主题：几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 （0） -- changshou

几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （2）什么是流形？（续1）

2.0 困难

我估计 一般读者是想象不了 不嵌入某个3维的欧式空间的 二维球面的。 原因是 在潜意识里 大脑暗中 已将球面定义为 3维欧式空间中的一些点组成的东西。 或者借助于视觉， 把自己视为一个 脱离球面 位于更大空间中的一个观察者。这是我们要试图克服的思维

2.1 怎么办？

办法是 仔细思考 如何定义 一个球面。 那些性质是最本质的呢？ 一个球面的定义 和它以嵌入的方式 被实现在3维欧式空间 有何关系？ 我们采取 四步走的战略。

第一步：嵌入的橡皮膜球面。

第二步：内在的橡皮膜球面。

第三步：嵌入的几何球面。

第四步：内在的几何球面。

2.2 橡皮膜球面 与 几何球面

直观上 （2维）球面有两个基本属性。

第一， 如把它想象为 一个刚性的 不会变形的东西 它有完美的对称。你可在上边画上经纬线 根根都是完美的圆圈。 也可以画其他对称图案。我们姑且称他为 几何球面。

第二， 如把它想象为 一个橡皮膜构成的东西，你可以拉扯挤压它， 破坏它的完美，在这过程中 对称图案不对称了，经纬线也被拉长或挤短。 但只要不撕破橡皮膜 也不让球面的一部分粘到另一部分上， 你感觉它总残留一点“球性”：你可以对 一个橡皮膜轮胎面做同样的事， 但感觉他们始终是有不同。 怎么个不同法？ 一个橡皮膜轮胎面 可以被一根松弛的绳子 象挂钥匙链一样 套住。 可这绳子 套不住 球面。哧溜一下，球面就滑出去了。 这是一个本质区别。

仔细考虑一下， 你也许不难看出 你能想到的 各种套不住的曲面 其实都是橡皮膜球面。

我们可以分两步构造一个几何球面。 先造一个 橡皮膜球面 。然后 把它“绷圆”了， 画上对称的经纬线圈， 再将其烧结固化。 这就成了几何球面。

2.3 粘成的橡皮膜球面。

前面讲的橡皮膜球面 是嵌入的流形（还记得这是啥玩艺儿吗？）。 他可以由两片 不是球面的橡皮膜 粘合而成。其中每一片橡皮膜 都可以被拉扯成 一块平面膜。

方法如下：取两个 带经纬线圈圈的几何球面。 都上北下南的摆在桌上 （北极点在上）。 把第一个球面 沿南纬30度的纬线圈 完全剪开。得两片膜， 上大下小。 取上面那片， 叫它 1号膜。把第二个球面 沿北纬30度的纬线圈 完全剪开。得两片膜， 上小下大。 取下面那片， 叫它 2号膜。把1号膜和2号膜粘起来 （占的时候可能有拉扯， 只要不撕破就好）。粘法是 1号膜的下沿 沿着 2号膜的南纬30度的纬线圈 粘，2号膜的上沿 沿着 1号膜的北纬30度的纬线圈 粘。 南纬30度与北纬30度间的部分完全粘实。

粘出来的东西 是 一个橡皮膜球面。

把1号膜 开口朝下的立在桌上。 用力往下压， 使它摊平在桌子上。 此过程不含 粘接或撕裂。桌子是平面。 所以我说 1号膜 是一块平面膜。 2号膜也一样。

2.4 暂停确认

请确认 你已理解以上文字 （2.2， 2.3）。 否则 请返回阅读。

待续

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直白的解释就是

几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型（1）什么是流形？

1.1 流形是 数学家引入的 一种很基本的几何概念。 它以抽象的方式定义 就如我们可以以抽象的方式定义实数（分数和无理数）一样。 物理上 我们用它 作为时空的模型。这么做 对于理解这一概念的人 自然得 就如 物理上 我们用实数 作为长度测量的模型一样。 不过一般人容易接受实数的概念 （其实也不容易，想一想无理数的曲折历史吧）， 但不易接受流形。

