主题：【原创】千奇百怪话分形 -- 安德的游戏

俺虽然不学这个，但在关于混沌的书里经常看到这些树叶啊，三角啊，觉得很高深......

当然分形可以是对称或不对称的。但分形有意思的地方是它能用简单的规则制作出自然界中的复杂图案。比如树叶，海岸线什么的。当然自然界中的东西更多的是不对称的东西。

我理解的分形的本质应该是所谓的尺度不变性，就是说你无论将这个图案放大多少倍，看起来都差不多。自然界中既然能找到许多分形，说明尺度不变性在自然界中是存在不少的。当然尺度不变性本身也可以看作一种对称性了:-)

不过可能会召人骂。就是以前有个叫张颖清的，提出过一个叫全息生物学的说法。当然，是有些粗糙。里面的一个核心观点就是和你提到的“尺度不变性”非常相似。按照他的说法，比如拿人体作为例子，人体的各个部分实际上在某种程度上是体现了整个人体。

当时我觉得很有意思。

至于张颖清的学说，有些似是而非。研究一下形状也无不可。但是在功能上没有什么说服力。最后推出“全息诊断仪”和治疗器械，就比较过分了。据说他本人最后生病不去医院诊断治疗，坚持用自己的东西，不幸早逝。现作为伪科学三大冤案之一，嘿嘿。

本来是想挖个坑先骗几朵花的，挖完了才发现这个坑实在是太大了，我自己一个人恐怕很难填上。不过好在分形本质上是数学，一说数学绝大多数人都会头疼。所以我就少写公式多画画，大家多看图片多给花。

说到分形（fractal），先来看看分形的定义。分形这个词最早是分形的创始人曼德尔布诺特提来的，他给分形下的定义就是：一个集合形状，可以细分为若干部分，而每一部分都是整体的精确或不精确的相似形。分形这个词也是他创造的，含有“不规则”和“支离破碎”的意思。分形的概念出现很早，从十九世纪末维尔斯特拉斯构造的处处连续但处处不可微的函数，到上个世纪初的康托三分集，科赫曲线和谢尔宾斯基海绵。但是分形作为一个独立的学科被人开始研究，是一直到七十年代曼德尔布诺特提出分形的概念开始。而一直到八十年代，对于分形的研究才真正被大家所关注。

分形通常跟分数维，自相似，自组织，非线性系统，混沌等联系起来出现。它是数学的一个分支。我之前说过很多次，数学就是美。而分形的美，更能够被大众所接受，因为它可以通过图形化的方式表达出来。而更由于它美的直观性，被很多艺术家索青睐。

分形在自然界里面也经常可以看到，最多被举出来当作分形的例子，就是海岸线，源自于曼德尔布诺特的著名论文《英国的海岸线有多长》。而在生物界，分形的例子也比比皆是。

先来一个蕨类植物的叶子。这个是很典型的自相似的例子。

而用计算机通过分形的方法模拟出来的，就是一个很逼真的叶子：

另外还有一个大家经常吃到的东西，大家应该也注意到，虽然越切越小，但是形状基本上不变。这也是典型的分形。

又一个牛系列，太好了，不推荐不行

一株植物，茎叶花果都可以认为包含整株植物的信息，是全息，但和整株植物未必相似。而海岸线局部和整体自相似，但是从江苏的海岸线并不能得到包含全国海岸线的信息。

说分形，就要从曼德尔布诺特当时提出的著名海岸线说起。下面给出几张比例尺从大到小的google卫星地图作为例子。我是随意选的，位置大概在厦门附近。如果去掉可以作为标识的城镇和自然景观，去掉海岸上的人工痕迹，只保留海岸线的曲折曲线的话，应该说不太可能判断出比例尺的大小，所有的海岸都是曲曲折折的样子。这就是所谓的自相似，不要求严格的重复，只是样子近似就可以。

外链出处

外链出处

外链出处

这说明了什么呢？说明无论把海岸线放大到多少倍，它还始终都是这个曲曲折折的样子。一方面，在更大的比例上，更细节的东西部分表现不出来。另一方面，再更小的比例上，用更短的尺子更精细地测量，量出来的海岸线的长度就会更长。

对海岸线的一个很好的类比，就是科赫曲线。科赫曲线的构造很简单，首先，画一个线段，然后把线段等分成三份，把中间的一份去掉，再用两段同样长度的曲线补上去。就变成了这样

好，现在我们有了四段线段，每一段重复这样的操作

看起来更复杂了。现在是十六条线段，再对每一条重复操作

这样一直做下去，直到无穷，就变成了这样

如果不是从一个线段开始，而是从一个等边三角形开始，那做到最后，就会变成一个雪花的形状，里面填上颜色，就是文章开头给出的科赫雪花了

如果我们只去掉而不添加，最后会得到康托三分集：

去掉中间一段：

再继续

（看起来有点像八卦）

说了这么多，什么叫分形呢？分形创始人曼德尔布诺特给出的定义是：“豪斯多夫维严格大于拓扑维的集合”。这个定义看起来简单，可是解释起来就很复杂了。首先我们说维数。一条线是一维的，平面是二维的，而一个空间几何形体是三维的。这是我们所熟悉的概念，也就是几何维数。不过，拓扑维数和几何维数不同。拓扑只考虑里外，前后的关系，而距离在拓扑上是没有意义的。换句话说，当我们从拓扑的角度考虑一个对象的时候，对象就象橡皮做的，可以任意拉伸延展和弯曲，而不改变其拓扑特征。所以一段曲线，只要它没有宽度，不管形状是什么样子，在拓扑意义上就是一维的，比如说一段正弦曲线。而从几何意义上说，正弦曲线要画在一个平面上，所以是二维的。同样，一个没有厚度的曲面，在几何意义上是三维而在拓扑维度上是二维的。

好，现在回过头来说豪斯多夫维。这个豪斯多夫维当然跟一个叫豪斯多夫的人有关系。这个豪斯多夫是个德国人，生于1868年，是拓扑学的创始人之一。在纳粹当权以后，因为豪斯多夫是个犹太人，而且他所研究的数学由于太过抽象（换句话说就是不能被纳粹用于侵略目的），在1935年被剥夺了教授的职位。后来到了1942年，当他得知自己避免不了被送进集中营的命运以后，与妻子和妻子的一个妹妹服毒自尽。又是纳粹造成的一出悲剧。现在回过头来说，豪斯多夫在1918年提出了豪斯多夫维这个概念，定义很严密（换句话说就是我不懂）。一般来说直接计算是不容易的，但是可以用记盒维数估一个上界，用局部维数估一个下界。解释了这么半天的维数，我们还是不断地引入新的维数的名词。我们还是赶紧从这个圈里跳出来吧。

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