主题：几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 （0） -- changshou
我想我的困惑来自 ：结果如果是正的，我们说 点B 和 点A 是 类空分隔的类空分隔的；结果如果是0， 我们说 点B 和 点A 是 类光分隔的；结果如果是负的， 我们说 点B 和 点A 是 类时分隔的。
所以有刚才光速分隔时空的问题。
量纲是属于每个自由度所表示的物理量，而不是自由度本身。
通常所说的（时空）维度应该是说确定一个“点”需要几个自由度。从数学上来说，n维空间就中一个“点”可以用一个n维向量---含有n个自由度的向量表示。理论上来说这个n可以是任意的，可以用任意的n建立一套理论，当然到了物理中就只有符合试验的（同时也是最简的或其他指标）才是合理的。
几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （16）爱因斯坦方程
我们已经说了广义相对论的一个基本观点: 时空是洛仑兹流形。 洛仑兹流形有很多很多。所以下一个问题是
16.0 时空是哪个洛仑兹流形?
广义相对论的回答是
16.1 时空是 爱因斯坦方程的解。
这是广义相对论的又一个基本观点。我们可以在数学上定义一个量 用于描述 某个洛仑兹流形的内在弯曲的程度。 另一方面，我们再定义一个量用于描述 时空洛仑兹流形中 物质的能量动量的分布。 这里说的量，不是数，也不是一般的函数，具体是啥就不解释了。 但重要的是这些量描述了流形上 每一处的情况。
爱因斯坦方程说的是：
描述洛仑兹流形的内在弯曲的 数学量 等于 描述能量动量分布的 数学量
这里的未知量是度量结构，它决定了 描述洛仑兹流形的内在弯曲的 数学量。
方程的左边 是纯粹的几何量， 右边则是物理的（物质的分布）。简单的说， 物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动（分布）
。
16.2 时空 是动力学的
时空是动力学的 指的是 时空是一个微分方程--爱因斯坦方程的解。
朴素的观念中，时空同其中运动的物质没关系
。即使在狭义相对论也是这样。 狭义相对论中时空是给定的， 就是闵可夫斯基时空。 物质的运动分布不改变这一点， 虽然不同观察者认定的时空分解 是不同的。广义相对论中 时空不是 给定的 不受物质影响的东西
。
16.3 对话
你真的懂了上文了吗？ 请听对话。
大忽悠：电磁场是由一组微分方程---麦克斯韦方程描述。方程说的是 带电物质的分布 决定电磁场分布，于是 我们说 电磁场分布是动力学的， 因为它不是预先给定的。
小糊涂: 我不关心方程，就一个问题。 电磁场的分布是怎样的？
大忽悠：哪个电磁场？
小糊涂: 啥叫哪个电磁场？电磁场就是电磁场！
大忽悠：如果告诉我带电物质的分布， 我可以解方程，告诉你这些带电物质 造成的电磁场的分布。如果你什么都不给我，我连你问的是哪个电磁场都不知道。我怎么能回答得了呢？
小糊涂: 难道不是只有一个电磁场吗？我们这个世界的电磁场。
大忽悠：我们这个世界的电磁场？ 难道你说的是整个宇宙（包括其全部过去和未来）的电磁场
？
小糊涂: 如果是呢？
大忽悠：回答不了，除非我知道全宇宙的带电物质分布。不过如果你只要一个很宏观很粗糙的估计， 我可以用天文望远镜观察一下宇宙大尺度的带电物质分布。 然后给你一个只在大尺度有用的电磁场描述。我过几天可以给你一个模型。
