主题：【法老的3.14】 （上） -- 小人书
家园 【法老的3.14】 （上） 
外链图片需谨慎，可能会被源头改“死神将展开他的双翼，扑向敢于打扰法老安宁的人。”---- 刻在图坦卡蒙石棺上的话
如果世界上没有巧合，我们当然也可以活下去，但活得一定乏味多了。比如说，太阳和月亮看上去一样大，就是一个近乎神迹的巧合。你想想，环绕一个恒星的地球只有一个卫星，这个卫星的体积和那个恒星的体积简直不成比例，而这个卫星和地球的距离，与地球和恒星的距离也毫无关系。可是，从地球上看，它们的面积居然完全一样！
下面我们再来看一个神奇的巧合故事，关于金字塔的故事。（主要素材来自于一部德国科普电视片，和一篇华盛顿大学Ralph Greenberg的论文：Pi and the Great Pyramid）
1
John Taylor是英国《伦敦观察家》的编辑。十九世纪中叶，他像《尼罗河惨案》里的那些欧洲人一样，来到埃及游山玩水，一睹古代文明的辉煌。Taylor还是个业余数学家。有一天船到吉萨，面对伟大的胡夫金字塔（The Great Pyramid，吉萨最大的金字塔），他突发奇想地进行了一个计算。
胡夫金字塔的底边长度是230.38米，高度是146.6米。那么底边周长就是230.38*4=921.52。Tylor用这个数除以146.6的2倍，也就是293.2米，他得到了 ---- 3.14！（确切地说，是3.142974）
这是什么意思？这就是说，胡夫金字塔的底边周长等于以高为半径的圆的周长。好吧，那又怎么样？那就是说，早在4500年前的第四王朝，古埃及人已经知道了圆周率的小数点后第2位！
Taylor结结实实地被自己的发现吓坏了（据说他晚年的最后时光是在精神病院度过的，不知道是不是与此有关）。1859年，他发表了的著名文章《大金字塔》，提出了这一发现，从此揭开了轰轰烈烈的“金字塔学”的序幕。各种关于金字塔内外神秘数字的新奇发现蜂拥而至，上帝、史前文明、外星人等等解释络绎不绝。登峰造极的时候，传说在金字塔里放过的剃刀都比较好使。当然，这剃刀一定不是“奥卡姆的剃刀”。
“奥卡姆剃刀原理”是科学界普遍接受的一条准则，“如无必要，毋增实体”。简单地说就是，一个事物有多种可能的解释，那么最简单的那个解释，往往就是最正确的。
为什么大金字塔里会隐藏着圆周率3.14？古埃及人真的曾经达到过一个神秘的数学高峰么？有没有比上帝或者外星人更简单的解释？（你也许会认为上帝或者外星人的解释很简单，如果不考虑他们的身世背景、家庭成份，等等。可是。。。）
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这个问题争论了一百多年，连同金字塔到底是谁造的问题，一直争论到了二十世纪末叶。70年代，一个日本考察队为了测试人类是否有可能不借助现代工具建造金字塔，来到吉萨实施一个实验项目，召集当地人一同建造一个小型金字塔。他们试图唤起人类远古的精神，热情、梦想和敬畏。
可是有一天下雨了。这在吉萨倒是很少有的事。不能开工，他们坐在帐篷里没事儿干，只好看电视打发日子。电视里正在转播东京马拉松赛。马拉松的长度是42公里195米。怎么在弯曲的大街上测量这个长度呢？很简单，骑一辆自行车就可以办到。只要知道自行车轮子的直径，乘以3.14得到周长，再乘以轮子滚过的圈数，就得到了车行驶过的距离。
轮子！就是这个！日本考察队员就这样突然地揭开了谜底。
首先，让我们回到过去。古埃及的计量单位不是现代的米，而是“法老的肘尺”（Royal Cubit）,也就是从法老的指尖到胳膊肘的距离。1肘尺大约是0.525米。我们下面就采用古埃及的说法，大金字塔的底边大约是440肘尺，高度为280肘尺。
接着，让我们想想古埃及人会怎么确定金字塔的底边长度。我们要造一个正方形的金字塔，当然要让四个边都准确地保持一致。用绳子是可以的。但拉紧的绳子也许会产生较大的伸缩偏差。像东京马拉松赛一样，用轮子，似乎是个好办法。就用轮子。
继续，如果你是古埃及人，你会做一个多大的测量用的标准轮子？最容易想到的，当然是直径为1肘尺的轮子。轮子做好了，就找好金字塔底边的中心位置，从这个点开始，把直径为1肘尺的轮子向两边滚，各滚70圈，一共140圈，就得到了接近440肘尺的底边。（在这里，重要的不是精确的440肘尺，而是四个底边都精确地保持一致。）
