主题：【文摘】上帝掷骰子吗――量子物理史话（10-4） -- jlanu

第十章 不等式

五

玻姆的隐变量理论是德布罗意导波的一个增强版，只不过他把所谓的“导波”换成了“量

子势”（quantum potential）的概念。在他的描述中，电子或者光子始终是一个实实在

在的粒子，不论我们是否观察它，它都具有确定的位置和动量。但是，一个电子除了具有

通常的一些性质，比如电磁势之外，还具有所谓的“量子势”。这其实就是一种类似波动

的东西，它按照薛定谔方程发展，在电子的周围扩散开去。但是，量子势所产生的效应和

它的强度无关，而只和它的形状有关，这使它可以一直延伸到宇宙的尽头，而不发生衰减

。

在玻姆理论里，我们必须把电子想象成这样一种东西：它本质上是一个经典的粒子，但以

它为中心发散出一种势场，这种势弥漫在整个宇宙中，使它每时每刻都对周围的环境了如

指掌。当一个电子向一个双缝进发时，它的量子势会在它到达之前便感应到双缝的存在，

从而指导它按照标准的干涉模式行动。如果我们试图关闭一条狭缝，无处不在的量子势便

会感应到这一变化，从而引导电子改变它的行为模式。特别地，如果你试图去测量一个电

子的具体位置的话，你的测量仪器将首先与它的量子势发生作用，这将使电子本身发生微

妙的变化，这种变化是不可预测的，因为主宰它们的是一些“隐变量”，你无法直接探测

到它们。

玻姆用的数学手法十分高超，他的体系的确基本做到了传统的量子力学所能做到的一切！

但是，让我们感到不舒服的是，这样一个隐变量理论始终似乎显得有些多余。量子力学从

世纪初一路走来，诸位物理大师为它打造了金光闪闪的基本数学形式。它是如此漂亮而简

洁，在实际中又是如此管用，以致于我们觉得除非绝对必要，似乎没有理由给它强迫加上

笨重而丑陋的附加假设。玻姆的隐函数理论复杂繁琐又难以服众，他假设一个电子具有确

定的轨迹，却又规定因为隐变量的扰动关系，我们绝对观察不到这样的轨迹！这无疑违反

了奥卡姆剃刀原则：存在却绝对观测不到，这和不存在又有何分别呢？难道，我们为了这

个世界的实在性，就非要放弃物理原理的优美、明晰和简洁吗？这连爱因斯坦本人都会反

对，他对科学美有着比任何人都要深的向往和眷恋。事实上，爱因斯坦，甚至德布罗意生

前都没有对玻姆的理论表示过积极的认同。

更不可原谅的是，玻姆在不惜一切代价地地恢复了世界的实在性和决定性之后，却放弃了

另一样同等重要的东西：定域性（Locality）。定域性指的是，在某段时间里，所有的因

果关系都必须维持在一个特定的区域内，而不能超越时空来瞬间地作用和传播。简单来说

，就是指不能有超距作用的因果关系，任何信息都必须以光速这个上限而发送，这也就是

相对论的精神！但是在玻姆那里，他的量子势可以瞬间把它的触角伸到宇宙的尽头，一旦

在某地发生什么，其信息立刻便传达到每一个电子耳边。如果玻姆的理论成立的话，超光

速的通讯在宇宙中简直就是无处不在，爱因斯坦不会容忍这一切的！

但是，玻姆他的确打破了因为冯诺伊曼的错误而造成的坚冰，至少给隐变量从荆棘中艰难

地开辟出了一条道路。不管怎么样，隐变量理论在原则上毕竟是可能的，那么，我们是不

是至少还保有一线希望，可以发展出一个完美的隐变量理论，使得我们在将来的某一天得

以同时拥有一个确定、实在，而又拥有定域性的温暖世界呢？这样一个世界，不就是爱因

斯坦的终极梦想吗？

1928年7月28日，距离量子论最精彩的华章――不确定性原理的谱写已经过去一年有余。

在这一天，约翰•斯图尔特•贝尔（John Stewart Bell）出生在北爱尔兰的

首府贝尔法斯特。小贝尔在孩提时代就表现出了过人的聪明才智，他在11岁上向母亲立志

，要成为一名科学家。16岁时贝尔因为尚不够年龄入读大学，先到贝尔法斯特女王大学的

实验室当了一年的实习工，然而他的才华已经深深感染了那里的教授和员工。一年后他顺

理成章地进入女王大学攻读物理，虽然主修的是实验物理，但他同时也对理论物理表现出

非凡的兴趣。特别是方兴未艾的量子论，它展现出的深刻的哲学内涵令贝尔相当沉迷。

贝尔在大学的时候，量子论大厦主体部分的建设已经尘埃落定，基本的理论框架已经由海

森堡和薛定谔所打造完毕，而玻尔已经为它作出了哲学上最意味深长的诠释。20世纪物理

史上最激动人心的那些年代已经逝去，没能参予其间当然是一件遗憾的事，但也许正是因

