主题：几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 （0） -- changshou

从数学上讲，只要有一个速度恒定就导致洛仑兹变换。 物理上这个速度是光速 是因为电磁波的速度是光速（光是电磁波）而电磁场的方程在洛仑兹变换下要求不变。

也可以以任何无质量粒子的速度为这一常量（因为可以证明无质量粒子以光速运动）。从这个意义上讲，光在狭义相对论中没有那么不可或缺。

大多数空间是物质非常稀少的，而恒星和黑洞地带则是物质富集区，从这个角度讲，是不是时空的一个重要特性，时空的度量规则是不是就和这些质量的分布有关的？

看完了，看到后面说，现在的宇宙学认为，我们现在的宇宙基本上是平直的，是不是因为大多数空间质量很小？

你在帖子里说，柱面在定义测量结构以后，其上的勾股定理与平直平面相同，所以柱面没有“内在弯曲”而只有“外在弯曲”。

但是，我觉得可以在柱面本身上面进行测量而发现柱面与平面的不同。测量方法是：选取点A，然后用不同的半径R以A为圆心画圆，算面积。在R<(M_PI*r)时与平面无差别，这里r是柱面的半径。但当R>(M_PI*r)，其面积不再与平面相同。

当然，这里的一个问题是，这个测量不是可以“任意局部”的，即测量的尺度必须大于某个值。不过，我认为这个测量仍然可以称作是局部的，因为毕竟测量尺度是有限的。那么这就有一个问题，柱面是否有“内在”的弯曲？

我提这个问题其实是在思考，是否真的只有“外在”弯曲而没有“内在”弯曲的弯曲？

我们可以把柱面看成是二维平面卷起来所得的内在的流形从而从二维平面诱导出一个柱面上的度量。这个度量是没有内在弯曲的。

你所说的与平面的不同是所谓的“拓扑”上的不同， 描述这种不同不需要使用任何度量（虽然可以使用，但可以使用和必须使用不是一回事）。

“局部”和“尺度有限”是两个完全不同的概念。前者属于“拓扑”即不依赖任何度量的选取（指出柱面整体上不同于平面不需任何测量（度量））。后者是个度量概念。简单的讲，谈论局部的时候（可以）还没有尺度呢（但也可以有）。而有了度量（尺度）后当然可以继续谈论局部，并运用度量来将局部定量化，比如谈论半径为多大的圆盘。

另外，这个“局部”不能从普通词义上理解为仅仅是整体的一部分。不是每个整体的作为点的集合的一部分都是拓扑意义上的局部。必须回到流形的定义。最简便安全的办法就是将定义使用的平面膜当作“局部”。

内在弯曲是个度量的概念，同时是个局部的概念。柱面上任一点的某个（而非任意）邻域可以在保持度量的情况下等同于平面上的圆盘，所以柱面没有内在弯曲。要说柱面的度量结构整体上等同于平面是不行的，因为在不要度量结构的时候都不行（拓扑上不一样）。所以你举的例子和这度量是否内在弯曲的问题不相关---半径足够大后就不是柱面的“局部”了。

但要注意这和某个物体运动的轨迹是不一样的。而且时空不是嵌入在某个更大的东西里的。

说说俺的理解：用坐标系描述度量结构 是说，度量结构已经确定了，而度量结构是整体的。那么不管局部的坐标系怎么变，都不会改变距离。

用坐标系定义度量结构 是说，度量结构本身就是与坐标系怎么选取相关，所以当整体坐标系发生变化时，度量结构可能发生变化，比如说非洛仑兹转变，相应的，距离就可能不同。

不知道对不对

感谢楼主！！！

lz引入的流形，度量什么的概念对于后面的理解太重要了，一定要特耐心地看完前面的基础章节。俺第一次感觉离理解这玩意儿那么近。算是对引力、时空弯曲、红移、膨胀、大爆炸等以前莫名其妙的东西有了确定性的理解，至少知道是讲什么了。希望再读几遍不会又觉得其实还是啥也不明白。。。

再次感谢楼主，感谢西河！

"

我们把（8）和（9）的想法结合起来。 我想接受狭义相对论， 又不想排除 时空整体上有蹊跷 的可能。 于是一个自然的模型是 时空是一个度量流形，在局部上这个度量结构是闵可夫斯基时空。"

流形的度量结构不是整体的吗？

我们可以将大流形的度量结构限制在局部上，就得到一个小的度量流形