主题：几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 （0） -- changshou
家园 想象四维的时候，能否把三维物体的温度，想象为第四维呢 家园 请问楼主的母亲听懂了吗？ 家园 四维空间 是否可以理解成三维空间的运动轨迹？ 家园 从读科普的角度看勉强可以这么理解 但要注意这和某个物体运动的轨迹是不一样的。而且时空不是嵌入在某个更大的东西里的。
家园 第一只老虎：流形 硬着头皮看，第一个流形就难住了，看了半天，包括网上找的介绍，还是稀里糊涂。
大多是从各方面举例子，包括LZ，问题是这些例子看了还是稀里糊涂，可能是例子中的一些语言已经超出了俺的学历：初中二年级加一点自学。
最直接了当的解释在科学松鼠会：
即多样化的形体。那么能不能这么说：流形就是一个空间或形体，在这个形体中，直线和曲线、平面与曲面是同样的概念？或者说是拓扑学的空间？
或者说拓扑学的空间只是流形的一部分？如果是这样，以外的部分是什么？
- 复 第一只老虎：流形
家园 这段话 那么能不能这么说：流形就是一个空间或形体，在这个形体中，直线和曲线、平面与曲面是同样的概念？或者说是拓扑学的空间？或者说拓扑学的空间只是流形的一部分？如果是这样，以外的部分是什么？
除了拓扑学几个字有道理， 其他不知所云或过于空洞而无法评说。
比如这串话
流形就是一个空间或形体。。。或者说是拓扑学的空间？。。或者说拓扑学的空间只是流形的一部分
除非你告诉我啥是你说的“拓扑学的空间”， 否则叫我如何回答？
理解基本概念时要避免用日常的随意模糊的语言习惯（哪怕你用的术语看起来象日常词汇）。否则自己都不知在说什么。你可以看一下其他几个我回复的多的人的发言。看他们的问题是如何问的。
家园 我想象的三维球面 要先说二维球面，它需要三维来描述（x，y，z），假设面上的点距离原点距离都是1。那在Z轴上看这个二维球面，相当于用一个二维平面去切这个二维球面。z=1或z=-1时切得一个点，-1<z<1时切得一组圆环。即二维平面切得二维球面（如果切得到）得到这个平面上的二维圆环（降了一维）。
三维球面显然需要四维空间描述（x，y，z，t），假设面上的点距离原点都为1，t是时间。那t轴上t=-1或t=1时，在三维空间里想象 x，y，z都为0，即一个点；t=0时，这个点可以是三维空间里半径为1的二维球面上的任意点，即我们看到的二维球面。那在-1<t<1时，三维空间里看到的三维球面是一个点变化为一个半径为1的二维球面再变化为一个点的全过程（小电影）。但这只是一个在t轴上观察的特例。
从二维推到三维。用三维空间去切三维球面（即在三维空间观察）可得到二维的球面（降了一维）。现在把t轴的变化换成z轴的变化，-1<z<1,那（x，y，t）也构成一个二维球面的小电影。但是我不能想象。
从三维空间观察，在任意z位置可能是一片半径为一的膜（被压缩了一维）。如果用颜色表示t轴，那这片膜可以同时出现-1<t<1的任意颜色。。。。无法想象。————这其实是从二维观察，我想以我可以想到的方式来理解三维球面。
家园 几何直观地介绍广义相对论中的时空及大爆炸模型 (1.5) 几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （1.5）闲话1
有的观众 实在难以想象 4维欧式空间 和三维球面， 怎么办？ 我认为 完全可以跳过去。
缺乏高维想像力 有一些妨碍， 但仍然可以理解广义相对论的主要思想。
你需要做的是 设法理解我下面说的 关于2维球面的东西。 然后每当出现三维的流形 就把它直接降为 二维的。然后 心里默想 2维球面， 2维平面，其他2维曲面等。
待续
本帖一共被 1 帖 引用 (帖内工具实现)家园 高维空间 高维空间如果作为一个单个的整体去想像，则很困难。
N维空间如果作为其低一维空间（N-1维）的集合来看，则我感觉在概念上容易接受一些。
所谓欧式二维平面，即非平面，而是线的集合。
所谓欧式三维空间，即非空间，而是面的集合。
所谓思维空间，即三维空间的集合。
当然这里的集合，不是简单的集合，而是存在某种有序性。
把集合的观点和有序的观点结合起来，也许可以说，
高维空间乃是其低一维空间之“流”。
家园 二维空间可以没边界这个举例解释很妙。 或许可以从一个点来开始说。
当一个点只沿着一个方向延伸的时候，就进入了一维空间，变成了线。
一维空间可以没边界，可能是最容易理解的。一条线的两个方向弯曲一下，端点对接就成了个圈。也可以想象成一个点绕着另外一个点转了一圈。但是这个没有边界，等于是把一维变成了二维，出现了面。
二维空间可以没边界，也还好理解。两条线（X轴，Y轴）各自弯曲对接端点，就可以成为一个球，也可以成为一个救生圈。实际上相当于没有边界的一维空间（一个圈）绕着另外一个一维空间（某个轴）转动。类似的，这个转动等于是把二维变成了三维，出现了体。
三维空间可以没边界，这个的确不好理解。三条线各自弯曲对接端点，能变成什么，想象不出来。
如果在三维空间加上时间轴变成第四维，感觉上就好像是过去、现在、未来的空间在时间上的分布，想下去，可能可以变成轮回。
家园 有错误。 “一条线的两个方向弯曲一下，端点对接就成了个圈。”造成一个无边界的一维空间，这是对的，但不是造成一个面。面需要能向两个方向移动，就是前后和左右，这个圈只能沿着圈边走，拐弯和在直线上走直线在实质上是一样的。
二维空间“两条线（X轴，Y轴）各自弯曲对接端点，就可以成为一个球，”是错的，这只能成为一个四根柱子的笼子。要成为一个球，得这个平面的每个边缘向外弯曲延伸对接，是对接无数个点，也就是对接面，楼下捏包子非常形象。
扩充到三维空间，就是把一个体的外面向外弯曲延伸对接。这个相当的难想像，俺没法解释。用高维空间想像低维容易，反过来难。