主题：阿波罗尼奥斯问题-Prob. of Apollonius -- 理性网民

问题：给定三个圆A、B、C，找出与它们同时相切的圆（如图）。

解：不失普遍性，假设圆A半径最小。过B圆圆心做同心圆B′，其半径与圆B差值为圆A半径。同样过C圆圆心做同心圆C′，其半径与圆C差值为圆A半径。过点A做圆D与圆B′、C′相切（PCC问题）。过D圆圆心做同心圆，其半径与圆D差值为圆A半径，即为所求。

证明：由于两圆相切时，切点一定位于两圆圆心连线上。故当圆A、B、C的半径同时增加或减少相同的长度，与它们同时相切的圆的圆心位置不变。这样，我们可以令圆A的半径减小到零，退化为一个点，将CCC问题转化为PCC问题求解。

分析：在上面的求解中，圆B、C可以增大或者减小，故一共有四种组合。每一种组合对应于一个PCC问题。由于每一种组合实际限制了所求圆与给定圆的相切方式（内切或者外切），相对应的PCC问题最多只有两个可行解。这样CCC问题最多有八个解。

评论：PPC、PCC和CCC问题（以及PPP问题）组成了阿波罗尼奥斯问题的第二个系列。在这个系列中，同样可以看到反演中心和圆的缩放是求解的中心技巧。