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主题:【原创】千奇百怪话分形 -- 安德的游戏

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家园 千奇百怪话分形——从海岸线到分形的定义

说分形,就要从曼德尔布诺特当时提出的著名海岸线说起。下面给出几张比例尺从大到小的google卫星地图作为例子。我是随意选的,位置大概在厦门附近。如果去掉可以作为标识的城镇和自然景观,去掉海岸上的人工痕迹,只保留海岸线的曲折曲线的话,应该说不太可能判断出比例尺的大小,所有的海岸都是曲曲折折的样子。这就是所谓的自相似,不要求严格的重复,只是样子近似就可以。

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这说明了什么呢?说明无论把海岸线放大到多少倍,它还始终都是这个曲曲折折的样子。一方面,在更大的比例上,更细节的东西部分表现不出来。另一方面,再更小的比例上,用更短的尺子更精细地测量,量出来的海岸线的长度就会更长。

对海岸线的一个很好的类比,就是科赫曲线。科赫曲线的构造很简单,首先,画一个线段,然后把线段等分成三份,把中间的一份去掉,再用两段同样长度的曲线补上去。就变成了这样

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好,现在我们有了四段线段,每一段重复这样的操作

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看起来更复杂了。现在是十六条线段,再对每一条重复操作

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这样一直做下去,直到无穷,就变成了这样

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如果不是从一个线段开始,而是从一个等边三角形开始,那做到最后,就会变成一个雪花的形状,里面填上颜色,就是文章开头给出的科赫雪花了

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如果我们只去掉而不添加,最后会得到康托三分集:

去掉中间一段:

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再继续

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(看起来有点像八卦)

说了这么多,什么叫分形呢?分形创始人曼德尔布诺特给出的定义是:“豪斯多夫维严格大于拓扑维的集合”。这个定义看起来简单,可是解释起来就很复杂了。首先我们说维数。一条线是一维的,平面是二维的,而一个空间几何形体是三维的。这是我们所熟悉的概念,也就是几何维数。不过,拓扑维数和几何维数不同。拓扑只考虑里外,前后的关系,而距离在拓扑上是没有意义的。换句话说,当我们从拓扑的角度考虑一个对象的时候,对象就象橡皮做的,可以任意拉伸延展和弯曲,而不改变其拓扑特征。所以一段曲线,只要它没有宽度,不管形状是什么样子,在拓扑意义上就是一维的,比如说一段正弦曲线。而从几何意义上说,正弦曲线要画在一个平面上,所以是二维的。同样,一个没有厚度的曲面,在几何意义上是三维而在拓扑维度上是二维的。

好,现在回过头来说豪斯多夫维。这个豪斯多夫维当然跟一个叫豪斯多夫的人有关系。这个豪斯多夫是个德国人,生于1868年,是拓扑学的创始人之一。在纳粹当权以后,因为豪斯多夫是个犹太人,而且他所研究的数学由于太过抽象(换句话说就是不能被纳粹用于侵略目的),在1935年被剥夺了教授的职位。后来到了1942年,当他得知自己避免不了被送进集中营的命运以后,与妻子和妻子的一个妹妹服毒自尽。又是纳粹造成的一出悲剧。现在回过头来说,豪斯多夫在1918年提出了豪斯多夫维这个概念,定义很严密(换句话说就是我不懂)。一般来说直接计算是不容易的,但是可以用记盒维数估一个上界,用局部维数估一个下界。解释了这么半天的维数,我们还是不断地引入新的维数的名词。我们还是赶紧从这个圈里跳出来吧。

关键词(Tags): #分形

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