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家园 【原创】欧拉公式的证明，拓扑学及数学的统一性（上） 忙了几天，总算有时间把欧拉公式的解答写一写了。
先说几句欧拉吧。Leonard Euler出生于瑞士，长期在德国和俄罗斯工作。由于欧拉的巨大成就，三个国家一直都声称欧拉是本国数学家，嘴仗没少打。
外链图片需谨慎，可能会被源头改这是瑞士法郎上的欧拉。印上钞票的数学家只有两位，大家猜猜另一位是谁。
外链图片需谨慎，可能会被源头改德国邮票上的欧拉。边上写着欧拉公式。
外链图片需谨慎，可能会被源头改苏联邮票上的欧拉。他的一只眼睛长期失明。
欧拉巨大的创作性鲜有匹敌。他是历史上所有数学家中最高产的一位。由于欧拉的著作甚多，而且又在三个国家工作过，整理出版欧拉全集是十分困难的事情。1909年瑞士自然科学会就开始整理出版，花了九牛二虎之力，总算在90年代基本完成，没想到圣彼得堡突然又发掘出一批他的手稿，结果害得欧拉全集到今天还没有出齐。
再说一个关于他高产的小故事：据说欧拉有个助手负责把他的手稿拿去印刷出版。通常欧拉把写完的手稿放在一边，如果有新作就堆在上面，助手过一阵会来取走一批。由于欧拉写得比印刷还快，助手实在赶不上他的速度，结果他的作品的写作顺序和出版顺序常常相反，让读者很郁闷。
欧拉的作品不仅多，而且好。以他命名的定理是最多的。很难想象一个人怎么能在几十年内发现那么多美丽的定理公式。几年前一份著名数学杂志发起一个投票，评选人们认为最最美丽的定理，结果前5名里欧拉占了3个。第一名就是
外链图片需谨慎，可能会被源头改。一个公式里集中了最重要的数：0，1，i，Pi，还有加号和等号。咱出的题也排在前五。欧拉之成就来源于他惊人的计算能力和记忆力。关于计算能力，有人说欧拉计算就像呼吸一样简单。后人称他为“分析的化身”，分析也就是数学分析，俗称微积分。大多数理工科的同学都晓得微积分的厉害，而欧拉的拿手绝活是心算微积分 ------ 不过这不是他故意显摆，而是没办法。欧拉中年一只眼睛失明（所以欧拉又被称为“独眼巨人”），另一只眼睛视力也很差，晚年时更是双目失明，而他完全失明的十年内还不停工作。他的心算绝活不仅体现计算能力，也说明他记忆力的强大，据说他晚年还能大段背诵幼年时看过的文章。
咱们就此打住，我就不展开欧拉的数学工作了。现在来看看欧拉公式的证明。
上回点评的时候我给了个提示，欧拉公式有多个版本，分别是多面体版本，球面版本，平面版本。事实上，对所有曲面都有相应的欧拉公式，区别仅在于右边的数，这个数被称为欧拉示性数（Euler characteristic）。
证明的关键是，上面三个版本可以互相转换。
第一个证明据说是法国数学家勒让德（Legendre）给出的：
1， 在凸多面体内任意取一点，以它为球心作一个很大的球，把整个多面体都包在内部。把球心看作光源，将凸多面体投影到球面上，则线段变成大圆弧。我们只需证明球面欧拉公式。
2， 对顶点数做数学归纳法。我们任取球面多面体的一个顶点，设它连出去k条线。去掉这个点和连线，则V减1，E减k，F减k-1。等式右端不变。
3， V=4时显然成立。
够简单吧？我相信初中程度的朋友应该都能看懂。下面第二个证明则转换为平面欧拉公式，然后下手。
第二个证明据说是柯西（Cauchy）给出的：
1， 取定多面体的一个面，把这个面“挖掉”，我们想象把多面体放在地面上方，让挖掉的面在最上头，且与地面平行。在这个面上方很近的位置取一个点作为光源，将剩下的多面体投影到地面上。则问题转化为平面欧拉公式，等式右边为1。
2， 做“三角剖分”。对每个多边形，通过内部连线，划成三角形。任何n边形可划为n-2个三角形。整个过程不会改变等式。
3， 对三角形用数学归纳法即可。
前两个证明都只用到很少的几何性质，对图形的形状，角度，长度等等没有任何限制，图形如果发生轻微的扭曲挪动都没有影响。而第三个证明则略有不同。
第三个证明的思路很简单，通过计算所有多边形的内角和来推出等式。
我们来考虑单位球面（半径为1的球面）上的公式。首先回忆一下，球面上两个大圆弧的夹角指的是它们交点处分别引出的两条切线之间的角度。
下面用两种不同的办法分别计算单位球面上所有多边形的内角和。
1， 前文（我爱莫扎特:【原创】勾股定理（中之三）--- 古怪的几何）提到三角形内角和等于Pi+面积。 对于n边形，不难看出内角和为Pi*(n-2)+面积。所有多边形内角和总共是Pi *(2E – 2F) + 4 Pi ，其中4 Pi 是单位球面表面积。
