有时间上的先后概念。可是仔细一想，时间本身也是时空的一部分，也属于待解的方程中的未知量。而且时空流形混沌一体，并未给定时空分解呀。我们连谈论时间上的先后 都成问题。
23.4 初值问题
无法谈论时间先后的一个后果 就是无法谈论 物理对象的演化，即 物理对象随时间的变化。我们是不是必须放弃 物理对象随时间变化 这一基本的世界图象呢？ 如果这样做，广义相对论就面临 极大的 诠释性的问题：广义相对论在何种意义上能算是一个（科学的）规律？
广义相对论之前的物理规律的模式 都是这样的。 我们如果知道了某一时刻的足够多的物理信息，物理规律就可以告诉我们 物理对象随时间如何变化 物理对象的未来会怎样（往往我们也可以反推过去的情况）。这就使得我们可以对未来的实验观测结果 作出预言，然后与实验对照。这是科学研究的基本模式。没有这个模式的理论，如何与实验对照？ 是否能被认为是物理的（科学的）理论？这里显然有很大的哲学上的困难。
数学上我们说，我们要研究微分方程（即物理规律）的初值问题（给定一个时刻的状态 推出以后的状态）。 甚至连量子力学也是这个模式（所谓的波函数 是按照一个微分方程：薛定谔方程演化的。只不过我们的预言只能是概率性的）。
广义相对论中我们有微分方程：爱因斯坦方程。但在时空既未定也未分的情况下 什么是它的初值问题呢？
23.5 先有方程还是先有流形？
这是一个相关但更基本的问题。前面讲的时空未定，似乎可以姑且理解为度量结构未定。可是真的是这样吗？是不是说流形本身是先验地固定的，只有度量结构才是“动力学的”？如果是这样的话，那我们的先验的流形是什么呢？别忘了我们研究的是“可能的时空”（16），如果流形本身是先验地固定的，那么对各种可能的时空都需要 各自有一个先验的不能由现有物理学决定的流形。可是我们如果在理论上无从知晓这先验的流形是什么，就无法在不做实验观测的情况下写出方程的具体形式，更不用说去解方程了。这是极严重的问题。已往的物理学可不是这样的， 在那里物理规律一旦确立之后，在研究可能的各种情况（各种应用）时，基本规律本身就不动了，需要通过实验观测输入的 是初值问题中的初值信息。
所以看来流形本身 也不该先验的给定，而是在解爱因斯坦方程的过程中 “生长”出来
。可是如果流形是未知的，又如何写出 描述流形上某个未知度量结构内在弯曲的数学量呢？
23.6 爱因斯坦方程的独特性
至此，我们已经体会到了 爱因斯坦方程 和其他的物理理论中的方程是有很大不同的。先不管解方程的问题。连这方程到底在说啥 都有很大的理解上的困难。这困难既是数学的也是物理的。
待续
本帖一共被 1 帖 引用 (帖内工具实现)
几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （24）时空分解与演化（续1）
24.0 如何描述已知时空
上一篇提了一些困难的问题。我们先看一个简单一点的。假如我们已有一个时空，我们如何在数学上描述好它？
24.1 时空没有自然的分解，但时空可被分解
广义相对论中的时空是没有自然的分解为时间与空间的办法的（其实在狭义相对论中也是这样）。但没有自然的分解不代表不能分解。事实上每个观察者都可以选择自己的时空分解。然而我们讲过 单个观察者使用的时空分解只是局部的。
能不能有整体的时空分解呢？我们考虑以下的可能性：能否存在一个整体的坐标时间 以使得时空是一个三维的流形沿着1维的坐标时间线移动而扫出来的，即 对每一个坐标时刻，时空在这一时刻的截面都是 相同的3维流形（注意我没说是相同的度量流形）。整体的意思是 我们把三维的流形上的每一个点都看作一个观察者的话， 这些观察者都使用相同的坐标时间。注意我说坐标时间线 就已经意味着 对每个上述的观察者而言 沿着整体坐标时间运动的世界线都是类时的。
