主题：几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 （0） -- changshou

几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （2）什么是流形？（续1）

2.0 困难

我估计 一般读者是想象不了 不嵌入某个3维的欧式空间的 二维球面的。 原因是 在潜意识里 大脑暗中 已将球面定义为 3维欧式空间中的一些点组成的东西。 或者借助于视觉， 把自己视为一个 脱离球面 位于更大空间中的一个观察者。这是我们要试图克服的思维

2.1 怎么办？

办法是 仔细思考 如何定义 一个球面。 那些性质是最本质的呢？ 一个球面的定义 和它以嵌入的方式 被实现在3维欧式空间 有何关系？ 我们采取 四步走的战略。

第一步：嵌入的橡皮膜球面。

第二步：内在的橡皮膜球面。

第三步：嵌入的几何球面。

第四步：内在的几何球面。

2.2 橡皮膜球面 与 几何球面

直观上 （2维）球面有两个基本属性。

第一， 如把它想象为 一个刚性的 不会变形的东西 它有完美的对称。你可在上边画上经纬线 根根都是完美的圆圈。 也可以画其他对称图案。我们姑且称他为 几何球面。

第二， 如把它想象为 一个橡皮膜构成的东西，你可以拉扯挤压它， 破坏它的完美，在这过程中 对称图案不对称了，经纬线也被拉长或挤短。 但只要不撕破橡皮膜 也不让球面的一部分粘到另一部分上， 你感觉它总残留一点“球性”：你可以对 一个橡皮膜轮胎面做同样的事， 但感觉他们始终是有不同。 怎么个不同法？ 一个橡皮膜轮胎面 可以被一根松弛的绳子 象挂钥匙链一样 套住。 可这绳子 套不住 球面。哧溜一下，球面就滑出去了。 这是一个本质区别。

仔细考虑一下， 你也许不难看出 你能想到的 各种套不住的曲面 其实都是橡皮膜球面。

我们可以分两步构造一个几何球面。 先造一个 橡皮膜球面 。然后 把它“绷圆”了， 画上对称的经纬线圈， 再将其烧结固化。 这就成了几何球面。

2.3 粘成的橡皮膜球面。

前面讲的橡皮膜球面 是嵌入的流形（还记得这是啥玩艺儿吗？）。 他可以由两片 不是球面的橡皮膜 粘合而成。其中每一片橡皮膜 都可以被拉扯成 一块平面膜。

方法如下：取两个 带经纬线圈圈的几何球面。 都上北下南的摆在桌上 （北极点在上）。 把第一个球面 沿南纬30度的纬线圈 完全剪开。得两片膜， 上大下小。 取上面那片， 叫它 1号膜。把第二个球面 沿北纬30度的纬线圈 完全剪开。得两片膜， 上小下大。 取下面那片， 叫它 2号膜。把1号膜和2号膜粘起来 （占的时候可能有拉扯， 只要不撕破就好）。粘法是 1号膜的下沿 沿着 2号膜的南纬30度的纬线圈 粘，2号膜的上沿 沿着 1号膜的北纬30度的纬线圈 粘。 南纬30度与北纬30度间的部分完全粘实。

粘出来的东西 是 一个橡皮膜球面。

把1号膜 开口朝下的立在桌上。 用力往下压， 使它摊平在桌子上。 此过程不含 粘接或撕裂。桌子是平面。 所以我说 1号膜 是一块平面膜。 2号膜也一样。

2.4 暂停确认

请确认 你已理解以上文字 （2.2， 2.3）。 否则 请返回阅读。

待续

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