主题：【一唵谈】阿罗不可能定理与波达计数简介 -- 唵啊吽
现行的许多选举规则和比赛规则是有偏（bias）的规则，很难代表民意，即选举胜出与否与选举规则有关，而和被选举人是否真正代表民意无关。这是著名的阿罗不可能定理。阿罗定理说：基于爱好偏序排列的社会效益函数不存在【1】。阿罗1950年发现这个定理，1972年或诺贝尔经济学奖。
让我们用一个简单的例子来说明阿罗定理问题。比如有三个人参加总统竞选，他们是布什、克林顿和里根。一共有100个人投票。其中43人最喜欢布什、第二喜欢里根，最不喜欢克林顿；33人最喜欢克林顿、第二喜欢里根、最不喜欢布什；24人最喜欢里根，第二喜欢克林顿，最不喜欢布什。
如果每人一票，得票最多的当选，则布什以43票对克林顿33票和里根24票胜出。这是美国现在的选举规则。如果按照此规则选奥林匹克会址，中国就得到2000年的举办权了，但是奥林匹克会址的投票规则是得票最多的两名再重新投第二次票，结果中国在第二轮落选。
回到我们三人竞选的例子，如果按奥林匹克选会址的规则，克林顿会在第二轮投票中以57票对布什43票胜出。这种方法在此例中刚好也是末位淘汰法。
如果我们按照双双对决方法（这是体育中比赛的规则），那么布什与克林顿对决时，克林顿以57票对43票胜布什；布什与里根对决时，里根以57票对43票胜布什；克林顿与里根对决时，里根以67票对33票胜克林顿。结果是里根两胜，克林顿一胜一负，布什两负。里根胜出。
在选民偏好不变的情况下，用三种常用的选举规则会选出三个不同的总统。为什么说这些选举规则是有偏的呢？让我们举个例子来说明。假如出来前边一百个人的偏好不变，我们再加一百个最喜欢克林顿和最讨厌里根的人和另外一百个最喜欢里根而最讨厌克林顿的人，这两百人对布什即不喜欢也不讨厌。这样加多两百人看上去是中性的，对布什没有更喜欢也没有更讨厌，对克林顿和里根两个人的厌恶和喜爱人数相等相反。如果选举规则是无偏的，那么加这两百人对选举结果应该没有影响。读者不妨自己试试，选举结果会很不相同。如用第一条选举规则，原来100人投票时是布什胜出的，现在300人投票就变成克林顿胜出，虽然后边加的200人总体来说对三人的偏爱程度是中性的。
无偏的选举规则应该是波达计数【2】。波达是法国科学家，他在科学试验数据处理上发明了波达计数方法，他是1770年发明波达计数方法的。用回上边的例子，如果选民按偏好计点，如43人给布什2点，给克林顿1点，给里根0点，表示他们最喜欢布什，第二喜欢克林顿，最讨厌里根。其它人也用计点方式来排序他们的偏好。而选举的结果，以得点数最多的人胜出。那么我们就会发现，后边增加的中性的200人刚好使得每个候选人都增加了200点，不影响原来100人选举的结果。所以，波达计数是无偏选举规则。
波达计数在有广泛的应用，如市场调查，各种社会调查，依据公司投票决策等。也有几个小国家才有波达计数作为总统选举规则【2】。
【1】 http://en.wikipedia.org/wiki/Arrow%27s_impossibility_theorem
【2】 http://en.wikipedia.org/wiki/Borda_count
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首先为什么记数是2，1，0而不是其它数比如3，0.5，0或10，9，0等等。不同的计数方法导致不同的选举结果。如果用投票的办法选择计数方法，就又回到了问题的起点。第二，在波达计数下，选民不一定按自己真实意愿投票（当然在简单多数下，选民也不一定按真实意愿投票）。比如按照把你的例子里里根选民的偏好改为最喜欢里根，第二喜欢布什，最不喜欢克林顿，如果选民都按照真实意愿投票，还应该是克林顿胜出。但是假设布什克林顿的选民都按自己的真实意愿投票，如果里根的选民改投布什、里根、克林顿，那么布什就将胜出。因为这些选民喜欢布什超过克林顿，他们就有激励这么做。在这种情况下，波达计数一样是有偏的。
社会选择理论里有个不可能定理，说不可能设计出一种机制，让选民按真实意愿投票。因此这个问题和阿罗不可能定理一样也是无解的。
如果计数用2，1，0排序可以无偏选举，为什么要用一个10，9，0的排序来反对2，1，0的排序方法呢？存在有偏的计数能证明无偏计数没用吗？