为这样，人们得以稍稍冷静下来，不致于为了那伟大的事业而过于热血沸腾，身不由己地

便拜倒在尼尔斯•玻尔那几乎不可抗拒的个人魔力之下。贝尔不无吃惊地发现，自

己并不同意老师和教科书上对于量子论的正统解释。海森堡的不确定性原理――它听上去

是如此具有主观的味道，实在不讨人喜欢。贝尔想要的是一个确定的，客观的物理理论，

他把自己描述为一个爱因斯坦的忠实追随者。

毕业以后，贝尔先是进入英国原子能研究所（AERE）工作，后来转去了欧洲粒子中心（CE

RN）。他的主要工作集中在加速器和粒子物理领域方面，但他仍然保持着对量子物理的浓

厚兴趣，在业余时间里密切关注着它的发展。1952年玻姆理论问世，这使贝尔感到相当兴

奋。他为隐变量理论的想法所着迷，认为它恢复了实在论和决定论，无疑迈出了通向那个

终极梦想的第一步。这个终极梦想，也就是我们一直提到的，使世界重新回到客观独立，

优雅确定，严格遵守因果关系的轨道上来。贝尔觉得，隐变量理论正是爱因斯坦所要求的

东西，可以完成对量子力学的完备化。然而这或许是贝尔的一厢情愿，因为极为讽刺的是

，甚至爱因斯坦本人都不认同玻姆！

不管怎么样，贝尔准备仔细地考察一下，对于德布罗意和玻姆的想法是否能够有实际的反

驳，也就是说，是否真如他们所宣称的那样，对于所有的量子现象我们都可以抛弃不确定

性，而改用某种实在论来描述。1963年，贝尔在日内瓦遇到了约克教授，两人对此进行了

深入的讨论，贝尔逐渐形成了他的想法。假如我们的宇宙真的是如爱因斯坦所梦想的那样

，它应当具有怎样的性质呢？要探讨这一点，我们必须重拾起爱因斯坦昔日与玻尔论战时

所提到的一个思想实验――EPR佯谬。

要是你已经忘记了EPR是个什么东西，可以先复习一下我们史话的8-4。我们所描述的实际

上是经过玻姆简化过的EPR版本，不过它们在本质上是一样的。现在让我们重做EPR实验：

一个母粒子分裂成向相反方向飞开去的两个小粒子A和B，它们理论上具有相反的自旋方向

，但在没有观察之前，照量子派的讲法，它们的自旋是处在不确定的叠加态中的，而爱因

斯坦则坚持，从分离的那一刻起，A和B的状态就都是确定了的。

我们用一个矢量来表示自旋方向，现在甲乙两人站在遥远的天际两端等候着A和B的分别到

来（比方说，甲在人马座的方向，乙在双子座的方向）。在某个按照宇宙标准时间所约好

了的关键时刻（比方说，宇宙历767年8月12日9点整，听起来怎么像银英传，呵呵），两

人同时对A和B的自旋在同一个方向上作出测量。那么，正如我们已经讨论过的，因为要保

持总体上的守恒，这两个自旋必定相反，不论在哪个方向上都是如此。假如甲在某方向上

测量到A的自旋为正（＋），那么同时乙在这个方向上得到的B自旋的测量结果必定为负（

－）！

换句话说，A和B――不论它们相隔多么遥远――看起来似乎总是如同约好了那样，当A是

＋的时候B必定是－，它们的合作率是100％！在统计学上，拿稍微正式一点的术语来说，

（A＋，B－）的相关性（correlation）是100％，也就是1。我们需要熟悉一下相关性这

个概念，它是表示合作程度的一个变量，假如A和B每次都合作，比如A是＋时B总是－，那

么相关性就达到最大值1，反过来，假如B每次都不和A合作，每当A是＋是B偏偏也非要是

＋，那么（A＋，B－）的相关率就达到最小值－1。当然这时候从另一个角度看，（A＋，

B＋）的相关就是1了。要是B不和A合作也不有意对抗，它的取值和A毫无关系，显得完全

随机，那么B就和A并不相关，相关性是0。

在EPR里，不管两个粒子的状态在观测前究竟确不确定，最后的结果是肯定的：在同一个

方向上要么是（A＋，B－），要么是（A－，B＋），相关性是1。但是，这是在同一方向

上，假设在不同方向上呢？假设甲沿着x轴方向测量A的自旋，乙沿着y轴方向测量B，其结

果的相关率会是如何呢？冥冥中一丝第六感告诉我们，决定命运的时刻就要到来了。

实际上我们生活在一个3维空间，可以在3个方向上进行观测，我们把这3个方向假设为x，

y，z。它们并不一定需要互相垂直，任意地取便是。每个粒子的自旋在一个特定的方向无

非是正负两种可能，那么在3个方向上无非总共是8种可能（把每个方向想像成一根爻，那

么组合结果无非是8个卦）。

x y z

+ + +

+ + -

+ - +

+ - -

- + +

- + -

- - +

- - -