如果有一个 这样的整体的坐标时间 我们就有无穷多的其他的 整体的坐标时间。这是因为我们可以把观察者们的世界线 作连续的形变（只要形变幅度不大 就仍然是类时的）。从这个意义上讲 没有一个自然的优于其他的 整体坐标时间的选择。但我们先不管这件事，只问能不能找到 一个整体的坐标时间。另外我们还要求 整体的时间线不能首尾相接。
一般而言，在作为爱因斯坦方程的解的时空上 是找不到上面描述的整体坐标时间的。然而我们还有因果性的考虑。
24.2 因果结构
在（14）中我们讲了我们只考虑有因果结构的时空。而当时我们描述了一种可行的要求，正好就是24.1中要求的情况：有整体的（不首尾相接的）坐标时间 使得时空是一个三维的流形沿着1维的坐标时间线移动而扫出来的。于是我们感到24.1中的要求 似乎是合理的。
24.3 柯西超曲面
可是24.1中的要求（存在整体坐标时间）要求 感觉也太强了。于是我们考虑另一种可能：时空中 存在一个3维流形，并且每一条类时或类光的曲线 和这个3维流形 正好相交一次。如果这件事成立，我们就说时空是全局双曲的时空，而这个3维流形 就叫 柯西超曲面。一个全局双曲的时空包含无穷多的柯西超曲面。我们并没有 一个自然的选择某个特定柯西超曲面的办法。先不管这问题，随便乱选一个就行。
这个要求实际上是 我们想因果结构存在的时候 自然也能想到的。因为我们可以把这3维流形看成是 一个观察者A在某一时刻对他而言的全部空间。该时刻就是该观察者A的类时世界线和这个3维流形的交点。物理上我们当然不希望 某个其他的观察者B能在两个对他自己而言的不同时刻 出现在 对观察者A而言的某一时刻的空间中（这相当于说从A的角度看B在作回到某一时刻的时间旅行）。同时因为这是全部空间，所以我们自然希望所有其他观察者或者光线（世界线往两头不断延伸的观察者或者光线），都出现在（观察者A在某一时刻对他而言的）全部空间中 的某一处。仔细想想，这说的就是第一自然段的内容。
全局双曲的时空 其定义的优点在于 我们只在处理一个3维流形。而在24.1中我们在处理无穷多的3维流形（每个整体坐标时间的时刻 都对应一个），看起来要麻烦得多。
这个 “全局双曲”的定义看起来和24.1的存在整体时间不是一回事。但数学上可以证明，全局双曲的时空 存在整体的坐标时间。于是24.1 和24.3 的要求可以统一起来！
24.4 广义协变性
在24.1 和24.3 的讨论中 我们容许有很大的选择性。我们可以随意选择整体坐标时间。在知道了是时空是全局双曲的情况下，我们可以随意选择柯西超曲面。会不会出乱子？不会
。你可能想到了，这又是我们的老朋友：广义协变性 在起作用了。选择整体坐标时间 实际上是在选时空分解。相当于选择 有一部分整体化了的坐标系（沿时间方向是整体的）。而时空是不依赖于坐标系的选取的。
24.5 全局双曲的时空是 柯西超曲面随坐标时间演化而成的
为什么要扯全局双曲的时空之类的东西？
第一 如前所述，这类时空不会有因果关系方面的问题。
第二 这类时空 有整体的坐标时间和 对应于（该坐标时间的）某一时刻的空间部分（柯西超曲面）。于是 我们可以说 全局双曲的时空是 柯西超曲面随坐标时间演化而成的。柯西超曲面和坐标时间的选择有极大的任意性，但这不过是对应着 对同一时空的不同描述罢了。
待续
本帖一共被 3 帖 引用 (帖内工具实现)
几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （25）时空分解与演化（续2）
25.1 柯西超曲面和初值问题
回顾23.4对初值问题的描述。初值问题说的是给定物理量在某一时刻的信息，用微分方程推出 物理量在(过去的或未来的)其他时刻的情况。于是我们说 物理量是从初值 随时间演化而得到的。
根据24.5 我们把全局双曲的时空看成是 柯西超曲面随坐标时间演化而得到的。 于是我们觉得 爱因斯坦方程的初值问题应该是 某些数学量 从某柯西超曲面开始 随坐标时间演化。
