主题：几何学的故事(1) - 古希腊的成就：欧氏几何 -- earthcolor
资料显示，《几何原本》的欧氏几何有23个定义，5个公设和5个公理。更多的，我就不知道了。欢迎补充。
几何学的故事(4): 光线会拐弯：时空转换 – 相对论
自己不是数学和物理专业的，写到这里，已经发现很吃力了。在查资料过程中，发现内容很多。我只选了一些自己感兴趣的。如果有高人，欢迎补充。
非欧几何的发现，改变了人们对空间的传统认识。欧氏几何不再是唯一的空间，而是有多种空间存在。这些不同空间的存在，导致了人们的进一步思索：我们到底生活在哪一类空间？更重要的问题是：是什么决定了空间的形状？
随着十八十九世纪物理学的发展，人们研究电磁波和光是如何传播、运动的？一种传输介质-以太- 在1678年被引入到物理学中。英国物理学家托马斯.扬让光线通过两个平行的窄缝，观察到了明暗交替的干涉图样，发现了光的波动性。这一事件似乎为以太理论提供了依据。1885年，迈克尔逊和莫雷要在实验中测量地球在以太中的运动速度。这是著名的迈克尔逊—莫雷实验。按照以太理论，两个人在实验中应该观察到光的干涉现象。然而，实验的结果并非他们所想象的 – 实验中没有干涉条纹移动。
爱因斯坦
对于实验结果的解释，1905年,爱因斯坦发表了狭义相对论的奠基性论文《论运动物体的电动力学》。其中的几个要点是：没有绝对时间和空间，时间和空间是相对的；运动的物体在他们运动的方向上看起来是收缩的，相对于速度快的物体，时间会慢一些，（钟表慢走和尺子缩短）；以太不存在；质量和能量可以互相转化。狭义相对论发表后，并没有多少人注意，可能的原因是很多人不懂。
在狭义相对论发表时，当时物理界只发现了万有引力和电磁力两种力。狭义相对论可以和电磁力相容。爱因斯坦想将狭义相对论和万有引力统一起来。在狭义相对论发表后十年，爱因斯坦发表了《引力场方程》- 广义相对论。爱因斯坦在广义相对论中引入了两个原理：
等效原理：引力和惯性力是完全等效的。
广义相对性原理：物理定律的形式在一切参考系都是不变的。
广义相对论的方程，反映了空间中的物质分布与4维时空的度量之间的关系。根据广义相对论，可以预测光线在引力场中，会如何弯曲，及弯曲多少。
在1919年5月29日的日食期间，两支英国考察队对光线的运动进行了观察。英国物理学家爱丁顿（1882-1944）领导的考察队前往巴西的索布拉尔，并取得了成功。他们的观察到远处的星光会被太阳的引力场弯曲。从此，爱因斯坦就成了神。
一些参考文献：
非欧几何所说的曲面，究竟是空间本身的扭曲，还是在平直空间中的曲面，比如三维空间中的一个球面？或者说，非欧几何中的曲面和欧氏几何中的平面一样，仅仅是作为推论的起点？
老大的问题有深度呀。继续找资料。
根据这里的解释，
http://www.ikepu.com/maths/maths_branch/non_euclid_geometry_total.htm
在非欧几何的公理中，并没有假设空间是曲面或是扭曲的。而非欧几何的解释，发现在扭曲的空间是合适的，而在我们通常的欧式几何空间中，很难观察到这些的结果。
非欧几何学是一门大的数学分支，一般来讲 ，他有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义式泛指一切和欧几里的几何学不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗式几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗式几何和黎曼几何这两种几何。
欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三中几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。因此这三种几何都是正确的。
在我们这个不大不小、不远不近的空间里，也就是在我们的日常生活中，欧式几何是适用的；在宇宙空间中或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎曼几何更准确一些。
曲面，应该理解为空间本身的扭曲。比如说一个蚂蚁生活在一个足球上，因为它不能够上下运动，因此可以假想它没有上下概念，从而生活在一个二维世界。假设它学过几何学，它仍然能够知道它生活在一个球面上而不是生活在一个轮胎上（最好的办法就是数足球上一个个多边形的点、线、面的个数，点减去线加上面一定是2，而对于轮胎，这个数是0，这就是中学学过的所谓欧拉示性数）。再比如一个人患有某种颈椎病，只能够左右转动而不能上下转动脖子，因此他的世界是二维的，但是通过计算欧拉示性数的办法他仍然能够知道我们所生活的地球是球面而不是轮胎面（两者的弯曲是不同的），这跟地球所在的宇宙无关，不管这个宇宙本身形状如何。
你说的这是整体拓扑性质，一般说的弯曲都是指局部度量性质。拓扑等价于环面的曲面也可以在度量意义上平直，另一方面在度量意义上弯曲的曲面也可以拓扑等价于平面。
我只是想举例说明，所谓曲面是指面本身是扭曲的，而与所在的三维空间无关。那两个例子力图去掉“曲面存在于三维空间中”这样一个印象，从而认为曲面的“曲”是曲面本身固有的，而这样一个曲是可以整体把握的。