下面开始搭金字塔吧。还不行，因为我们还不知道金字塔的侧面斜度是多少。太陡的金字塔可能更壮观，却是不牢固的；太平坦又没有气势。多大的角度是合适的呢？
这里，又要引入一个神奇的数字。古埃及人认为，让一捧沙子自然下落所形成的锥形角度，是最稳固的角度（呵，那里最多的就是沙子，这个想法是很自然的）。51度51分，也就是51.85度（度数是60进制的不要忘了），被称为“黄金角”。绝大多数金字塔的斜面都接近这个角度。
被称为“黄金角”，是因为这里还隐藏着一个数字。看看它的底边与斜边之比，也就是余弦：COS(51.85)=0.618。这是什么？上帝啊（实在不能不喊一嗓子了），这就是所谓的“黄金分割率”！
底边440肘尺，斜角51度51分，得到的高度就是280肘尺了。事实上，你不需要知道圆周率到底是多少，你只需要一个轮子。只要用一个轮子测量底边长度，随便滚多少圈，再按照“黄金角”搭建斜面，建成之后，你总能得到一个包含3.14的金字塔。3.14这个数字是被轮子“自动”带进来的。
简单么？里面没有上帝（尽管我喊了一声），没有外星人，没有超乎我们想像的史前或远古文明。唯一值得赞叹的，就是古埃及人能把轮子做得那么圆，圆到了可以显现出圆周率的小数点后第二位，尽管他们并不知道小数是个什么东西。
德国的一个电视台记录的这次发现，把这个解释呈现在百万观众的面前。80年代中期，中央电视台翻译播放了这部片子。片尾的一句话，从此就深深地刻在我的脑子里。以后每当我遥想祖先，这句话都会浮现出来：
“古人也许没有我们今天的技术，但是他们和我们一样聪明。”
[后按]
注意注意：故事还没有完。还记得“奥卡姆剃刀”么？
在这个貌似完美的解释里，还有几个重要的问题。如果你看的时候没有亲自演算，你就被我骗了。事实上，用1肘尺直径轮子滚140圈，得到的长度是438肘尺，而不是440肘尺。这还不太要紧。真正要紧的是，黄金角不是一个整数，而5000年前的古埃及人是不应该知道小数的。轮子可以帮助他们解决长度测量，却无法解决角度测量。而且，在埃及接近100座金字塔里，只有几座包含了3.14。其他的，有的是3，有的是3.16。如果古埃及人真的是用轮子，而打磨轮子的工艺又如此精湛，为什么却会产生这么大的偏差呢？
真实的情况，或者说最符合“奥卡姆剃刀原理”的情况，是什么呢？
杨林【尼罗河女儿】
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元宝推荐：抱朴仙人,不爱吱声,晨枫,家园 【法老的3.14】（更正＋说明） 感谢各位朋友的热情帮助！我在写这个帖子的时候，由于过份沉醉于Greenberg的设想，没有仔细回忆20年前看的那部关于日本考察队的电视片，以至于出现解释的差错。现在更正。并再说明一下整个胡夫金字塔数字之谜的“可笑”巧合。
一：基本数字
胡夫金字塔是埃及地区最大的金字塔，位于吉萨。底边长230.38米，高度146.6米。
古埃及计量单位：1掌＝4指；1肘＝7掌＝28指
换算：1肘＝0.525米
于是可以说，胡夫金字塔底边长440肘，高度280肘。注意：这里有“约等于”，但我们有理由相信一些当初测量或后来风化的原因造成的不准确。我们喜欢整数，古埃及人也“应该”喜欢整数。
二：神秘数字
胡夫金字塔底边周长：440*4＝1760
胡夫金字塔底边周长除以高度的2倍：1760/(280*2)＝3.142857
也就是说，胡夫金字塔底边周长几乎等于以高为半径所画的圆，其中的圆周率准确在3.14。神秘之处在于：胡夫金字塔建于4500年前，那时候的人“不应该”知道这么准确的圆周率。
三：日本考察队的设想
在设计金字塔时，古埃及人是以1肘尺为直径的轮子测量底边长度的。从中心点开始，将轮子向两边各滚70圈，也就是一共140圈。
这样，底边周长即为：1*3.14*140*4 （注意，在此我们采用3.14作为圆周率）
同时，胡夫金字塔的高度“恰好”是280
于是，轮子滚的圈数（140）恰好可以和金字塔的高度（280）约分。这样，就剩下了3.14。这个3.14，是轮子带进来的。
当然，我们也可以采用3.1415926作为圆周率。而实际存在于胡夫金字塔内的数字是3.142857。其小数点后第三位不同。这个，被日本考察队解释为轮子（的圆的程度）的误差。
这个设想的问题在于：为什么胡夫金字塔的高度恰好是280肘，而轮子滚的圈数恰好是140圈。这两者之间是偶然的巧合，还是有必然的联系？
