主题：【原创】十三，十二平均律的解决 -- 履虎尾

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老大河待整

【原创】十三，十二平均律的解决

解决十二平均律问题的，是明代律历大师朱载堉。朱载堉，《明史》有传，据《明史·列传第七·诸王四》所载，朱载堉是明朝宗室，为郑恭王朱厚烷的世子。由于宗室内部矛盾，朱厚烷获罪，被皇帝削去王爵，禁锢于中都凤阳。《明史》中说：“世子（朱）载堉笃学有至性，痛父非罪见系，筑土室宫门外，席藁独处者十九年。”直到朱厚烷免罪复爵，朱载堉才回宫中居住。朱厚烷死后，按规定应该由朱载堉袭爵为下一代郑王，或者由朱载堉的儿子朱翊锡袭爵。朱载堉上表坚辞，终于将爵位推让掉。

朱载堉不眷恋荣华富贵，潜心于学术研究，在各学科都有重大成就。朱载堉于历学造诣极深，著有《圣寿万年历》，《律历融通》两部著作，于嘉靖二十三年进呈。在律学上，朱载堉发现了十二平均律的解法。朱载堉的律学及音乐学著作约二十种以上，其中包括《律学新说》、《乐学新说》、《算学新说》、《律吕精义》等等，这些作品合编为《乐律全书》。

朱载堉用实际计算的方法，求得了十二音律之间完全平均的音高关系。朱载堉的这项发明比西方早了一百年。

新的发现发明总要标新立异，总好像是一种异想天开。当门捷列夫按原子量的大小排列元素周期的时候，有人讽刺说，干嘛不按名称第一个字母的顺序来排列元素啊？朱载堉所发现并使用的划分十二平均律的方法，也是如此的独出心裁，如此的异想天开。

按照“三分损益法”求各律之长，依次得到的都是纯五度音，所以又称为“五五相生律”。设定“黄钟”（C）之长为一，三分损一后，下生纯五度音“林钟”（G），林钟之长为三分之二，（2/3）；林钟三分益一，上生太簇（D），太簇律长九分之八（8/9）；以下依此类推，直到十二律全部产生。

三分损益法貌似非常有道理，也很容易懂，稍有音乐常识的人，可以说是一点就透。然而，“信言不美，美言不信”，三分损益法归根到底，是粗略的方法，是错误的方法。朱载堉认为，各音律之间的长度比，不是分数（有理数），而是无限不循环小数，是无理数，需要开根号，开平方，开立方……

在《律吕精义》中，朱载堉详细记述了求得各律长度的方法。为了初学者更好的理解，履虎尾对其方法进行了一些“修正”：

朱载堉求各律之长，不按过去的“五度相生法”进行，朱载堉认为，推演十二平均律，首先需要推算出“蕤宾”（＃F）律的长度，这是因为，“蕤宾”律正处于十二律的中央。只有首先推算出“蕤宾”（＃F）律的长度，才能依次推算其他各律之长。

朱载堉设定“黄钟”（C）之长为二，于是，“清黄钟”（高音C）之长则为“一”。怎么推算“蕤宾”（＃F）律的长度呢？依据“三分损益法”，可以得出“蕤宾”律长为512/729（七百二十九分之五百一十二），乘以2，则为1.40466392318。朱载堉认为，“三分损益法”并不十分严谨，所得出的蕤宾律长是有误差的，“蕤宾”律之长不是一个有理数（分数），而是一个无理数（无限不循环小数），“蕤宾”律长的求得，需要运用“开平方”之法；“蕤宾”律之长为黄钟之长“2”开平方，得数为“根号2”，用小数来表示则为1．414213562……。

在“蕤宾”与“清黄钟”之间的二分之一处是“南吕”（A）律，“南吕”之长的求得，同求“蕤宾”律长是一个道理，要继续运用“开平方”的办法。具体方法是用“蕤宾”之长“根号2”再开平方，也就是黄钟律长“2”开四次方，于是得到了“南吕”之律，“南吕”律长为2的1/4次幂，用小数来表示，则为1.189207115……。

在“南吕”与“清黄钟”的三分之一处是“应钟”（B），“应钟”之长还是一个无理数，推算的方法跟前面的大同小异。应钟处在“南吕”与“清黄钟”的三分之一处，于是，方法就不是开平方，而是开立方了。“应钟”（B）律长由“南吕”开立方后得到，数值为黄钟律长“2”开方再开方再开立方，也就是“2”开十二次方，“应钟”律长为2的1/12次幂，用小数表示则为1.05946309……。

