主题：趣味数学：从自然数总和为-1/12，到素数定理到黎曼猜想 -- 思想的行者

本人一直对数学很感兴趣 但是长期以来，我很难准确记住一个公式，随着我把中学的不愉快的或者过度亢奋的记忆慢慢清除，我的记忆力开始有了较大的恢复，现在也就可以写一些科普性质的小文章，主要目的是为了揭示数学的趣味性和美以及人们在探索过程中发生的一些事情

（一）

素数是无限多的，古希腊人最初的发现

一个自然数可以分成素数和非素数，这个在今天的人们看来是很显然的，但是第一个提出自然数可以分为素数和非素数的人不简单。

大概也没有人能够考证出是谁首先提出素数和非素数的分类 唯一可以肯定的是不是中国人，中国古代文献诸如九章算术周髀算经等等没有素数相关的内容。

但数学史上明确记载了一个古希腊人欧几里得，也就是我们初中学的几何的创造者，欧几里得第一个给出了素数有无穷多个的证明

欧几里得的证明很简单，我在初中参加数学兴趣小组的时候就看到了欧几里得的证明

假定所有的素数是p1，p2，p3………

我们设X=p1p2p3……+1

即x是所有的素数的乘积再加1

这个数X不可能被p1,p2,p3等等素数整除，因此要么X是一个新素数，要么X还有新的素数因子

因此素数个数不可能是有限的，素数个数只可能是无限的。

我初中的时候看到欧几里得的证明觉得这个证明很美。

（二）数学英雄欧拉来了

欧拉被人们赞誉为数学英雄，因为他做的数学贡献实在太多了

随便举几个例子，我们中学就学到的把自然对数和三角函数联系在一起的公式

e**(xi)=cosx+sinxi

我还记得当年课堂上数学老师用一种夸张的声调说好美啊，这个公式。

这个公式把指数函数和三角函数联系在一起 实际上成了推开复变函数大门的钥匙，下面我们会讲到复变函数。

但我们今天看到的这个看起来简单的公式是微积分发展到一定阶段以后才能证明的。

牛顿发明了微积分以后，马上就开始研究级数

例如e**x,logx等等怎么样把它变成一串长长的长长的长长的……无限长的函数的相加

例如1/(1+x)=1-x+x**2-x**3+……

log(1+x)=x-1/2x**2+1/3x**3-………

牛顿们发现，很多函数都可以这样，把它变成长长的一大串（当然牛顿们开始并没有给出严格的证明）

欧拉之所以能够发明上述被很多人认为很美的公式，他做的就是把左右两边都展开成长长的一大串，然后发现左右两边展开的样子完全一样，然后他就给出了那个看起来又简单又美的公式。

欧拉的贡献是说不完的，这里说一个比较不被人知道的就是阶乘函数的推广

最早是哥德巴赫问他，能不能够把阶乘函数n!推广一下，对于一个非整数例如0.5的阶乘怎么算呢。

欧拉收到哥德巴赫的信以后，并没有想多久，很快就给出了答案

欧拉给出的答案是所谓的gama函数，这个gama本来应该写成希腊字母，这里编辑希腊字母不容易

欧拉给出的答案是一个积分形式的式子，总之计算那个积分可以得到s*gama(s)=gama(s+1)

这个gama 函数非常重要 反正很多学科里经常可以看到那个长的像T一样的函数，例如概率论，数论，数论尤其是解析数论与这个gama函数简单是扯得难分难解。

说回到素数问题上来，欧拉这个数学英雄的一个重大发现是他发现了一个函数，这个函数的连加可以表示成一个连乘的形式

这个函数叫做zata函数，显然这也是一个希腊字母，这个字母长的像S这个字母似的，就是多转了一下。

zata函数就是一个无穷多项的连加

即n**(-s)的连加，即n从1加到无穷大

欧拉这个数学英雄发现

这个连加的函数等于1/（1-1/p）的连乘，这里p就是指素数，连乘由最小的素数开始乘起，一直乘下去。

这个数学公式也是非常美的，特别的是此后启发了另外一位大数学家黎曼，然后黎曼在欧拉公式的基础上谱写了新篇章

（三）插播，虚数是如何走上历史舞台的

我们中学时期就学过了虚数，但很多人相信都会有一个疑问，虚数有什么用，虚数是不是客观存在，不用虚数行不行等等。

这个问题在欧洲，很早就有人在思考这些问题了，确实把-1理解成i的平方是不是一个数学游戏，是不是仅仅是一个数学游戏呢，当时是有很多人困惑的。

一个支持虚数的重要性是欧洲围绕高次方程解法得出的结果。

夜已深，先写到这里