于是引入了“黄金角”，即51.85度。底边为440肘，按黄金角搭建，则高度必然为280。
但是，仔细看一下就会发现，黄金角里也包含着3.14这个数！正如藕饼朋友指出：
4/tg(51.85)＝3.14
也就是说，这个3.14可能不是轮子带进来的。任何按照黄金角搭建的金字塔，都必然包含3.14。也就是说，这个3.14，并不是圆周率。
四：Greenberg的设想
Greenberg认为，古埃及人以1肘（28指）为单位，首先确定了金字塔的高度。再以22指为比例确定半底边的长度。
于是胡夫金字塔的底边周长为44*4，再除以高的2倍：
44*4/(28*2)＝3.142857
这就是3.14的来历。这个3.14，也不是圆周率。
五：黄金角
51度51分，即51.85度，是所谓的“黄金角”。一种说法是，因为它是沙子自然下落所形成的角度；一种说法是，其余弦接近黄金分割率0.618。
简单地说就是，如果按高28、半底边22建造金字塔，必然形成黄金角，也就是说，其半底边与其侧剖面斜边之比，为黄金分割。
那么留给我们，特别是Greenberg，的问题就是：
1 “黄金角”真的跟黄金分割有关么？还是也像22/7与圆周率的关系一样，只是个数字的基本巧合呢？
2 如果黄金角确实和黄金分割有关，那么胡夫金字塔中出现了黄金角，只是因为28/22的巧合呢，还是有什么更深层的联系？换句话说，4500年前的古埃及人有可能知道黄金分割率吗？
如果答案只是巧合，那胡夫金字塔真是天下最大的巧合了：它包含一个和圆周率极其相似的数字，同时包含一个和黄金分割率极其相似的数字。
这就是整个的故事。
家园 恭喜恭喜，欢迎欢迎。 恭喜！！撞大运了！！此贴在您这里成为【西西河名贴】!推荐成功!
家园 “下”写得很清楚，“上”却左看右看都不懂 3.14跟轮子有什么关系？
轮子就是保证了四边一致，跟高度就扯不上关系了，更别说底边周长与高度之比。虽然说“下”篇否定了这个说法，可这个说法本身是从哪里来的呢？完全都没有道理的啊。日本同学时喝醉了酒，随便胡整了个说法？
家园 那个轮子的说法 因为它用1肘尺标准轮子的假设，可以解释为什么金字塔底边周长除以高度可以得到3.14。注意那个数字：1肘尺的轮子滚140圈，得到的是底边长度:
1*3.14*140*4=1758.4
而金字塔的高度恰好是280肘尺。设想一下：以280肘尺为半径的轮子滚，则是：280*2*3.14=1758.4
就是说：高度(280)和1肘尺轮子滚过的圈数(140)有简单的比例关系。这个地方我写的时候和角度纠缠在一起了，是我的错误，而不是日本考察队的错误。
另一个说法就是：和高度有关系的也许就是“黄金角”中的比例，就是藕饼说的，4/tg(51.85)=3.14
这个以1肘尺为标准的设想很重要。在Greenberg的理论里，也用到了1肘尺(28指寸)标准，不过是用在了高度与底边之比。
- 复 那个轮子的说法
家园 第二个关于黄金角的说法好理解，但那跟轮子没关系。 第一个说法还是不懂。在“下”篇Greenberg的理论里，1肘尺换算为28指寸，因此会有28这个数字，所以在他的理论里肘尺很关键。但是“上”篇里肘尺没关系呀，就算用英尺代替肘尺，照你的说法还不是一样的结果？不妨换一下试试看：
注意那个数字：1英尺的轮子滚140圈，得到的是底边长度:看，不是一样？1*3.14*140*4=1758.4
而金字塔的高度恰好是280英尺。设想一下：以280英尺为半径的轮子滚，则是：280*2*3.14=1758.4
跟轮子也还是没关系呀，你说“设想”一个280肘尺半径的轮子，可有那么大的轮子么？没有，所以只能在脑袋里算，如果没有圆周率，古埃及人怎么知道280肘尺为半径的轮子滚一圈是多远？你的说法似乎在倒果为因啊。
总之的总之，看不出跟轮子有什么关系。
家园 确实是我写错了 应该这样说：
用1肘尺的轮子滚N圈，所得金字塔底边周长为 3.14N*4
如果金字塔高度为2N，则 3.14N*4/2N = 3.14*2 也就是等于以高为半径所作的圆周长。
所以，轮子滚的圈数和金字塔的高度是有数字关系的(140-280)。
这里，没有角度的事情。对不起大家，是我自己搞糊涂了。原谅自己的理由是：那个电视片是20年前看的，实在有点儿记不得了。
有没有这个可能？