主题：【原创】上帝之书 -- 我爱莫扎特

首先第一条：欧几里得的公理体系远远称不上严密，用服装来比喻的话，连渔网装都算不上，最多也就是条丁字裤，基本上什么都没包住。

1. 在欧氏体系中缺少关于存在性的公理，于是连“存在一个点”这种简单到极点的命题都无法证明，也就是说，欧氏体系有可能在放空炮，讨论些类似于上帝的老婆长什么样之类的问题。

2. 欧氏体系缺少关于顺序的公理，所谓顺序，就是一条直线上三个点之间的位置关系，直观上看一条直线上任取三点必定有且仅有一点在其它两点之间。还有就是平面顺序公理，一般陈述为：直线a在平面ABC上，但不过A,B,C任一点，若a与线段AB相交，则a必与AC或者BC相交。缺少顺序公理导致一个著名的悖论：任意三角形都是等边三角形。

3. 欧氏体系缺少线段、角相等的公理。在不同位置的线段或者角怎么样才算相等，欧几里得借助于直觉。

4. 欧氏体系缺少关于空间维数的公理。

5. 欧氏体系缺少完备性公理。这样你就无法证明100度角的存在性。

关于改变一些公理得到新几何的尝试当然有了，比方说改变平行公理，就得到罗氏几何（不能直接得到黎曼球面几何，原因是球面几何的顺序公理不太一样，一个圆上的三点中的任一点都在其余两点之间）；改变完备性公理是最简单的，得到不完全的欧氏几何，研究对象只是欧氏空间的一部分；改变阿基米德公理得到非阿基米德几何。（阿基米德公理：设AB，CD为任意非零线段，则存在自然数n使得n AB>CD。）

公理体系并没有规定自己的适用对象，比方说，它并没有规定什么叫点，什么叫线，什么叫相交，你要把点理解成地球上的人，线理解成人与人之间的关系，这也不是不可以，如果经过检验你选的那些关系满足公理，那么一条几何定理就可以解释成人际关系中的相应定理。所谓“欧氏几何和我们日常经验相符”必须通过对对象的阐释实现，

这个太牛了。我学线性代数的时候无法想象多维变换的几何意义，导致难以理解进而学得一塌糊涂。

这句话是我最关心的。我倾向于认为，存在某些数学关系，用终极的方式描述宇宙的一切。所以，如果我们需要对某些公设进行修修补补，然后再一一检验，发现它们各自的适用范围。那么，这些各不相同的几何学，看来都不是“最完备的几何学”。这个现象很令人失望啊。不过是令我这个外行失望，呵呵。

判断一个学科是否是科学，就看他是不是应用了数学 —— 是抄康德的。

　　法国的这个可参看《基度山伯爵》这本书，可以传递编码信息（当然这也与法国用的是字母，编码比转简单），就是说可以传递一篇短文，传递的信息比烽火台的狼烟丰富多了。

公理体系的完备性：对属于该公理体系的命题，必须能够给出基于给定公理的证明或者否定，也就是说，公理必须足够多。

很遗憾，由于哥德尔不完备性定理，可以说大部分公理体系都彼此彼此。

你这里说的完备性似乎是另一种含义：理论所描述的对象必须包罗万有，这个根本不可能。

首先我得再强调一遍我是外行，呵呵。在我自己的领域，我其实很不喜欢和外行谈专业话题（美女除外），太累。所以老兄愿意多给我些指点，我非常感激啊。

我选择完备这个词，因为这个词听起来实在太舒服了，能够很好的表达我对一个终极理论的感受。（比如“完善”，就不好，听起来好像总可以继续“完善”下去。）但是看了你的帖子，我才意识到，我似乎用了一个已经有明确定义的术语。希望我的鲁莽用词不会造成误会。

我对这句话的疑问是：什么叫属于某个体系？直觉上，如果某命题可以被某公理体系加以证明或证伪，则应该属于这个公理体系。很显然，这一直觉和上面引语循环论证。所以，什么叫属于某个体系。

我认为应该存在某种“科学宿命论”，虽然这种宿命论必然不是像拉普拉斯所言的决定性的，但它一定囊括一切命题，或者说一切现象。这个观点的出现是如此自然，以至于我觉得完全不必要去证明它。难道你相信宇宙是被若干互相独立的规律支配运行的？

在马克思50多岁时，他极其关注俄国的革命情况，用六个月的时间学会了俄语。呵呵，俄国真是一块好石头，凡是自觉够硬的家伙，都可以冲过来跟它比划比划硬度。

不过高斯学俄语的时候已经70了，很多人到这个岁数连母语都说不利索了。

并不是说这个命题在体系中能被证明或者证伪，而是说这个命题所用到的概念都在公理体系中有意义（公理体系的原始对象和关系，或者体系中的定理保证的可以定义的对象和关系）。比如说“铁手英明神武”这个命题就不属于欧氏几何，因为“铁手”和“英明神武”在欧氏几何中不可能有意义。而连续统假设这个命题在实数理论（包括集合公理）中就有意义，但是它在实数理论中是不可证明的。

理论不完备就是说理论涉及到的对象的某些性质超出了自身能力。这样对同一个理论可以造出两种模型，都满足所有给定公理，但是这两种模型可以对某些命题给出相反的答案。

数学并不要求描述宇宙的规律，不管宇宙的规律是什么，数学都允许研究这个规律的反面，并且两者地位等同。

我对“不可证明”这个概念比较好奇，听起来像是在说“公理对该命题无能为力”。

印象中，形式语言里有一个概念叫“不可计算”，天，当时就是这个概念把我难得够呛。而这个“不可计算”其实还是能严格证明的；现在要“不可证明”了，我实在有理解困难。呵呵。

看来我得学习一下相关知识才能问出有意义的问题。

准确地说，在去掉第五公设的欧氏几何公理体系中第五公设这个命题有意义（所有涉及到的概念——直线、外、点、过点的直线、相交——都在理论范围内），但是不可证明，认为它成立，就是欧氏几何，不成立，就是罗氏几何，两个体系都自洽，证明这点用了两千多年。

“第五公设不可被前四条公设证明” -- 这个论断虽然足够明显（驰名），但是要证明其正确性一点都不简单啊。那些家伙不是花了两千年么，而且本楼主题也是这个，再而且，我从来就没明白，只是记着结论了。

抛开第五公设不谈，能不能有一个什么简单的例子，这个例子证明什么命题是不可证明的。比如：

老铁英明神武

证明：

老铁、英明、神武都是西西河有定义的概念。

但是，老铁如果英明神武了，就必然不英明神武；如果不英明神武，就必然英明神武。

所以，完全没法证明。

呵呵，见谅啊，胡话太多了。

柏拉图

定义1：人是没有羽毛的两脚动物；

定义2：蛋是……；

定义3：下蛋是……。

命题：人会下蛋。

这个命题有意义。成立？还是不成立？在上述定义（公理）中无法得到答案，不能证明也不能证伪。