25.2 柯西超曲面的度量结构和外在弯曲
把时空的度量结构限制在柯西超曲面上，我们可以得到一个柯西超曲面上的度量结构。因此 柯西超曲面的度量结构 应该是我们在设置初值问题时，放在某一时刻的全部空间（即柯西超曲面）上的数学量。
不过显然我们也需要知道 柯西超曲面这个3维流形 是怎样嵌入在 时空这个4维流形里的。也就是说我们必须知道 柯西超曲面在时空中的外在弯曲程度。一个重要的数学事实是 外在弯曲可以只用柯西超曲面上面的数学量描述。这听上去很奇怪。大体说来是因为 外在弯曲的情况，可以用时空中 “垂直于”柯西超曲面的方向沿柯西超曲面移动时的变动情况来描述。而这方向的变动可以只用柯西超曲面上面的数学量描述。
因此我们知道从度量结构的角度看，我们应该将 柯西超曲面的度量结构 和描述柯西超曲面外在弯曲的数学量 联系到柯西超曲面上。这里的要点是 这两个数学量（柯西超曲面的度量结构 和描述柯西超曲面外在弯曲的数学量）都可以看成是 柯西超曲面上的东西。当然我们一旦这样做，我们事实上就可以忘记他 们是来自于4维时空的。
25.3 爱因斯坦方程的初值问题
前面讲的是一个全局双曲的时空已定，我们可以选择一个柯西超曲面 以使得时空可以被看成是 柯西超曲面 随整体坐标时间演化而成的。不同的柯西超曲面的选择，意味着对给定时空的 时空分解和演化的 不同理解。
现在我们把前述的逻辑扭转过来。我们考虑一个任意的3维流形。这3维流形上有一个给定的度量结构（我成为数学量A），一个从数学上 有可能实现为 描述这个3维流形 在某个4维洛仑兹流形（注意这里并没有给定任何特定的4维洛仑兹流形）中的外在弯曲的数学量 的数学量（称为数学量B）。另外 我们还给定在这个3维流形上 描述物质分布的数学量（称为数学量C）。
这里我给定了一个 3维流形 和上面的三个数学量：两个几何性的，一个物质性的。我们把这个3维流形 和上面的三个数学量（ABC） 统称为 一个 爱因斯坦方程的初值。
我们提出以下问题：给定一个爱因斯坦方程的初值，是否存在一个4维全局双曲的时空满足以下性质：
第一 在这4维全局双曲的时空中，爱因斯坦方程的初值中的3维流形 是一个 柯西超曲面。
第二 该柯西超曲面 在该4维全局双曲的时空中的 外在弯曲 正是 爱因斯坦方程的初值中的数学量B
第三 该4维全局双曲的时空中的 度量结构 限制在该柯西超曲面上 正好给出 爱因斯坦方程的初值中的数学量A
第四 该4维全局双曲的时空中存在物质分布，而描述物质分布的数学量 限制在该柯西超曲面上 正好给出 爱因斯坦方程的初值中的数学量C
第五 该4维全局双曲的时空（洛仑兹流形）以及其中的物质分布 满足爱因斯坦方程。
第六 这样的满足前五条要求的4维全局双曲的时空 是唯一的。
如果上述六条均满足 我们就说 该（唯一的）4维全局双曲的时空 是爱因斯坦方程的初值问题 的解。
这里我其实还隐瞒了一个问题，就是爱因斯坦方程的初值中的 那几个数学量 相互之间不是完全独立的。爱因斯坦方程 要求他们之间要满足一定的约束关系。所以我以后说的爱因斯坦方程的初值 都是指满足约束关系的初值。
25.4 任何给定的爱因斯坦方程的初值问题 存在解
数学上相当复杂，我就不解释了。大家知道25.3提的问题有肯定的答案 并且这件事是一个数学问题 就可以了。
25.5 意义
前面两节(25.3 25.4)解决了（23）中提出的一系列问题，使我们有了概念清晰的 对时空分解和演化的理解。
此话怎讲？
首先我要再强调：时空（作为度量流形） 和对时空的描述 是两码事。同一个时空可以有无穷多的不同的描述法 以及无穷多的时间-空间分解法。一般而言 广义协变性不允许存在 一个特殊的描述法或分解法。