我举了一个例子，就是中性单元的选举数目增加和减少不影响选举结果。
用人们不会真心投票来证明某一程序无有是大材小用了。这个论据成立的话，应该可以证明一切择优或者极大化程序都是毫无意义。
无偏的选举规则，是在不改变选民偏好、不改变选举规则的情况下，增加和减少中性选举票数不回改变选举结果。
你在里根一例里，用改变选民偏好的方法来证明不同规则可以得出相同结果，能证明什么呢？证明这些规则一样？这些规则优越？证明原来偏好中之所以不同规则选出不同的总统是选民偏好的错误而不是规则的有偏？
你能给我解释一下2，1，0比10，9，0或10，1，0优越在什么地方呢？为什么2，1，0是无偏的，10，9，0或10，1，0就变成有偏的了？棒球选MVP计数用的是14-9-8-7-6-5-4-3-2-1，并不是一个等差数列。这些数的选择完全是arbitrary的。在有些例子里2，1，0可能给人感觉更有道理一些，有些例子不一定。
用经济学的术语说，波达计数限制了效用函数形式。比如2，1，0意味着A比B好两倍。在许多应用里，这个假设是合理的或无关紧要的。但是在很多情况下，这个假设却不是很有道理。比如共和党的选民可能觉得里根稍好于布什，但对克林顿深恶痛绝。
关于人们是否按真实意愿投票的问题，这个例子还不够极端。有的例子里，如果里根的选民有激励不按真实意愿投票的话，克林顿的选民预计到这一点，也不会按真实意愿投票，布什的选民预期到这些也会改变他们的行为。在一些情况下，pure strategy Nash equilibrium不存在，唯一的纳什均衡是所有的选民都随机投票，什么结果都可能发生。在这些情况下，波达计数并不是工作得很好。
人们不按真实意愿投票在现实世界里一定是存在的。但是这个现象有多重要还存在着很大的争议。比如英国工党、自由党偏左，保守党偏右，工党和自由党的选民往往协调他们的行动，有些选区保守党民意调查领先，大选却选不上。再比如2004年美国大选民主党初选。在Iowa, New Hampshire以后选民就主要投John Kerry，John Edward的票了。Kerry和Edward真是这些人的第一选择吗？
用3，2，1代替2，1，0也可以。
效用函数表达能力有限，每人一票无法表达许多偏好信息，造成偏好信息丢失。就这一点来说，波达计数的表达比效用函数好。比如，可以用100，0，0的排序还原为效用函数表达方式。
所以，效用函数只是波达计数的一个特例。
如原文只是介绍阿罗定理和波达计数。认为波达计数比一票选举无偏。选民能否按自己意愿投票是一个关于选举的问题，但是，原文没有说过波达计数比一票选举好是因为可以让选民不违心投票。提出选民是否违心投票问题是树了一个与原文不相干的稻草人靶子，攻击那个稻草人。说波达计数不能解决选民违心问题。这是事实，波达计数不能强迫选民必须说心里话。
（4，3，2，1）
正如Dracula说的，为什么一个选民对三个候选人的偏好是等差的呢？不能是对第一个人喜好100，对第二个也很喜欢，大约为99，对第三为讨厌得要死，要给他－100。
规则有时候无法完全表达选民的偏好。
一种方法是给每人可以用30个总点数，这和现在每人一票一样。如果我完全没有偏好，我就给每个候选人10点。如果我有偏好，我可以将30点在三个候选人之间任意分布，比如，如果我只想布什当选，我就给布什30点，给另外两个人0点。如果我喜欢布什，但万一布什不当选，里根我也能接受，我就给布什20点，给里根10点，给克林顿0点。这个好处是总点数守恒，坏处是比较平衡的人，即对三个候选人可以客观评价的人，其点数的能力反而不如极端主义的人，极端主义的人将30点都给1人，他的选举影响能力就比其它人高。
为了让每个人对起最喜爱的任一候选人的赞同权重一样，可以让每个选民对候选人在0－10中间评价，最好的给10分，最坏的给0分，没有偏好就给5分。这种方法也是有广泛应用的。现在我们填的许多市场调查标格都是这种形式。
我不是这方面专家，没有认真论证过这些方法。但我感觉这也是无偏的，即一个中性的单元相当于每个候选人增加等量的点数，不会影响已有的偏好选择。这也更能表达选民偏好，没有强迫选民只在等差序列内定义他们的偏好，可以让他们把偏好表达得更细致。是否公平就很难说了，我们只能说比一票选举形式更公平，应为更能表达选民得偏好。
总和100搞错了，而且文章中排序和我草稿上的不对。多亏你看得仔细。再谢！