西西河

主题:【原创】数理逻辑发展的简单脉络(1) -- 泰让

共:💬38 🌺134
全看分页树展 · 主题
家园 【原创】数理逻辑发展的简单脉络(1)

说明:

准备简单整理一下数理逻辑发展的简明历程,主要是为自己的阅读清理思路和总结一下,我非专业人士,仅仅是兴趣所致,估计会有不少误解和错误,欢迎有同样兴趣的朋友批评指正。

欧氏几何和亚里士多德的三段论

希腊的黄金时代,产生了亚里士多德的逻辑学和欧几里德的几何。显然,这两门学科之间一定会有某种方式的交叉。或许就是在学者们研究几何的时候,发现直觉并非一定可靠,只有推理演绎才可以得出正确的结论,从而导致了逻辑学的发展。反过来说,也可能是有了经过总结的逻辑演绎规则,才进一步推进了几何学证明的进步。

点看全图

外链图片需谨慎,可能会被源头改

欧几里德

关于几何,特别是欧几里德几何,已经有earthcolor兄写了专文介绍。这里想补充的一点是,从现代观点看,欧氏几何是一个所谓公理化系统。也就是说整个体系首先建立了几条不可证明的公理或公设,此后的结论都由推理演绎导出,成为诸多定理。这个公理体系建立的非常漂亮,首先它很好的反应了人对空间的直觉感受,其次公理非常简洁,每一条都是缺之不可的。可能正因为如此,欧氏几何成了后来近2000年数学的主要部分,甚至牛顿在写作著名的《自然哲学的数学原理》时候,书中的证明很多仍然用的是几何的形式,而非现在常见的代数表达。当然,我相信,如此成功的体系不太可能是欧氏一人建立的,更可能是综合了诸多学者的综合成果。但《几何原本》本身的成功,却导致了其他文献的失传,我们已经比较难探明在此之前几何学发展的清晰脉络了,这是也算是一个遗憾。

点看全图

外链图片需谨慎,可能会被源头改

亚里士多德

亚里士多德生活的时期略早于欧几里德。虽然我们中的很多人知道这个人,是因为他是同伽利略对立的错误典型,但实际上亚里士多德堪称他那个时代最伟大的学者。他的研究涉及几乎所有当时的学科领域。具体到逻辑学,亚氏的主要贡献是归纳总结了命题和推理本身的规律,这种归纳的成果就是三段论。

亚里士多德将命题总结为以下4种形式:

A)所有的P都是Q

E)没有P是Q

I)某些P是Q

O)某些P不是Q

(4种命题的代号,就是AEIO四个元音字母,是中世纪学者为了便于记忆而命名的,见下)

在此基础上,一个推演由三个命题构成(所谓三段论),其中前两个是前提,后一个是结论,比方说由三个A构成的

前提1:所有的P都是Q

前提2:所有的Q都是R

结论 :所有的P都是R

因为这个推理是由三个A构成,后世的学者就用Barbara这个词来代表这种推理—Barbara的三个元音恰好是AAA。

当然,并非任意三个命题都能够成有效推理。亚里士多德归纳了所有成立的情况。

同欧氏几何一样,三段论一经建立,在接下来的近2000年内一直被认为是经典,天主教经院派哲学吸收了三段论的方法,并以此作为研究工具,甚至到20世纪初,仍有某些宗教学校教授此课程。

一个有趣的现象是,《几何原本》并未采用三段论的推理形式。这可能是因为在三段论中,缺乏命题链接词:如“与”“或”“因为...所以”等,而几何推理则大量充斥着类似命题。另一个原因,或许是几何术语中类似“点a在直线l上”的命题,实际上涉及了两个对象:点a和直线l。要比较好的描述这种关系,需要二元的谓词P(a,l),单纯的原子谓词很难对此作方便自然的描述。这需要等到19世纪布尔等人的工作才得以实现。

关键词(Tags): #希腊#几何#逻辑#数理逻辑元宝推荐:爱莲,老马丁, 通宝推:然后203,蚂蚁不爱搬家,
全看分页树展 · 主题


有趣有益,互惠互利;开阔视野,博采众长。
虚拟的网络,真实的人。天南地北客,相逢皆朋友

Copyright © cchere 西西河