好了。爱因斯坦方程 两边的数学量 不包含坐标，也没有时空分解。纯数学的描述方程 也不需要 时空分解和演化的概念。但是当我们要解方程的时候，就需要引入坐标系。物理上这对应于 当我们想要 从一个或一批观察者的角度 描述时空的时候 我们就需要引入坐标系和时空分解。
现在我们设身处地的 从一批（不是一个！） 有共同坐标时间的观察者的角度想。理论上可以假定他们遍布某一（共同）时刻的全部空间。在他们看来，时空是 空间一个时刻一个时刻的演化出来的。时空中的物质分布也是 空间中的物质分布 一个时刻一个时刻的演化出来的。因此如果我告诉他们时空和物质分布 是由爱因斯坦方程描述的， 那么他们自然会问，假如给定了（对他们而言的）某个时刻的 空间（不是时空！）和物质分布的全部信息，爱因斯坦方程能不能告诉他们 对他们而言的全部时空和物质分布的情况。注意对这批观察者而言，时空和物质分布是未知的，而某一时刻的空间和空间物质分布（理论上）是已知的（当然只能是对遍布空间的有共同坐标时间的观察者全体而言）。这样他们是知道数学量AC的。我们还假定他们通过观测一小段（可以任意短）坐标时间间隔内的 空间度量流形变化 决定出了数学量B。当然我们前面说了数学量ABC之间要满足一定的约束关系。
所以他们应该要求我们能从一个3维流形（某时刻的空间）及其上的数学量ABC出发 推出全部时空及物质分布。对他们而言，空间和空间中物质分布是同时给定的（比如由观测），而时空和时空中物质分布是由爱因斯坦方程的初值 按照采用他们的有整体时间的坐标系的 爱因斯坦方程 沿着他们的整体坐标时间演化出来的。4维时空流形本身 也是这样“生长”出来的。这就是 对这批观察者而言的 初值问题
。
25.3 25.4 告诉我们 这批观察者的这种想法是成立。特别是这样演化出来一个全局双曲的时空。而全局双曲意味着每一条类时或类光世界线 都和该3维流形（某时刻的空间）正好相交一次，因为该3维流形是柯西超曲面。这意味着该3维流形正好可以在因果关系上影响到整个未来的时空 而又不造成整体上的因果问题（见14）。
然而 这批观察者在广义相对论中 没有特殊地位。我们可以用另一批观察者。 不同批次的观察者有不同的时空分解与演化或柯西超曲面与初值问题。这样 爱因斯坦方程的初值 对于时空而言并没有本质的意义。因此 我们说 时空和物质分布本身 没有 自然的分解和演化。但是我们可以对他们进行分解与演化。而时空和物质分布 不依赖于我们采用何种时空分解与演化的观点。
为了强调上一自然段的内容，我愿指出，我们也可以不把时空作 时间1维 空间3维的分解， 而采用 2维加2维的分解（不解释）。 在处理有的物理问题时，这种没有时间的“时空分解”反倒是方便合理的。 如果你真的理解了上文，这种思路并不是不可思议的。
25.6 全局双曲是必要的吗
前面的讨论使我们觉得 物理上能实现的时空都应该是全局双曲的。这既使得初值问题有满意的解决 又保证了因果关系。从前面讲的那一批 和空间位置对应的观察者的角度看 我们确实应该要求全局双曲性， 不过时空有可能存在观察者们无法观察到的部分（比如以前讲的黑洞视界之内）和“超越”初值问题而不可被预言的部分（以后会讲）。所以这个问题并没有那么简单，我们以后会再讨论。
待续
本帖一共被 1 帖 引用 (帖内工具实现)
本文作者显然是数学背景或出身，这个系列的广义相对论读本应说是现代广义相对论数学基础读本--至少写到目前为止；是经过了数学合理化处理后的一种现代广义相对论教程。
事实上，广义相对论并不是这样开始的，其成功也不是依赖于这些数学美化处理；就像这里宣称的，只要时空可以內禀弯曲，引力可以回家玩了。
从今天的物理学来看，数学要分好的数学和‘坏’的数学。