不过难道你对 地球附近的电磁场 或者你手机附近的电磁场 不感兴趣吗？ 虽然它们也是全宇宙电磁场的一部分， 但直接从全宇宙角度研究是不可能的。另一方面 如果它们 受其他宇宙间带电物质的影响很小（比如距离远）， 那么我可以只研究 地球附近的电磁场 或者你手机附近的电磁场 而忽略宇宙间其它部分的电磁场。
小糊涂: 也就是说，我们实际上研究的是 给一个可能的带电物质分布会产生什么电磁场这类的问题。 或者说 
我们研究的是 可能的电磁场：麦克斯韦方程的解。当然全宇宙的电磁场也是一个可能的电磁场。
大忽悠：你终于不糊涂了
再来一段
大忽悠：现在我们说时空。时空是由一组微分方程---爱因斯坦方程描述。方程说的是 物质的分布 决定弯曲的时空度量流形，于是 我们说 时空是动力学的， 因为它不是预先给定的。
小糊涂: 我不关心方程，就一个问题。 时空是哪个洛仑兹流形？
大忽悠：哪个时空？
小糊涂: 啥叫哪个时空？时空就是时空！
大忽悠：如果告诉我物质的分布， 我可以解方程，告诉你这些物质 导致的时空是怎样的。如果你什么都不给我，我连你问的是哪个时空都不知道。我怎么能回答得了呢？
小糊涂: 难道不是只有一个时空吗？我们这个世界的时空
。
大忽悠：我们这个世界的时空？ 难道你说的是整个宇宙时空，宇宙本身？
小糊涂: 如果是呢？
大忽悠：回答不了，除非我知道全宇宙的物质分布。不过如果你只要一个很宏观很粗糙的估计， 我可以用天文望远镜观察一下宇宙大尺度的物质分布。 然后给你一个只在大尺度有用的时空描述。我过几天可以给你一个模型。
不过难道你对 地球附近的时空 或者某个黑洞附近的时空 不感兴趣吗？ 虽然它们也是全宇宙的一部分， 但直接从全宇宙角度研究是不可能的。另一方面 如果它们 受其他宇宙间物质的影响很小（比如距离远）， 那么我可以只研究 地球附近的时空 或者某个黑洞附近的时空 而忽略宇宙间其它部分的物质和时空。
小糊涂: 也就是说，我们实际上研究的是 给一个可能的物质分布会产生什么时空这类的问题。 或者说 我们研究的是 可能的时空：爱因斯坦方程的解。当然全宇宙时空也是一个可能的时空
。
大忽悠：你终于不糊涂了
小糊涂: 嗯。。。等等。。。不对。。。不对呀。你在忽悠我
。物质分布决定时空，可是物质不是分布在时空中吗？ 如果时空本身还。。。
大忽悠：打住。从这里开始 电磁场的比方就不能用了。 但至少之前 你说的 “我们研究的是可能的时空：爱因斯坦方程的解”这句话还是对的。 你的疑问我以后回答。眼下先让我顺着这句话往下讲。
16.4 宇宙和可能的时空
希望上面一段对话使你理解了 为什么 我们研究的是可能的时空：爱因斯坦方程的解。
注意：这里说的爱因斯坦方程的解 指的是某个满足方程的洛仑兹流形。 而不是某个固定流形上的满足方程的度量。（这里恐怕又要产生新疑问了，同样的，我以后再解答）。所以 可能的时空（爱因斯坦方程的解）都是洛仑兹流形。 但反过来当然不行。
待续
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是只有唯一解还是理论上可能有多个解？
也许这样问更合适，给定了物质分布，该方程理论上有多少解？
这里的“动力学的”，英语词是dynamic吧。我的阅读理解是，这个弯曲是“动态的”，即弯曲性质随时间在变化，而非固定不变（即静态static）。这里“动力学的”和“动态的”是否是同一意义？“动力学”一词总让人去想“力”，那么这里的“力”是否和“引力”相关？读到这里，不由对种种物理意义的内在一致性已经不感惊奇了，时间尺寸与空间尺寸的一致性，物质与能量的一致性，物质与时空的一致性，引力与弯曲的一致性，等等等等......
