主题：给数学学习困难户的一个建议 -- 给我打钱87405

以一道三、四年级的数学题为例。

小明买了一个练习本，花了3元，又买了2支铅笔，每支1元，问一共花了多少钱？

课堂上常见的板书是：

步骤1：求出铅笔的开销

步骤2：求出总开销（练习本+铅笔）

可这并不是解题思路，这是求解步骤。我们是先有思路，后有步骤。而双路径是解决思路问题的利器。所以如果是我来板书，就会这么来写：

路径1：要求总开销，就得知道各个部分的开销（倒推）

路径2：根据练习本的单价和数量求出练习本的合计开销，同理求出铅笔的合计开销。（正推）

路径1和路径2在哪会师呢？练习本的合计开销，铅笔的合计开销。这两个量直接出现在题目中了吗？没有，所以它是隐性有形的关联件。

关键在于，我们是怎么发现这俩的踪迹的呢？我们有一个路径发挥了重要作用，那就是倒推。

显然，路径1是倒推，也就是由所求出发，逆向寻找还需要什么，路径2是正推，是根据所知来挖出隐性信息。

为什么我们会认为提出问题很重要呢？因为倒推，是有的放矢，而正推往往是天马行空。

可是正推真的要比倒推“低级”吗？这要看在什么范围内来讨论这件事。如果放在一个特别大的范围里，就会发现，正推这种充满了偶然性的过程，其实扮演了重要角色 。

说回数学。我要指出的是，求解步骤和解题思路不是一个东西，不能混为一谈。

老师要把自己的解题思路呈现出来，就应该写出来（其实我相信老师在讲这道题时，都是讲过思路的）。我在主贴中的的范例其实是不正确的，这是在默认已经知道了思路的背景下写出的求解步骤，而不是解题思路。

写和说，这两种不同的表述形式，给人的暗示是不一样的，前者更郑重。

所以，这里的一个关键就是：双（多）路径。正推强调读出隐性信息，倒推强调逆向思维。用这个方法来解决关联件问题。有了最基本的双路径，找出关联件就要容易多了。

自然，平时也需要主动积累读出隐性信息的经验，并建立一个这样的意识：“一个简单问题中的显性问题，到了一个复杂问题中就成了一个隐性关联件”。

最后说一句，这不是我发明的，祖上说：殊途同归。