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主题:几何学的故事(1) - 古希腊的成就:欧氏几何 -- earthcolor

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家园 【原创】几何学的故事(3): 直线不直:非欧几何,微分几何

几何学的故事(3): 直线不直:非欧几何,微分几何

欧氏几何的公理中,第五公理(平行公理)显得比其他四个要复杂。历史上,有很多学者对这一公理提出了质疑,并试图通过其他四个公理来证明平行公理。由于各种原因,大家的尝试都没有成功,比如引入其他公理,后来发现新引入的公理和平行公理等价。

十八世纪末十九世纪初,三位学者(高斯、波约伊和罗巴契夫斯基)各自对平行公理进行了研究,进而引入了非欧几何。高斯画像点看全图

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其中一个故事是这样的,罗巴契夫斯基想用归谬法,推导出: 如果平行公理不存在,会导致其他欧氏几何的公理或定理之间的矛盾。但是,随着他研究的进行,他并没有发现他预期的矛盾。而且他发现,没有平行公理的系统,自成体系,这就是非欧几何。在高斯、波约伊和罗巴契夫斯基发现的非欧几何中,平行公理被一个假设替代:对于任何直线,通过任何直线外一点,可以有多条平行线,而不是欧氏几何里的唯一一条平行线。这个空间是双曲空间,几个著名的结论是:三角形内角之和不是180°、相似三角形不存在、直线不直。

另一种非欧几何中,椭圆空间 - 平行公理被一个新的公理所替代:没有平行线存在(在平面上,所有直线必相交)。

在德国面积的勘察活动中,高斯需要将三维数据用二维地图来表达。这个问题的解决,产生了微分几何。微分几何是曲面的理论,认为一个曲面本身就是一个空间。高斯认为,一个给定空间的弯曲程度,可以只在曲面本身上加以研究,而与其他可能包含它或不包含它的较大空间无关。这个概念,被证明是爱因斯坦广义相对论所必须使用的。可以说,这个概念为物理学以后的发展打下了基础。

在高斯研究的基础上,庞加莱、黎曼和希尔伯特进一步发展了非欧几何。

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