主题：趣味数学：从自然数总和为-1/12，到素数定理到黎曼猜想 -- 思想的行者

前面说到数学王子出马，他证明了一大堆与复数有关的定理以后宣布：以后大伙就用i来表示-1的开方了，然后复数的重要性就没有人怀疑了。

人们开始认真的对待复数，发现复数有很多奇怪的性质，例如一个复数函数常常不仅有一个值，而是有多个数值。

例如对于z的开方，就有两个数值

z的对数函数，则有无穷多个数值

等等。

这一点以后被一位杰出人物利用，他引进了一个观念，使得一个多值的复变函数可以理解为单值的复变函数。

这位杰出人物就是黎曼。

可以说黎曼是数学王子高斯的接班人，为什么这么说？

因为高斯有一天突发奇想，他在研究曲面的时候想，我是不是可以不用坐标系就能够计算曲面呢

曲面用什么来衡量，一个重要直指标是曲率。

曲率就是弯曲的程度

对于一条圆，曲率就是半径的倒数。

也就是说圆的半径越大，那这个圆的曲率就越小，这个圆就越弯的没有那么厉害。

如果不是一个圆呢，而是一条不那么规则的曲线呢？

那就要用微积分来计算了，每一个点上的曲率都不一样。

如果是一个面呢，面上每一个点可以划出无数条曲线，每一条曲线都有一个曲率。

但每一条曲线的曲率都由两条曲线上的曲率来决定，那两条曲线上的曲率叫做主曲率

高斯研究了两个主曲率的乘积的意义，以后人们就把两个主曲率的乘积称为高斯曲率。

爱因斯坦发明了广义相对论，广义相对论就是要计算曲面的高斯曲率。

那一天高斯摆弄了几个数值，发现曲面的面积 曲线的弧长，曲面的曲率等等都可以不依赖于坐标系，只要规定几个指标，计算那几个指标就可以了。

高斯得到那个结果非常欣喜，非常喜悦，让欣快的把他的发现称为绝妙定理。

以后爱因斯坦就是把这个绝妙定理发扬光大，提出广义相对论的。

但高斯年纪终于越来越大了，尽管他是数学王子，但他也有老去的一天，然后他有一天参加一个年轻人的博士资格论文答辩会，眼前一亮。

没错，这个年轻人就是黎曼。

黎曼把高斯的绝妙定理推广到多维空间，然后用了一大堆符号来计算诸如主曲率，高斯曲率等等。

黎曼就是善于推广，下文还会说到他把欧拉的连乘连加定理推广，从而成为了解析数论的奠基人。

黎曼对高斯的定理的推广是很重要的，我们知道后来爱因斯坦研究的就是四维空间，光靠三维空间是不够研究引力的。

还在读博士就推广了高斯绝妙定理，这个年轻人真是出手不凡，称这个年轻人即黎曼为高斯这个数学王子的接班人是一点不为过的。

黎曼不仅推广了高斯绝妙定理在复变函数领域，他也得到了一个非常基本的定理。

更准确的说他是与另外一位法国数学家柯西一起提出了一个柯西黎曼方程

然后有了这个柯西黎曼方程，人们就得到一个看起来非常简单的性质。

如果画一个封闭的圈圈，围绕着这个封闭的圈圈做积分，那么这个积分的数值仅仅取决于圈圈里面的拥有奇异性质的点，即所谓的奇点，奇点上函数变成无限大。

有了这个简单的定理，人们就开始到处去画圈圈了。

为了得到一个有效的数值，人们常常是这样画圈圈的

要么这个圈圈画成无限大，要么这个圈圈画成无穷小，要么在一条直线上来来去去。

例如我前面提到的欧拉发现的准阶乘函数，即所谓gama函数，人家是这样画圈圈的

从无穷远处开始往原点画直线，然后在原点附近画一个半径为无穷小的圆，然后再向着无穷大而去。

为什么要画无穷大，因为很多函数在无穷大处等于

0

为什么要画无穷小，因为很多函数在无穷小处等于0。

黎曼是一个非常善于画这种圈圈的人，有一日他凝视着欧拉发现的连乘连加公式，突然想到如果把这个欧拉公式中的一个量理解成复数会发生什么呢？

然后他就推开了解析数论的大门。