主题：【原创】财富创造出来以后? -- 中国农民

这个帖子算是科普，它的内容在中级或者是稍微高级一点的微观经济学教科书里都可以找到。

首先需求函数有两种：马歇尔需求函数（或者叫uncompensated demand function)和希克斯需求函数(compensated demand function)。一个产品的价格上升有两个影响，一方面它同其它商品相比的相对价格提高，在经济学里叫做替代效应。另一方面，整体价格指数上升，也就意味着实际收入下降。我们对商品的需求不仅取决于它的相对价格，还取决于我们的收入，如果一个商品的需求随收入增加而增加，叫做正常品，反之叫做劣质品。商品价格变化导致实际收入变化，进而导致需求变化被称作收入效应。很明显，收入效应可正可负。因此如果收入效应很强，商品的需求有可能随价格上升而上升。

我们所提的需求定律只是指替代效应，当商品的价格变化后，我们同时补偿实际收入，让它不变，这样使收入效应为0。如果在收入补偿后的需求随价格上升而下降，我们说它符合需求定律。

现代经济学对需求定律的推导是从偏好出发。我们认为消费者可以对不同的商品组合排序，选择他们最喜欢的。我们由偏好导出效用函数，再由效用函数最大化导出需求函数。作为记号，我们用a,b,c等来代表商品组合。（注意：这里的a,b,c是n维向量）a》b表明a至少和b一样好。

如果消费者可以对不同的商品组合排序，他的偏好必须满足三个公理。

1. Reflexivity：a》a

一个商品组合至少和它自己一样好。这个公理在数学上很重要，在经济学上是废话。

2. Completeness：对于两个商品组合a、b，要么a》b，要么b》a。

这个公理说消费者可以在两个不同组合之间判断选择。

3. Transitivity：如果a》b，b》c那么a》c

这个公理说消费者的选择不会自相矛盾

从数学上讲，这三个公理定义了一个序关系。全体商品组合的集合就是一个有序集。我们知道实数集是个有序集。这两个有序集之间可以定义一个函数，u(x)保存这个序关系，这个函数叫做效用函数。每一个商品组合对应着一个实数，如果我们我们知道这个函数，面对商品组合a,b，u(a)>u(b)，我们就知道消费者会选择a。也就是说u(x)保存了关于偏好的所有信息。

在这里，效用函数只是为使用方便来代表偏好的，它本身并不需要在现实中存在。事实上，假设u(x)是效用函数，如果f(.)是单调递增函数，f(u(.))同样是个效用函数，代表同一偏好。

公理1、2、3下的效用函数虽然存在，但却有可能是不连续的，使用起来极不方便。因此我们需要连续性假设

4. 集合{x|x》a}是个闭集

如果你学过高级一点的数学就知道这个公理意味着效用函数u(.)是个连续函数。

通常我们会加一个公理

5. Non-satiation: u(.)是增函数。

也就是说多比少好。

如果满足这五个公理，效用函数就存在并且是个连续函数。在给定收入的情况下，进行效用最大化，可以得到需求函数，接下来会证明这五个公理就可以保证补偿需求随价格升高而降低。

有的结果需要第六个公理

6. Convexity: 如果a》b，0<=k<=1，那么k*a+(1-k)*b》b

无差异曲线是凸的。如果效用函数可导，这个公理等同于边际替代率递减，与边际效用递减类似。

一般经济学家觉得绝大多数商品是满足第六条公理的。不过证明需求定律不需要这一条。

证明需求定律有两种方法。一种是借用生产者理论的方法，把消费者的选择看作给定效用水平的情况下最小化成本。不过这种方法需要不少数学公式，在BBS上不方便打。另一种方法是Revealed preference。严格的证明同样不方便打，只举个例子说明它的思想。

假设只有苹果和香蕉两种商品。在苹果价格等于1，香蕉价格等于1时，消费者选择100个苹果，200个香蕉，也就是说收入时300。现在苹果的价格升为2，我们需要补偿收入至400，让他仍然可以承担原来的选择。这时对苹果的需求可能超过100吗？

答案是NO。假设这时消费者选择110个苹果，180个香蕉。他认为这个选择比（100，200）好。但在价格为1，1时这个选择需花费110*1+180*1=290。根据公理5，115个苹果、185个香蕉比110个苹果、180个香蕉好，再根据公理3，比100个苹果、200个香蕉好。115*1+185*1=300，这个选择是可以。因此100、200不是最优选择，这同我们的假设矛盾，因此110、180不可能是最优选择。

其它选择依此类推，因此对苹果的需求不可能增加。

打了这么多，只是想说明需求定律成立的条件并不强，看起来都很有道理。但真正能证明需求定律的不是精巧的数学推导，而是现实的数据。但是同物理学相比，经济学的数据质量很低，经济学不能进行有控制的试验，就这个具体问题来说，我们并不知道效用函数以及需求函数的形式只能猜测，以及许多其他的经济计量学问题，（比如如果我们使用时间序列的数据，比较在不同时间不同价格下的需求，但是有可能随着时间的变化，消费者的偏好也变了，这种比较没有意义）。经济学家想出很多很巧的方法解决这些问题，但是现实是我们对经济学经验研究的结果不能十分信任。记住这些，在我读过的经验研究里，几乎所有的研究都发现需求是随价格上升而下降的。个别的例外需求上升的幅度也很小。一个有名的例子是David Card发现九十年代初美国最低工资的提高增加了对劳动的需求。不过他的结果很有争议，许多人认为他的方法有问题。