但这个“有唯一解" 的意义并不简单。
是dynamical.和“力”没有关系。译为 动力学的 是因为dynamic一般译为动力学。
不是这样的。一般物理学中 动力学的 大致指的是 有微分方程制约 从而导致 物理系统的状态 只是可能状态中的特殊的一些。 这说的不是某性质是否随时间在变化 而是如何随时间变化。 比如 牛顿力学中， 通过研究 位置随时间在变化 而定义速度， 然后再定义加速度。这不叫动力学，叫运动学。第二定律（微分方程）出来之后才叫动力学。又如我前面讲过的狭义相对论内容 只是运动学。所以我没能讲著名的质能关系（属于狭义相对论动力学）。如果我译为 动态的，就变成强调存在变化， 而不是强调 满足微分方程。
具体到广义相对论， 又有新情况， 由于时空（而不是空间）受方程制约，连要在一般情况下说清楚 什么叫 “随时间变化”都是 爱因斯坦写出方程后过了很多年才解决的。
“时间尺寸与空间尺寸的一致性，物质与能量的一致性”是狭义相对论的后果。“引力与弯曲的一致性”这是广义相对论的内容。“物质与时空的一致性”， 没有这种说法，引申过度了。
目前还没看到过有研究二维时间的。而且俺觉得如果不是因为时间有个所谓的箭头的话，有可能和空间统一起来研究。
几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （17）引力和广义协变性
17.1 不需要谈引力
有质量的东西会产生引力， 引力作用于任何物体。它的作用就是 影响物体运动。所以一个 有质量的东西 会影响其他物质的运动。
根据爱因斯坦方程， 有质量的东西会导致时空弯曲， 时空弯曲 影响物体运动。所以一个 有质量的东西 会影响其他物质的运动。
广义相对论的再一个基本观点是: 上面两段话说的就是一回事（所谓的“等效原理” 说的就是这件事）
。引力就是时空弯曲。 所以不必再说什么 地球产生引力以及这引力是怎样的话了， 直接说 地球弯曲了时空以及是怎样弯曲的。
17.2 爱因斯坦方程的来历
虽然在我的科普中不需要谈引力， 但我要指出历史上 爱因斯坦方程的导出 是研究引力的结果。大体上说 是通过分析引力的一些特性 意识到用弯曲时空的几何语言来描述 是很好的选择， 然后比照着场论的一些方法 以及 在弱引力场的情况下应该化为牛顿引力的要求 凑出一个结果（但是不对）。 然后对这个结果进行修补， 消除一些明显不合理的地方。 最终 制约时空的基本方程：爱因斯坦方程就诞生了。
17.3 爱因斯坦方程有多种导出法
我知道的导出法就有七八种。有看起来比17.2 更自然的方法。 而且不少并不需要先分析引力。 这其实是一件很深刻的尚未被人类吃透的事情（比如弦理论的一个惊人之处 就是它可以从一个与引力和动力学的时空毫不相关的出发点 导出爱因斯坦方程）。
17.4 在广义相对论中 爱因斯坦方程是基本假设
因为所谓的导出，实际上总要用一些不能从纯粹逻辑推出的假设（过程是数学推理， 但用什么数学从何推起 不是由纯数学决定的）。因此我要强调这一点。
17.5 广义协变性
这是广义相对论中 重要性可与“时空是动力学的” 这一观点相并列的要点。 广义协变性 指的是 爱因斯坦方程中左边的几何量 只依赖于 度量结构本身而不依赖于坐标。 还有 右边的物质量 也不依赖于坐标。
这为什么是一件重要的事呢？ 回想一下 坐标系的物理意义。每一个时空中的观察者 都带有自己的坐标系（自己的标记时空中点的方式）。他们 可以在自己时空经历中（世界线）的任意一点使用任意的坐标系 并随时转用不同的任意的坐标系。每一个坐标系都带有不同的时空分解方式。不同坐标系之间，不同观察者之间对于时间空间的看法有极大的差异。 而且坐标系还只是局部的。这是一个多么混乱的世界啊。这时，广义协变性要求，时空的性质 物质的分布 和制约他们的规律 是不依赖于 坐标系和观察者的。这就为 纷乱的 时空体验 建立了一个基本组织原则。
在狭义相对论中，我们有一组特殊的整体坐标系（惯性参照系）。 当我们用它们来定义 度量结构后，只有特殊的坐标变换（洛伦兹变换）能保持物理规律的形式。但在广义相对论中 广义协变性要求 任何的坐标变换都不改变我们的方程。这就是 广义相对论中“广义”一词的由来。（这里有一个重要的区别，狭义相对论中我们用整体坐标系定义度量结构， 这其实是很不自然的观点（见（8））。在广义相对论中，我们再也不能这么做了，我们只能用局部坐标系描述度量结构（8）。）