1.2 几个流形的例子。 先不做定义， 只举例。

1.2.1 普通人眼中的 平面 和 三维空间（今后就叫三维欧式空间）。

前者是2维的， 后者3维的。 它们都是无限延展的，都没有边界。

1.2.2 三维空间里 球的表面 （球面），轮胎的表面， 一个通常三维物体的表面。

球的表面，轮胎的表面 都不是无限延展的，都没有边界。啥？ 没有边界？ 球面 不是球的边界吗？ 是，但我没在说球， 说的仅仅是球的表面。 球的表面 自身是没有（低一维的）边界的， 不是么？

这些东西都是二维的。 因为它们都是“面”。

1.2.3 三维空间里 球体的内部 （不含边界）。

球体的内部指的是 一个实心球。 但不含球的外表面。

这家伙是3维的。它没有边界。为啥？因为 唯一有资格叫边界的 就是球面，可它不含球面呀。 如果含了？ 那当然就以球面为边界。

1.3 高维数的流形例子

1.3.1 现在想象一个 4维的 欧式空间。

办法是先想 平面到三维空间的过程。 2维的平面上强行添加一个 新的 不含在平面里的 方向。 这个新方向和平面一起 “张成”了 三维空间。 三维空间中 一个点 可朝三个方向运动。 一个是新方向， 另两个沿着平面。

这里的要点是 做这件事 不要预先想象 三维空间 事先在那里。 他是 通过在平面基础上 强加新方向 被构造出来的。

现在 对已造出来的 三维欧式空间 再强加新方向 并重复以上思维活动。

说详细点，3维到4维 和 2维到3维 的逻辑是一样的。

2维到3维， 先 彻底忘掉 第3维。然后 通过添加新方向 构造出三维。3维到4维， 先 彻底忘掉 第4维 （对三维人类来说不需要忘， 根本就没感觉）。然后 通过添加新方向 构造出4维。即 一个点 除了 上下，前后，左右这三条线外， 人为规定它可以往第4个独立方向动。

这种人为规定的东西 不一定可以在现实中实现。 不过作为头脑中的一个模型， 没有任何问题。

还是无法想像？呃，也许可以想像第4个独立方向 叫时间。 时间是1维的， 一个点可以在 过去未来 这条线上动。这条线 独立于 上下，前后，左右这三条线。如果你在脑海中 试图标记这个点 在时间和空间中的 所有可能位置，你便得到4维“空间”了。 只不过这个“空间”是通常的三维空间加时间。

1.3.2 在3维的欧式空间中 固定一个点。 把所有 到这个点的距离为1的点都集合起来。 这是前面提到的二维球面。

在4维的欧式空间中 固定一个点。 把所有 到这个点的距离为1的点都集合起来。 这叫3维球面。下面还会讨论它。3维球面也是没有边的。（能接受吗？） 它在4维的欧式空间中 也不是无限延展的 （因为到固定点的距离为1）。

3维球面 和 4维的 欧式空间 也都是 流形。

1.4 嵌入的流形

在1.2中的流形例子 （除了三维欧式空间本身） 都是 “被放在” 三维欧式空间 （另一个流形）中的。在1.3中的3维球面流形例子 是 “被放在” 4维欧式空间 （另一个流形）中的。

所以它们都是 嵌入（在另一流形中）的流形。

1.5 再看三维欧式空间

在1.2中 三维欧式空间没有嵌入其他流形。在1.3中 3维欧式空间 嵌入4维欧式空间 （另一个流形）。

要点：不嵌入其他流形 的流形 是可以被想象的， 虽然目前只能想象 欧式空间有这种可能。

1.6 挑战

好了， 现在想象一个 不嵌入其他流形 （起码不嵌入 某个3维的欧式空间） 的二维球面吧。 想不出来？ 且听下回分解。

待续

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