广义相对论的最基本内容之一是爱因斯坦方程。要解释爱因斯坦方程说的是什么 不能不讲这些数学呀。 从实验观测上看 广义相对论早期的成功预言完全是建立在分析史瓦西解和测地线以及宇宙学模型的基础上的， 这些都是数学计算。哪怕从广义相对论的建立过程看，在分析了等效原理，有了广义协变性的念头后，我们不能说爱因斯坦就建立了广义相对论。 我认为广义相对论理论的建立，应该从写下爱因斯坦方程算起。难道不是一开始（而不是到了“现代”）就免不了这些数学吗？就好比 能说微积分的数学是对麦克斯韦理论的美化处理，麦克斯韦理论不依赖于这些美化处理吗？
至于引力的问题以及广义相对论的早期历史，我在（17）中简单提了一下。事实上在纯广义相对论的研究中，的确就是“引力可以回家玩了”，更准确地说就是几乎一切理论研究都是对洛仑兹流形和爱因斯坦方程的研究。哪怕是教科书，对通常说的引力的分析 就是等效原理以及牛顿近似。除此之外的确就全是分析洛仑兹流形和爱因斯坦方程（哪怕用词上还经常带着引力）。而等效原理 归根到底就是说引力和弯曲时空是一回事。当然如果我仔细解释一下等效原理，读者会更容易接受这观点。可是我的标题是“几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型”而不是“全面介绍一下广义相对论”，“引力是什么”或者“广义相对论是怎么建立的”。
至于今天物理学前沿用的数学，已经远远超出了这篇科普。但我想 在那里发生好的数学和‘坏’的数学的争论 不应该影响到对已经成熟的理论（如广义相对论）中数学应用的考虑。至少 广义相对论研究圈的通用的基本数学（以教科书为准吧） 是对物理而言的 好的数学。
几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （26）宇宙学标准模型
26.0 什么是宇宙学模型
我们想建立一个关于宇宙的在最宏观尺度上的模型。我们希望对全部的时空有一个大体的描述。宇宙学模型不可能是纯理论的，我们必须先有一定的观测基础。但宇宙学模型也不可能是纯观测性的，因为我们的观测能力不足以完全确定它。但我们有爱因斯坦方程，所以我们可以把观测和爱因斯坦方程结合。按广义相对论的要求，我们同时也必须对宇宙间物质分布 有一个大体的描述。
26.1 宇宙学原理
最基本的观测事实是宇宙间的物质分布在各个方向上看 在大尺度下 几乎都是一样的。这叫各向同性。也就是说 对我们而言 宇宙没有一个空间上的特殊方向。
另一个基本假设是 人类在宇宙间的位置不是特殊的
。所以我们假定宇宙有一个整体的坐标时间（这样就有了时空分解），人类也用这个坐标时间， 而且宇宙的时空 在空间部分上的弯曲程度和物质分布 都是均匀的，即不同的 都使用整体坐标时间的 自由观察者的观测大体上是相同的。
宇宙学原理假定：时空在空间部分上的弯曲程度和物质分布都是均匀的，对观察者而言空间各向同性。
26.2 宇宙学原理不是必须的，但是是很有用的
当然宇宙不是严格的空间均匀的 或者对观察者而言各向同性的。但基于前述的宇宙学原理建立的模型已经是一个比较好的近似。如果我们想考虑更精确的模型，我们可以把非均匀的和非各向同性的修正加入进去。
在我的科普中，我只介绍宇宙学标准模型。该模型假定宇宙学原理。
26.3 宇宙学标准模型中空间部分 内在弯曲程度处处相同
在26.1中讲的宇宙学原理， 从数学上说即是：宇宙时空有整体的坐标时间，在由此给出的时空分解中，每一个时刻的空间部分上 描述空间部分内在弯曲的数学量在空间每一处都是相同的。我们称这样的度量流形为 常曲率流形。
这样一来空间部分的度量结构就极大的简化了。结果只有三种可能。
可能性1：空间部分 具有正的常曲率。 这里“正的”意味着从一点发出的几条测地线 会比平直的空间中的 从一点发出的几条测地线 要更收拢一些。比如内在的几何球面（见（5））就是 正的常曲率流形。但内在的几何球面是二维的， 而我们这里要的是一个3维的流形（空间是3维的）。也许你已经想到了，3维的球面上 可以有正的常曲率的度量结构。所以你可以用（内在的）3维球面作为心目中的例子。在（1）中我定义了嵌入的3维球面，在（4）中我们知道了嵌入的流形自动给出一个内在的流形。 很明显（内在的）3维球面既不是无限延展的，也没有边界。这就是 有的科普中说的“空间有限无边”的宇宙模型的一个例子。