2， 对每个顶点，以它为顶点的所有夹角的和为2 Pi ，全加起来等于2 Pi *V。
两种途径计算的结果应该相等，所以欧拉公式成立。
有兴趣的朋友可以试着计算一下平面多边形的内角和，同样可以得出结论。
以上给出了三种不同的证明，事实上证明还有很多，比如可以看 http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/euler/ 。
至此，这个小游戏告一段落。非常感谢各位参与的河友。前文点评中提到，比较好的思路有两套。一个是周师傅给出，并有不少网友加以完善。第二个是桑榆非晚给出，honeybl这几天还加以改进。应该说两种思路都对路，各有千秋。不过周师傅的解答较早，大家讨论的热情也很高。我想把通宝给他可能会好些。我会和铁手联系看看如何操作。大家如果有不同意见可以回帖告诉我。
关于欧拉公式，以及上面的三个证明，我打算再罗嗦几句，不过让兄弟喝口水先。
本帖一共被 3 帖 引用 (帖内工具实现)家园 说到高产，柯西也是很了不起 想起学数学分析那会儿，一个同学的qq签名就是：我恨柯西，此恨漫漫无绝期。
家园 柯西排名第三 猜猜看第二是谁？
呵呵。
家园 不禁想起欧拉解决的七桥问题。谢谢！ 家园 【原创】我说几句七桥问题吧 既然提到了，我简短的说几句。大家也可以直接看 http://en.wikipedia.org/wiki/Seven_Bridges_of_K%C3%B6nigsberg 。
这是一个真实的故事，格尼斯堡（Knigsberg）是原普鲁士的一个小城，现在应该在俄国，改名为加里宁格勒（Kaliningrad），城里有条河，河上有七座桥。人们一直很想知道，是不是有一种办法可以把所有桥走一遍，且每个桥只经过一遍。
欧拉第一个解决了这个问题。他的解法开创了一个学科：图论（Graph theory），学计算机的朋友应该很熟悉。
因为解法不难，我很快的解释一下。首先把陆地看成点，把桥看出点点间的连线。
外链图片需谨慎，可能会被源头改=>
外链图片需谨慎，可能会被源头改=>
外链图片需谨慎，可能会被源头改问题相当于说在这些点之间找一条道路，使得每条线都经过且只经过一次。这类问题称为“一笔画”问题。
欧拉给出了一笔画问题的一般解答。
如果我们把每个点连出去的线的数目称为该点的度数（degree）的话。则只有那些度数为奇数的点不超过两个的图才能够被一笔画。
这很好理解。一个一笔画的图，除去它的起点和终点外，中间每个点每次被经过都应该有一条线“进来”，一条线“出去”，因为每条线只用一次，该点的度数一定是偶数。于是只有起点终点可能有奇数的度数。
再看原题，它四个点的度数分别是5，3，3，3。当然无解啦。
不难吧。
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家园 F=GMm/r2算一个吗？ 我觉得这个应该算美且伟大的一个:)
家园 真的很美 我就一直不明白，为什么引力就正好是平方反比关系。还有库仑力也是。
用爱因斯坦的话来说：“宇宙最不可思议的是它可以被理解的。”
- 复 真的很美
家园 因为大自然讨厌奇点 才能使得引力是一个有限值，而不是无穷大，也不是无穷小
我在2006年所作的一个思考，记在了我自己的新浪博客中
那么为什么万有引力满足平方反比率呢？我认为很简单：万有引力满足平方反比率可以使引力场的场强在空间中没有奇点（引力场的值为无穷大）！
假定场强K ，我们假定万有引力满足x平方比例，那么K=GM/R**x （式1）
我们考虑质心是一根有限长度的直径为R1的非常微小的纤维（只在纤维的长度方向上，具有有限的尺度l，R1 趋向无穷小)
那么这根纤维的质量M就与这根纤维的体积成正比。
因为此纤维的体积又与纤维的L与纤维的截面积的乘积成正比，所以M与lR^2成正比
每个空间点
当空间点无限的该纤维的时候，R无限接近于R1，
只有x=2,才能保证这个场强为一个有限值，而不是无穷小，也不是无穷大，即没有奇点的存在
只要引力满足平方反比率，那么在空间中就不存在引力场的奇点！
奇点是大家都讨厌的，大自然和人一样也讨厌奇点，所以大自然选择了引力满足距离的平方反比！
有点头晕，也不清楚有没有问题，先抄到这里来再说
- 复 真的很美
家园 三维空间，球面积 r^2 如果有额外维度的话平方反比率会偏离的。
另外库伦力和引力是很难类比的，当然引力是幻觉，呵呵，这个说起来话长啊。
,这是他老人家等效性原理的杰作，要推出平方放比率可不是三下两下就搞定的，物理意义已不太一样，说来话长，我改天想到言简意赅的说法在接着八卦吧。