主题：我今天特别的高兴，在孩子快十岁时 -- 给我打钱87405

已知9元买2l水，问，27元可以买几升水

9元：2l

27/9=3 ，2*3=6l

这个思路它当然是对的。

本质是在用商不变原理。

但是对于另一种思路，27*（2/9)，许多学生就不理解了。

这个不理解的关键在于“对关系的形式和内容，认知不到位”。

9元买2l，即可以表述为9/2，也可以表述为2/9，不论是哪种表述，所表述的关系并没有变。

表述成9/2，本质是表述成(9/2)/1，指多少元匹配1l水；

表述成2/9，本质是表述成（2/9)/1，指多少l匹配1元。

用27*2/9，本质是在说，既然1元可以买2/9l，那么27元就是1元的27倍（无需繁复计算），所以如此如此。

在这里2/9和9/2根本不是几分之几的意思。

对于这个关系的认知，如果不到位，后面的数学、物理、化学中的各种关系式（公式）都是理解不了的。

这就好比弧度=弧长/半径，它是在描述关系；

而圆周长/半径（即圆周率），它是在描述“几分之几”、“倍数”；

此pai非彼pai。

以上所述跟“=”有相关的。

在关系式中，“=”并无太多的意义，

“=”更多的意义是表述出一个完整的关系式来。

也就是说，如果要用中文来讲，就得说成：

角跟弧长和半径的关系是：

1.当弧长不变时，半径越大，角就越小；

2.当半径 不变时，弧长越大，角就越大；

3.当弧长和半径 同时放大或缩小时，角可能不变，也有可能变。只有当弧长跟半径 同时放大或缩小n倍时， 角才不变。

正因为这一系列关系，跟除法的性质是一样的，所以借用了除式来表述这一关系。

同理，矩形面积公式也是在表述面积与边长的关系，

而并非是面积是边长的几倍。

那么，为什么面积可以比大小呢？既然是关系，又如何比大小呢？

比如，一个矩形是3*5，另一个矩形是4*4，

为什么算出来一个15，一个是16，就说16这个矩形的面积更大呢？

这是因为15的本质是15*1，相当于用计算把3*5的矩形变成了15*1的矩形，用计算把4*4的矩形变成了16*1的矩形，当然就是后面这个矩形面积大喽。

本质是通过 比边长（另一边相等）来比面积的。

所以，我们并不能比“关系”的大小，

而是把关系当成桥梁，将对比的两个事物进行转换，转换成了有办法直接比的两个事物。

这就是数学里的一个重要思维：

将不熟悉的、没办法直接处理的问题，转换成熟悉的、有办法处理的。

对于连续量的表述，用的是这个思维——将连续量转换成离散量，

小数运算，用的是这个思维——将小数转换成整数，

案例太多了……无所不在。

所以总是先找关系，后计算。

找关系又涉及到两类具体问题：

一类是知道起点，知道关系，找终点；

一类是知道起点和终点，把关系找出来。

比如3/5=x/5*4

x=3*4

这是前一种。

后一种呢？

3/5=y/30

那么30/5=6（先找关系），然后从起点摸到终点，所以有y=3*6=18

这是两大基本套路。

后一种当然就难了。这个后一种，本质就是找出“所以然”。