将上述内容综合起来，“蕤宾”，“南吕”，“应钟”三律之长如下表。为了便于初学者的理解，此表中各律的排列，依《周易》之法，乃是从下向上：

清黄钟，（C）；1

应钟，（B）；律长2的1/12次幂，即1.05946309……

无射，（＃A）；

南吕，（A）；律长2的1/4次幂，即1.189207115……

夷则，（＃G）；

林钟，（G）；

蕤宾，（＃F）；律长为2的1/2次幂，即1.414213562……

中吕，（F）；

姑冼，（E）；

夹钟，（＃D）；

太簇，（D）；

大吕,（＃C）；

黄钟，（C）；律长为2

这几个小数，履虎尾是用计算器验算的。想当年，朱载堉没有电子计算机，手里的工具就是一把珠算算盘。朱载堉仅仅凭借着一把算盘，进行了“开平方”，“开立方”的运算，得出了“应钟”之长为“2的开12次方”，亦即2的1/12次幂，1.05946309……想到此处，不由人不肃然起敬也。

“应钟”之长2的1/12次幂，就是计算各律长度的基数。其他各律的计算，依其次序为2的N/12次幂：“无射”律长为2的2/12次幂；南吕律长为2的3/12次幂；夷则律长为2的4/12次幂；林钟律长为2的5/12次幂；蕤宾律长为2的6/12次幂；中吕律长为2的7/12次幂；姑冼律长为2的8/12次幂；夹钟律长为2的9/12次幂；太簇律长为10/12次幂；大吕律长为2的11/12次幂；于是我们得到了下表：

清黄钟，（C）；律长为1；

应钟，（B）；律长1.05946309……即2的1/12次幂；

无射，（＃A）；律长1.122462……即 2的2/12次幂；

南吕，（A）；律长1.189207115……即2的3/12次幂；

夷则，（＃G）；律长1.259921……即2的4/12次幂；

林钟，（G）；律长1.334839……即2的5/12次幂；

蕤宾，（＃F）；律长1.414213562……即2的6/12次幂；

中吕，（F）；律长1.498307……即2的7/12次幂；

姑冼，（E）；律长1.587401……即2的8/12次幂；

夹钟，（＃D）；律长1.681792……即2的9/12次幂；

太簇，（D）；律长1.781797……即10/12次幂；

大吕,（＃C）；律长1.887748……即2的11/12次幂；

黄钟，（C）；律长为2，即2的12/12次幂。

中国古代的数学，数字还没有完全从具体事务中抽象出来，还不是真正意义的代数。朱载堉在运算时，应用了面积，勾股，平方，开方等算术方法，充分表现了这位古代律学大师，历学大师，音乐大师，还具有极高超的数学才能，是一位全面的通才。

俺手头没有作者的《律吕精义》文本，只好从网络上拷贝学习。朱载堉在《律吕精义》中关于推律方法的原文如下：

度本起于黄钟之长，即度法一尺。命平方一尺为黄钟之率，东西十寸为句，自乘得百寸为句幂；南北十寸为股，自乘得百寸为股幂；相并共得二百寸为弦幂。乃置弦幂为实，开平方法除之，得弦“一尺四寸一分四厘二毫一丝三忽五微六纤二三七三零九五零四八八零一六八九”，为方之斜，即圆之径，亦即“蕤宾倍律”之率。以句十寸乘之，得平方积一百四十一寸四十二分一十三厘五十六毫二十三丝七十三忽零九五零四八八零一六八九，为实，开平方法除之，得一尺一寸八分九厘二毫零七忽一微一纤五零零二七二一零六六七一七五，即“南吕倍律”之率。仍以句十寸乘之，又以股十寸乘之，得立方积一千一百八十九寸二百零七分一百一十五厘零零二毫七百二十一丝零六十六忽七一七五，为实，开立方法除之，得一尺零五分九厘四毫六丝三忽零九纤四三五九二九五二六四五六一八二五，即“应钟倍律”之率。……是故各律皆以黄钟正数十寸乘之为实，皆以应钟倍数十寸零五分九厘四毫六丝三忽……为法除之，即得其次律也。

律学，是中国古代优秀的文化遗产中的一门“千古绝学”。在律学的体系中，中国古人运用了物理分析、数学验算等自然科学的方法，对古代音乐，历法等高度抽象的学科，进行了有中国特色的科学研究。由于时代的局限，朱载堉的发明没有应用到音乐实践之中去，也无法得到多数人的认可，到了清朝，甚至于被人嘲弄诟病。但是，在律学理论的发展史上，律学这一理论从上古发展到了明朝，朱载堉用他发明的“新密律”亦即十二平均律的方法，把律学理论推向了近代。

这个系列帖子，枯燥干瘪，暂时告一段落。剩下的关于古代历法的内容，以后再说了。