主题：给数学学习困难户的一个建议 -- 给我打钱87405
家园 给数学学习困难户的一个建议 我在另一个贴子里提及，不仅是思维影响语言，语言也会反过来影响思维。
这里我要提一个观点：
灵活的思维，只是思维方式当中的一种，严谨的思维是另一种。如果我假设其中一种是黑，那么另一种就是白，我们大部分人在中间的灰色地带。最高追求目标是同时具备多种思维方式，不同场合有不同应用，实现动态平衡，而不是静态的居中。
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对于中国学生来说，汉语、英语、数学三门语言从小学起，这三门语言各有特点，汉语偏灵活侧，数学偏严谨侧，英语居中。学得好，就可以三者兼得，学不好，就全拧在一起，一个都学不好，或者是剑走偏峰。当然，从长期来看，成年之后还是会有所侧重的，所谓走专业路线。但我说的是高中以前的基础部分。所以我的观点是不可偏废，务必三驾马车齐头并进。
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当前一个常见的问题是，中国学生学数学遇到的困难比较多（我认为和学汉语的方式有关）。我的看法就是孩子们不知道这三门语言的学法是不一样的，可能有些老师和父母也不是太清楚。而各科老师往往只站在自己的角度来看问题，没有注意到三科之间的相互影响（正影响和负影响），往往费了很大的劲，却解决不了问题，三方都很痛苦。该怎么办呢？
我用一份典型错答卷来进行讲解。
原题：某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个赢利60%，另一个亏本20%，在这次买卖中，这家商店是亏还是赚，具体为多少？（这是一道选择题）
某学生答卷：
（1+0.6）x=80
1.6x=80
x=50
(1-0.2)x=80
0.8x=80
x=10
以上是学生的解题过程，最后他选的答案是D（赚了50元）。
现在来分析他可能的错误：
1.两个计算器的进价都用x来表示；
2.计算错误，其中一步结果本应该是100，给算成了10；
3.核心错误：
即便用错误的10来求最后答案，也是总进价为60元，总售价是160元，总盈利是100元。怎么会选50元呢？这听起来极不可思议。
老师在这种情况下，往往理解不了学生为什么会犯这样的错误，时常会将重心放在算错上面。但是学生的主要问题恐怕并非是算错，而是一开始就不是太清楚——这位学生的具体情况我不能肯定，但我能肯定这种情况是十分常见的。
所谓一开始就不是太清楚，具体是指他只思考了个大概，也就是求出进价，但到这，就结束了，开始动笔了。这里的关键之关键，就在大概这两个字上面。这种大概很有可能是从汉语阅读习惯中带过来的。
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正如我在另一个贴子中所提到的，我女儿也暴露出这个问题——我并没有有力的统计数据来说明这一点——但在我来看，这种问题是有一定普遍性的。
这种问题很不容易解决，它难在第一步。第一步是得让孩子意识到他们的问题在哪，可是孩子们在很多情况下并不会认同这一点。以本题为例 ，学生就会说：“我的思路没有错啊”，他没有注意到，他的思路是不完整的，而且正是因为不完整才导致了后面做错，做错又无法进行自我纠正。为了说服我女儿，我花了整整一个礼拜，最后她是在不太情愿的情况下进行了尝试。在学校里，要做这个工作，工作量是非常大的，这是一个挑战。
第二步，就要容易多了。要做的是学会如何层层推进、步步为营。最紧要的是先列出解题思路的大框架。仍以本题为例，需要在纸上列出来：
1.分别求出进价；
2.总售价-总进价=总盈利（所求）
为什么会强调一定要纸上列出来？稍后就会说到。
有了大框架，再去执行具体的列式、运算，即便中途出错，也便于修正。
现在来解释为什么要写下来。其中一个很大的原因是，老师讲题或者家长辅导时，往往会是口述，因为他们已经在脑中有了完整的方案，但没有注意到，“脑中没有完整方案”恰恰就是孩子们的问题所在。老师和家长的这种长期示范显然不仅不能改善孩子们的问题，反而会加剧问题的严重性。因此，我的建议就是，改说为写。
不仅要改说为写，在日常交流中，比如父母给孩子讲道理、分析问题时，可能 会涉及到好几个要点，那么谈话结束 之后，应该督促孩子马上在纸上列出这些要点；又比如老师在课堂讲课时，应该留出足够的时间让学生做好相关记录，并提出检查要求。
我在这里要特别说明一点，只是在说汉语的特点会诱发模糊阅读习惯的养成，而模糊阅读习惯的养成又会促成模糊型的思维方式形成，但并不是指如果学汉语就必然会如此，更不是指学汉语只能学到某个程度就无法上升了。
通宝推：三笑,侧翼,花大熊,strain2,不悱不发,年青是福,家园 del. del.
