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主题:阿波罗尼奥斯问题-Prob. of Apollonius -- 理性网民

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家园 【5.1】解析几何方法

令给定点A、B的坐标分别为(xA, yA)、(xB, yB),给定圆圆心C的坐标为(xC, yC),半径为rC。假设所求圆圆心为(x, y),半径为r。那么PPC问题等价于求解如下非线性方程组。其中xA、yA、xB、yB、xC、yC、rC为已知量,x、y、r为未知量。

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方程组(5.1)的第一式要求点A在所求圆上。第二式要求点B在所求圆上。第三式要求圆C与所求圆相切。由于两个圆可以外切也可以内切,第三式右侧可以取正号也可以取负号。

为了求解方程组(5.1),用第一式减去第二式。考虑到第三式的正负号问题,令r可以取正值也可以取负值。这样可以得到如下等价方程组

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方程组(5.2)的第二式要求所求圆圆心在线段AB的中垂线上。第三式要求所求圆圆心位于与线段AC垂直的某条直线上。

方程组(5.2)的后两式可将x和y表示成为r的函数。将r当作已知,行列式det(A)可以用于判断方程是否有解。

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当det(A)为零时,A、B、C三点共线。为使方程组有解,方程组后两式的系数必须成比例。相应的r值为

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得到r值以后,x和y值可以根据方程组(5.2)的后两式求出。

当det(A)不为零时,令

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x和y可以表示成为r的函数。

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其中E点(xE, yE)在线段AB的中垂线上,(kx, ky)为与线段AB垂直的向量。向量(kx, ky)的长度为

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其中h为圆心C到AB所在直线的距离。将式(5.6)代入方程组(5.2)的第一式,可以得到r需要满足的方程,其可以变换成如下一元二次方程形式。

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当h = rC时,AB所在直线与圆C相切,式(2.9)二次项系数为零,r有一个实数解。当h ≠ rC时,式(5.8)判别式为

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r的解的个数取决于Δ/4的大小。将式(5.6)xE、yE的表达式代入式(5.9)中,可以看出Δ/4为关于rC2的二次函数。该二次函数二次项(关于rC2的二次项,即rC4)系数为正,当rC2 = 0时取值为正。可以证明,当rC等于|AC|或者|BC|时,Δ/4 = 0。因此,当点A、B位于圆C同侧时,Δ > 0,r有两个相异的实数解;当点A、B中某点位于圆C上时,Δ = 0,r有一个实数解;当点A、B位于圆C异侧时,Δ < 0,r无实数解。得到r值以后,x和y值可以根据方程组(5.6)求出。

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家园 【补充】E点的几何意义

式(5.6)中引入的E点满足如下方程组

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其中dEA表示线段EA的长度。式(5.10)中第一式分别与第二式和第三式相加,可以得到如下等价方程组。

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这意味着E与点A、B等距离,且该距离等于E点到圆C的切线长度。当rC等于|AC|时,过A点做圆C的切线,该切线与AB的中垂线相交于E′点。E′到A、B两点的距离相等,且等于E′到圆C切点的长度。故E′点与E点重合。此时h/rC = sinCAB = cosEAB = sinAED = |DA|/|EA|。代入到式(5.9)中可以得到Δ/4 = 0。类似可以证明,当rC等于|BC|时,Δ/4 = 0。

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家园 【5.2】解的存在性和个数

当A、B两点的连线a与所做直线b相交于O点,在圆C上有两点与O点距离满足等式|OS|2 = |OA|×|OB|。这两点对应于问题的两个解。当a与b平行时,圆C的圆心与切点S都在线段AB的中垂线上。此时问题同样有两个解。当A、B中有一点位于圆C上时,过此点及圆C圆心做直线。如AB不与圆C相切,则所求圆圆心位于该直线与AB中垂线交点上。此时问题只有一个解。当A、B中有一点位于圆C上时且AB与圆C相切,或者A、B两点位于圆C异侧时,PPL问题无解。当A、B两点位于圆C上,唯一满足条件的圆为圆C本身。

解的数目总结如下。

  1. A、B两点同时位于圆C内侧或者外侧:两个解;
  2. A、B两点中有一点位于圆C上且AB不与圆C相切:一个解;
  3. A、B两点中有一点位于圆C上且AB与圆C相切,或者A、B两点位于圆C上,或者A、B两点位于圆C异侧:无解。

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家园 【6.1】解析几何方法

令给定点A的坐标为(xA, yA),给定圆圆心B、C的坐标分别为(xB, yB)、(xC, yC),半径分别为rB、rC。假设所求圆圆心为(x, y),半径为r。那么PCC问题等价于求解如下非线性方程组。其中xA、yA、xB、yB、xC、yC、rB、rC为已知量,x、y、r为未知量。

