主题：阿波罗尼奥斯问题-Prob. of Apollonius -- 理性网民

问题：给定两点A、B及圆C，找出过A、B两点且与圆C相切的圆（如图）。

解：过A、B两点做圆D与圆C交于P、Q两点。过A、B两点做直线a。过P、Q两点做直线b。两直线a、b相交于O点。在圆C上找到点S满足|OS|^2 = |OA|×|OB|。过A、B、S三点做圆，则其与圆C相切于S点。

证明：连接OS。因为|OS|2 = |OA|×|OB|，所求圆与OS相切于S点。因为A、B、P、Q四点共圆，|OA|×|OB| = |OP|×|OQ|。那么|OS|2 = |OP|×|OQ|，故圆C同样与OS相切于S点。故所求圆与圆C相切与S点。

分析：当a与b相交于O点，在圆C上有两点与O点距离满足等式|OS|2 = |OA|×|OB|。这两点对应于问题的两个解。当a与b平行时，圆C的圆心与切点S都在线段AB的中垂线上。此时问题同样有两个解。当A、B中有一点位于圆C上时，过此点及圆C圆心做直线。如AB不与圆C相切，则所求圆圆心位于该直线与AB中垂线交点上。此时问题只有一个解。当A、B中有一点位于圆C上时且AB与圆C相切，或者A、B两点位于圆C异侧时，PPL问题无解。当A、B两点位于圆C上，唯一满足条件的圆为圆C本身。解的数目总结如下。

1. 两个解：A、B两点同时位于圆C内侧或者外侧；
2. 一个解：A、B两点中有一点位于圆C上且AB不与圆C相切；
3. 无解：A、B两点中有一点位于圆C上且AB与圆C相切，或者A、B两点位于圆C异侧，或者A、B两点位于圆C上。

评论：点O的位置并不依赖于圆D的选择。从证明可以看出，O的位置实际由圆C及所求圆的公切线所决定。与PPL问题类似，如果采用点O作为反演中心，且选取|OS|2为变换常数，那么在变换前后，A、B两点位置互换，圆C与圆D都保持不变。由于圆D选取的任意性，可以看出，任何过A、B两点的圆都在变换前后保持不变。