家园 解数学题的一个关键 学生遇到的难题，往往都是复合题，或者习惯上所说的综合题。
先说什么叫复合题，好比复合句，是由多种“结构”不同的小题合成的一道大题。而解出复合题，读懂复合句的关键就是找出“关联件”。
实例
先学一个知识，记为知识一：
被除数、除数、商，三个数量知道其中两个，就可以求出另一个。
知识二：
知道a和b的比值，知道了a，就能求出b。但这个知识学生却不认同。
为什么？因为要将这两个知识扣起来，需要找到那个关联件。关联件就是当我们说“a和b的比值”时，a是被除数，b是除数，a和b的比值是商。但这个关联件是隐性的，所以学生不认同。
知识三：
如果知道a+b=c，那么a:b、a:c、b:c三个比值当中知道了任意一个，就能求出另两个。
现在出一道复合题：
已知a+b=c，a与b的比值，c，求a
解题需要前面的三个知识：
调用知识三：通过已知的a:b求出a:c
调用知识一、二：在已知a的情况下，要求c，就需要求出a:c（在其它情况下统称为求出a与c的关系）
为什么单独讲知识三时，能求出a:c呢？因为a:c是显性的，它以“问题”的方式出现。
为什么在单独讲知识二（这里默认已经将知识一和知识二关联起来了）时，能求c呢？还是因为a:c是显性的。
为什么在“复合题”中意识不到这一点呢？因为a:c这个关联件是隐性的。
一句话，解不出，读不懂，很多时候就是找不出隐性的关联件，甚至意识不到这一点。
家园 写什么？？？ 以一道三、四年级的数学题为例。
小明买了一个练习本，花了3元，又买了2支铅笔，每支1元，问一共花了多少钱？
课堂上常见的板书是：
步骤1：求出铅笔的开销
步骤2：求出总开销（练习本+铅笔）
可这并不是解题思路，这是求解步骤。我们是先有思路，后有步骤。而双路径是解决思路问题的利器。所以如果是我来板书，就会这么来写：
路径1：要求总开销，就得知道各个部分的开销（倒推）
路径2：根据练习本的单价和数量求出练习本的合计开销，同理求出铅笔的合计开销。（正推）
路径1和路径2在哪会师呢？练习本的合计开销，铅笔的合计开销。这两个量直接出现在题目中了吗？没有，所以它是隐性有形的关联件。
关键在于，我们是怎么发现这俩的踪迹的呢？我们有一个路径发挥了重要作用，那就是倒推。
显然，路径1是倒推，也就是由所求出发，逆向寻找还需要什么，路径2是正推，是根据所知来挖出隐性信息。
为什么我们会认为提出问题很重要呢？因为倒推，是有的放矢，而正推往往是天马行空。
可是正推真的要比倒推“低级”吗？这要看在什么范围内来讨论这件事。如果放在一个特别大的范围里，就会发现，正推这种充满了偶然性的过程，其实扮演了重要角色 。
说回数学。我要指出的是，求解步骤和解题思路不是一个东西，不能混为一谈。
老师要把自己的解题思路呈现出来，就应该写出来（其实我相信老师在讲这道题时，都是讲过思路的）。我在主贴中的的范例其实是不正确的，这是在默认已经知道了思路的背景下写出的求解步骤，而不是解题思路。
写和说，这两种不同的表述形式，给人的暗示是不一样的，前者更郑重。
所以，这里的一个关键就是：双（多）路径。正推强调读出隐性信息，倒推强调逆向思维。用这个方法来解决关联件问题。有了最基本的双路径，找出关联件就要容易多了。
自然，平时也需要主动积累读出隐性信息的经验，并建立一个这样的意识：“一个简单问题中的显性问题，到了一个复杂问题中就成了一个隐性关联件”。
最后说一句，这不是我发明的，祖上说：殊途同归。
家园 我的思路是直接和80比 80里的八分之三是盈利（60%=3/5，总计就是进价8/5，就是说80的3/8是盈利），80里的四分之一是损失（20%=1/5，售价是原价的5-1=4，损失就是80的1/4）。计算起来极简单，30-20=10。
家园 思维能力很强呀 思维清晰，就不需要写出来，写出来总会比较慢，反倒影响思维效率。看到那道题就能在脑子形成能变动的图像，这个能力看来多数人都不大具备，所以一般人还是写出来会好些。
《越狱》里面男主角把路线计划写出来才能理清思路，然后还要刻在背上，说明思维力度和记忆力都不怎么样。
家园 这种解题思路对学生的要求远远高于第一种 虽然说，学生在学习分数时已经知道了这一点，即：
如果已知A+B=C，A:B、A:C、B:C中已知任意一个，就能求出另两个（或者说另两个相当于“隐形信息”）。
这其实是基础知识。
但遇到此题时，能不能想到这一点或者说从“部分和整体的关系”出发，很难说。
即便能想到，在解题时挑战性更大，因为：
已知盈利60%，相当于知道B:A，要求的是B：C；
已知亏损20%，相当于知道B：C，要求的是B:A；
这相当于要套用两个公式，或者说是走两条不同的路径，而且80的角色在盈利和亏损中是不一样的。
难度系数高出一个等级。
家园 数学与人类语言之间有天然的矛盾 学数学都知道要大量做习题，实际上就是锻炼逻辑思维能力，但是长期训练的结果很可能形成范式思维，严谨的反面就是对人类语言的灵活性掌握下降，所以也要小心这个负面影响。
一般会察言观色，听话听音的孩子，数学能力相对就弱一些，就是这个道理。反过来理工科强的学生，严谨之余有非常强烈的框架式思维的特点，一旦给他灌输了一个框架就容易很死板的认死理，跳不出这个框架。
另外，这些我的观察是长期教育与学习方法常年训练的结果，独立于智商或者情商之外，并直接关系，比如数学强或者不强的人中都有智商高的，反之亦然。