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方程组(6.1)的第一式要求点A在所求圆上。第二式要求圆B与所求圆相切。第三式要求圆C与所求圆相切。由于两个圆可以外切也可以内切,第二式、第三式右侧可以取正号也可以取负号。

为了求解方程组(6.1),用第一式减去第二式,且用第一式减去第三式。考虑到第二式、第三式的正负号问题,令r可以取正值也可以取负值。这样可以得到如下等价方程组

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方程组(6.2)的第二式要求所求圆圆心位于与线段AB垂直的某条直线上。第三式要求所求圆圆心位于与线段AC垂直的某条直线上。

方程组(6.2)的后两式可将x和y表示成为r的函数。将r当作已知,行列式det(A)可以用于判断方程是否有解。

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当det(A)为零时,A、B、C三点共线。为使方程组有解,方程组(6.2)后两式的系数必须成比例。定义

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相应的r值为

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得到r值以后,x和y值可以根据方程组(6.2)的前两式求出。考虑到rB、rC的大小,当det(A)为零时,PCC问题可以有四个解、三个解、或者两个解。

当det(A)不为零时,令

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x和y可以表示成为r的函数。

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其中E点(xE, yE)满足如下方程

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其中dAB为A、B两点的距离,而dAC为A、C两点之间的距离。向量(kx, ky)满足如下方程

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将式(6.7)代入方程组(6.2)的第一式,可以得到r需要满足的方程,其可以变换成如下一元二次方程形式。

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当点A在圆B与圆C的公切线上时,式(6.10)二次项系数为零(见【补充】),r有一个实数解。当点A不在圆B与圆C的公切线上时,式(6.10)判别式为

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r的解的个数取决于Δ/4的符号。可以证明(见【补充】)式(6.11)判别式Δ的符号与Λ的符号相同,且

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根据A点与圆B的相对位置,A点与圆C的相对位置,圆B与圆C的相对位置,r可以有两个解、一个解、或者没有解。考虑到rC的正负号的取法,PCC问题可以有四个解、三个解、两个解、一个解、或者没有解。

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家园 【补充】基于向量的公式推导

式(6.8)可以改写成为如下向量形式,并可以将其解表示成

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其中字母上的箭头表示连接两点的向量,而lAB、lAC分别表示与向量AC、向量AB垂直的向量,且满足如下关系

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式(6.13)可以通过将等式两边同时与向量AB、向量AC做点积来验证。进一步可以验证

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其中ϕ = BAC为向量AC、向量AB的夹角。

类似的,式(6.9)可以改写成为如下向量形式。其中,向量k沿x轴与y轴的分量即为kx、ky。

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kx与ky的平方和即为向量k长度的平方。利用(6.15)式,可以得到

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式(6.17)可以用来判断式(6.10)中二次项的系数。定义θB = rB/dAB、θC = rC/dAC,分别表示圆B、圆C相对于点A的半视角。当ϕ = θB ∓ θC时

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ϕ = θB ∓ θC意味着当从点A观察圆B、圆C时,两圆圆心的视距离等于两圆的半视角之和或之差。也就是说,可以找到一条经过点A的直线与圆B、圆C相切。这意味着点A在圆B与圆C的公切线上。

为了证明式(6.11)与式(6.12)等价,注意到式(6.11)中方括号内的项即为向量AE与向量k的叉积的模。为了将叉积的模转化为点积,令与向量AE垂直的向量为

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式(6.11)可以转化为

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这样Δ与如下定义的Λ同号,且

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家园 【7.1】解析几何方法

令给定圆圆心A、B、C的坐标分别为(xA, yA)、(xB, yB)、(xC, yC),半径分别为rA、rB、rC。假设所求圆圆心为(x, y),半径为r。那么CCC问题等价于求解如下非线性方程组。其中xA、yA、xB、yB、xC、yC、rA、rB、rC为已知量,x、y、r为未知量。

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方程组(7.1)的第一式、第二式、第三式分别要求圆A、圆B、圆C与所求圆相切。由于两个圆可以外切也可以内切,等式右侧可以取正号也可以取负号。

令r可取正值也可取负值,可以消去第一式右侧的正负号。再引入新变量r′ = r + rA,方程组(7.1)等价于如下方程组。

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方程组(7.2)用于求解某圆,其圆心与PCC问题所求圆相同,但是半径不同。第一式表示该圆经过圆A的圆心。第二式表示该圆与圆心在B点、半径为rB ± rA的圆相切。第三式表示该圆与圆心在C点、半径为rC ± rA的圆相切。这意味着CCC问题可以通过转换为PCC问题求解。

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