对于A来说有8种可能，那么对于A和B总体来说呢？显然也是8种可能，因为我们一旦观测

了A，B也就确定了。如果A是（＋，＋，－），那么因为要守恒，B一定是（－，－，＋）

。现在让我们假设量子论是错误的，A和B的观测结果在分离时便一早注定，我们无法预测

，只不过是不清楚其中的隐变量究竟是多少的缘故。不过没关系，我们假设这个隐变量是

H，它可以取值1－8，分别对应于一种观测的可能性。再让我们假设，对应于每一种可能

性，其出现的概率分别是N1，N2……一直到N8。现在我们就有了一个可能的观测结果的总

表：

Ax Ay Az Bx By Bz 出现概率

+ + + - - - N1

+ + - - - + N2

+ - + - + - N3

+ - - - + + N4

- + + + - - N5

- + - + - + N6

- - + + + - N7

- - - + + + N8

上面的每一行都表示一种可能出现的结果，比如第一行就表示甲观察到A在x，y，z三个方

向上的自旋都为＋，而乙观察到B在3个方向上的自旋相应地均为－，这种结果出现的可能

性是N1。因为观测结果8者必居其一，所以N1＋N2＋…＋N8＝1，这个各位都可以理解吧？

现在让我们运用一点小学数学的水平，来做一做相关性的练习。我们暂时只察看x方向，

在这个方向上，（Ax＋，Bx－）的相关性是多少呢？我们需要这样做：当一个记录符合两

种情况之一：当在x方向上A为＋而B同时为－，或者A不为＋而B也同时不为－，如果这样

，它便符合我们的要求，标志着对（Ax＋，Bx－）的合作态度，于是我们就加上相应的概

率。相反，如果在x上A为＋而B也同时为＋，或者A为－而B也为－，这是对（Ax＋，Bx－

）组合的一种破坏和抵触，我们必须减去相应的概率。

从上表可以看出，前4种可能都是Ax为＋而Bx同时为－，后4种可能都是Ax不为＋而Bx也不

为－，所以8行都符合我们的条件，全是正号。我们的结果是N1＋N2＋…＋N8＝1！所以（

Ax＋，Bx－）的相关是1，这毫不奇怪，我们的表本来就是以此为前提编出来的。如果我

们要计算（Ax＋，Bx＋）的相关，那么8行就全不符合条件，全是负号，我们的结果是－N

1－N2－…－N8＝－1。

接下来我们要走得远一点，A在x方向上为＋，而B在y方向上为＋，这两个观测结果的相关

性是多少呢？现在是两个不同的方向，不过计算原则是一样的：要是一个记录符合Ax为＋

以及By为＋，或者Ax不为＋以及By也不为＋时，我们就加上相应的概率，反之就减去。让

我们仔细地考察上表，最后得到的结果应该是这样的，用Pxy来表示：

Pxy＝－N1－N2＋N3＋N4＋N5＋N6－N7－N8

嗯，蛮容易的嘛，我们再来算算Pxz，也就是Ax为＋同时Bz为＋的相关：

Pxz＝－N1＋N2－N3＋N4＋N5－N6＋N7－N8

再来，这次是Pzy，也就是Az为＋且By为＋：

Pzy＝－N1＋N2＋N3－N4－N5＋N6＋N7－N8

好了，差不多了，现在我们把玩一下我们的计算结果，把Pxz减去Pzy再取绝对值：

|Pxz－Pzy|＝|－2N3＋2N4＋2N5－2N6|＝2 |N3＋N4－N5－N6|

这里需要各位努力一下，超越小学数学的水平，回忆一下初中的知识。关于绝对值，我们

有关系式|x－y|≤|x|＋|y|，所以套用到上面的式子里，我们有：

|Pxz－Pzy|＝2 |N3＋N4－N5－N6|≤2（|N3＋N4|＋|N5＋N6|）

因为所有的概率都不为负数，所以2（|N3＋N4|＋|N5＋N6|）＝2（N3＋N4＋N5＋N6）。最

后，我们还记得N1＋N2＋...+N8＝1，所以我们可以从上式中凑一个1出来：

2（N3＋N4＋N5＋N6）＝1＋（－N1－N2＋N3＋N4＋N5＋N6－N7－N8）

看看我们前面的计算，后面括号里的一大串不正是Pxy吗？所以我们得到最终的结果：

|Pxz－Pzy|≤1＋Pxy

恭喜你，你已经证明了这个宇宙中最为神秘和深刻的定理之一。现在放在你眼前的，就是

名垂千古的“贝尔不等式”。它被人称为“科学中最深刻的发现”，它即将对我们这个宇

宙的终极命运作出最后的判决。

（我们的证明当然是简化了的，隐变量不一定是离散的，而可以定义为区间λ上的一个连

续函数。即使如此，只要稍懂一点积分知识也不难推出贝尔不等式来，各位有兴趣的可以

动手一试。）