主题：阿波罗尼奥斯问题-Prob. of Apollonius -- 理性网民

问题：给定圆A、圆B和直线l，找出与圆A、圆B、直线l同时相切的圆（如图）。

解：不失普遍性，假设圆A半径小于圆B半径。过B圆圆心做同心圆B′，其半径与圆B差值为圆A半径。将直线l平移得到直线m，平移的距离等于圆A半径。过点A做圆D与圆B′、直线m相切（PLC问题）。过D圆圆心做同心圆，其半径与圆D差值为圆A半径，即为所求。

证明：由于两圆相切时，切点一定位于两圆圆心连线上；圆与直线相切时，切点与圆心的连线与直线垂直。故当圆A、圆B的半径同时增加或减少相同的长度，且将直线l平移相同的长度，与它们同时相切的圆的圆心位置不变。这样，我们可以令圆A的半径减小到零，退化为一个点，将LCC问题转化为PLC问题求解。

分析：在上面的求解中，圆B可以增大或者减小，且直线l可以有两个平移的方向，故一共有四种组合。每一种组合对应于一个PLC问题。由于每一种组合实际限制了所求圆与给定圆的相切方式（内切或者外切），相对应的PLC问题最多只有两个可行解。这样LCC问题最多有八个解。

评论：PLC和LCC问题（以及PPP问题、PPL问题或者PPC问题）组成了阿波罗尼奥斯问题的第三个系列。在这个系列中，同样可以看到反演中心和圆的缩放是求解的中心技巧。特别需要指出，PLC问题与PCC问题之间，LCC问题与CCC问题之间，无论是解法还是证明，都有着严格的对应关系。这是因为我们可以把PLC问题和LCC问题中出现的直线看成半径无限大的圆。