可能性2：空间部分 具有是0的常曲率。 这里常曲率是0 意味着空间是平直的。所以标准的例子是 有标准度量结构的3维欧式空间。但要注意，我们只能推出 空间部分在局部上是 有标准度量结构的3维欧式空间。
可能性3：空间部分 具有负的常曲率。 这里“负的” 意味着从一点发出的几条测地线 会比平直的空间中的 从一点发出的几条测地线 要更散开一些。例子我就不举了（因为以后用不到这种情况）。
到底哪一种可能性描述我们的宇宙呢？这一点由实验观测决定（见下一篇）。
26.4 宇宙学标准模型中 时空不是静态的
这指的是时空洛仑兹流形的度量结构 所用的变系数 “勾股定理”中的变系数 依赖于坐标时间。更确切地说，在空间部分三个方向用的变系数都是 同一个依赖于时间的变系数。如果该变系数随坐标时间的增大而增大，我们就说宇宙是膨胀的；如果该变系数随坐标时间的增大而减小，我们就说宇宙是收缩的。
26.5 什么是宇宙膨胀
现在我们讲一讲怎么来体验宇宙膨胀。 我们用某一时刻的空间坐标来标记空间位置，然后在空间部分的度量结构 就会告诉我们这两个位置间的空间距离。过了一段（坐标）时间之后，由于计算空间距离时 用的“勾股定理”中的系数 变大了，这一距离也就变大了。一个经典的比方是：你在气球上用墨水点两个点。在吹气球时（气球膨胀），两个点的距离自然要变大。现在把气球换为3维空间部分就可以了。当然你要注意 气球是嵌入在更大的空间里的， 而宇宙的空间部分 已经是所有物理空间， 不嵌入任何其他的物理空间（虽然它嵌入时空）。
如果我们让某观察者A 向一定距离外的观察者B 发光信号（假定他们都在体验坐标时间，即以坐标时间为原时）。由于坐标时间是整体的，发信号时AB都位于某一时刻的空间部分中。B接到信号时 则位于一个较晚一些时刻的空间部分中。这时候 就会出现引力红移现象（也叫宇宙红移）：计算表明 接收到的光的频率与发出的光的频率 的比值 正好是 发出时刻的空间部分的（度量结构）变系数 与接收时刻的空间部分的（度量结构）变系数 的比值。宇宙膨胀意味着这个比值小于1。所以接收到的光频率变小了（在光谱上变红了）。我们还可以把频率变化对时刻变化的依赖性 换算为 频率变化对观察者AB在某时刻的空间距离大小的依赖性。由于空间距离越大，发出与接收的时刻间隔也越大，所以我们不难看出 空间距离越大，红移程度越大。
宇宙红移的上述规律被天文观测证实了。 这是支持宇宙膨胀的最有力证据之一。
我们不妨把这里的红移和史瓦西解的引力红移 比较一下。史瓦西解的时空是静态的， 但空间部分不是均匀弯曲的（径向距离越小，弯曲度愈大）；引力红移 是由于不同空间位置处时间方向上的变系数不一样。而宇宙学标准模型中 时空不是静态的，但空间部分却是均匀弯曲的；引力红移 是由于不同时刻处空间方向上的变系数不一样。
26.6 还没有用爱因斯坦方程
迄今为止我们还没有使用爱因斯坦方程来分析宇宙的时空（这样我们能知道的事不多）。下一篇我们将这么做。
待续
本帖一共被 2 帖 引用 (帖内工具实现)
到目前位置，我们所有的测量和实验都是在地球附近完成的，包括广义相对论在GPS上的应用。我们把由此得到的物理定律推广到整个宇宙，是否存在相当的不确定性？即便我们可以接受：物理定律是宇宙普适的，这个定律也未必是我们在地球上得出的形式，比如广义相对论。当我们把广义相对论推广到宇宙尺度的时候，包括宇宙尺度时间和空间，或许方程中的“常量”实际上是时空的函数，甚至方程的形式也是时变的，只不过在我们人类有限的时空中不曾察觉罢了。从这个意义上说，我们测量到的“宇宙红移”是否真的可以用作宇宙膨胀的证据么，我们到底应该怎样理解宇宙尺度的测量结果呢？