主题：趣味数学：从自然数总和为-1/12，到素数定理到黎曼猜想 -- 思想的行者

复变函数有一个魔法，它会告诉你

1+2+3+4+……=-1/12

1+4+9+16+……=0

1+16+81+256+……=0

第二个式子是1平方加2平方加3平方加4平方一直加下去

第三个式子是1四次方加2四次方加3四次方加4四次方一直加下去

第一个式子相信只要上过中学的第一眼看上去就觉得肯定不对，怎么可能正数加正数加着加着变成负数了

第二个式子和第三个式子也让人觉得不可能，怎么可能正数加着正数变成0了

但实际上复变函数论断言

所有的偶数次方，从1加到无穷大都等于0

这是为什么呢？

人们说互联网上啥都有，只要有问题就会有答案。

但很遗憾的是我搜索中文互联网，就没有几个答到了点子上，大都是牵强附会的回答。

实际上，要理解以上式子，就要理解复变函数的一个魔法叫做复函数的解析延拓。

在复函数中，一个函数的解析范围可以比另一个函数的解析范围大，而且在双方都解析的情况下，两者又都相等，那么这个时候，解析范围大的函数称为解析范围小的函数的解析延拓。

什么叫做函数的解析？

当一个函数加着加着变成无穷大了，这个函数就是不解析的，这个变成无穷大的函数是没有意义的或者说是发散的

回到前面的式子

1的-s次方+2的-s次方+3的-s次方+……

这个函数我们在前面介绍过了，是欧拉这个数学英雄发现它具有将连加变成连乘性质的名叫zeta（泽塔）函数即ζ函数

这个ζ函数在一般情况下只有s大于1才不会加着加着加到比任何一个数都大

即在一般情况下只有s大于1，这个函数才有意义。

但如果只能研究s大于1的情况，就没有黎曼后面的伟大的发现了。

黎曼发现，将上面的ζ函数变成一个积分，可以把这个函数变成一个在s更小很多的时候依然不会变成无穷大的函数，而且在s大于1的时候，两个函数又完全相等。

函数解析范围扩大，术语就叫做函数的解析延拓。

黎曼把ζ函数解析延拓成了什么样子呢

本人记性不好，记不住，只好拍照了

为啥1加2加3一直加下去变成负数了？

因为这里的1+2本来就不等于3这里的1+2其实就等于

上面的式子中取x=2就是1+2的值，显然这个值不等于3

那么为什么要解析延拓呢？

因为我们需要把这个函数比较重要的点给圈起来，然后对这个圈圈做积分。

这个ζ函数有一个最重要的点是s=1这个点。

这个点是不管你怎么做魔术，ζ（1）都会比任何一个数都更大，即s=1是ζ(s)的极点，做积分的时候需要把这个极点给包进去。

把这个极点包进去了，就可以很显然的得到高斯——这个数学王子在此前就素数研究而得到的一个结论。

高斯曾经就素数个数给出过一个相当精确的估计，并且完败了勒让德。

高斯是怎么估计素数个数的，黎曼怎么证明高斯的估计的，且听下回分解。