广义协变性 是很强的对称性要求。 它限制了 要在弯曲的动力学的时空中描述物质运动的规律 所能采用的形式。 为了能成为一般的时空中 也能成立的规律，传统的电磁场论，流体力学等都必须作改造 以满足广义协变性（已经改造过了）。
17.6 规律 和 规律的规律
广义相对论描述引力，从这个意义上讲，他是物理规律，即它描述 一种物质的相互作用。
然而广义相对论本质上 又是时空的理论。时空的理论 难免要制约 任何物质的相互作用。 从这个意义上讲， 它是规律的规律。
作个比较好了。电磁场理论描述电磁场，是规律。 电磁场理论对万有引力的规律能说什么？ 什么也不能。根本不关他的事。牛顿引力理论描述万有引力，是规律。牛顿引力理论对电磁场的规律能说什么？ 什么也不能。根本不关他的事。
广义相对论则不然。 本来他不是研究电磁场论，流体力学或者其他物质规律的。 可一旦问世， 就逼得电磁场理论，流体力学和其他规律非接受改造不可（17.5）。为啥这么霸道？因为这理论控制了时空。广义相对论 规定了其他物理规律需要满足的一些条件（主要是广义协变性 ）。 这就是 规律的规律。 狭义相对论也是 规律的规律，但他是广义相对论的特例和近似。
还有一个 像广义相对论一样霸道的 规律的规律， 他叫量子力学。
规律的规律 碰上 规律的规律 会怎样？量子力学和狭义相对论 相撞，最后结合起来了，叫做量子场论。 量子场论 加上一个叫规范场论的规律， 给出了当代描述基本粒子的理论：量子规范场论。量子力学和广义相对论的结合还没有实现，这是当代物理的一个基本问题。
17.7 更高维（或更低维）的时空
广义相对论的模式不需要假定空间是三维的。 爱因斯坦方程 在任意维都可以写。 只要假设时间还是一维的，以上讲的各种概念（如光锥等）也都可以用。不过低维数时弯曲的花样比高维数时要少。比如 如果我们让 爱因斯坦方程右边等于0（没有物质），我们就得到 描述弯曲的数学量（左边）也是0。你可能以为 这意味着时空是平直的。 其实有很多控制内在弯曲的数学量，爱因斯坦方程用的只有中等控制力。 从4维（时空）开始 爱因斯坦方程用的描述弯曲的数学量（左边）为0 不能保证 时空是平直的（闵可夫斯基时空）。 也就是说 从4维（时空）开始 广义相对论允许 空的（没有物质） 弯曲的 时空。
有一些前沿理论（如超弦理论）对时空维数有限制，是有广义相对论之外的其它原因。不过即便如此， 在这些理论中 给定维数的时空 在能量不是极高的情况下（以至于要考虑量子引力），仍然是由 广义相对论描述的。
待续
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1。绳子（一条直线）可以拴住内在的橡皮膜球面的唯一可能是，穿过这个球面。
2。要穿过这个球面，必须有一个“洞",这个洞的唯一可能就在两片膜粘合的地方。因为离开这个粘合的地方，就是平面内部，绳子穿不过去
3。但是，如果粘合的地方被规定成了头尾相接的带子，而带子又被规定为两个长方形粘在一起，粘合部位是两个小长方形，所以，不可能存在这么一个洞。
所以，绳子拴不住 内在的橡皮膜球面
觉得自己像个 神经病 ！！！
绳子本来就无所谓“穿”。只有球面，没有其他 所以不存在从球面“穿”到什么地方去。绳子套不住平面膜，是因为它可以在平面膜上连续的缩为一点。整个过程完全在平面膜上完成，这是“内在的”操作。
不是这样的。不是因为 两个小长方形或带子 堵住了绳子。因为如前所述，绳子根本无地可穿。而是因为按照我们的粘法，绳子即使箍住了头尾相接的带子，也可以沿球面滑到某一块平面膜上。
你要理解这里的“洞” 绝不是 以球面为边界的球体的内部。因为球面是内在的，根本没有球体。内在的球面不是谁的边界。内在的球面上面没有"洞".
一个直观的方法如下。将内在的游泳圈 按通常方式嵌入3维空间。按通常方式用绳子拴住他。收缩绳子使绳子完全箍在嵌入的游泳圈上成为游泳圈的一部分。嵌入的游泳圈给出内在的游泳圈（扔掉3维空间就可以），见（4）。绳子便转到了内在的游泳圈上。它不能在内在的游泳圈上缩为一点，因为如果它能 它也可以在嵌入的游泳圈上做到。虽然为了证明 我使用了嵌入的游泳圈，但沿着内在的游泳圈滑动或收缩是内在的操作。
内在的游泳圈 不是任何东西的边界。但因为它能被绳子拴住， 我们说它是有洞的。