主题：【原创】槍手模型的機率分配──論三國博奕荊州的數字分析（五之一） -- 凌云雕龙
家园 【原创】槍手模型的機率分配──論三國博奕荊州的數字分析（五之一） 一、前言
有人說荊州之分為三個槍手互相打槍，按博奕理論來分析曹操與劉備互鬥時，為孫權叛盟的合理性作出辯解，其實該模型就數位分析上，背叛永遠比不比合作有利。
二、該模型原假設
前提為甲槍手的命中率為80%，乙槍手的命中率為60%，丙槍手的命率為40%，每輪每人只射一槍。
每人的行為皆屬理性，而且均以最大利益選擇。
三、數位化分析過程
（一）單次比賽
１、偏心計算
規則：若是三人決鬥，每人只射一槍，而且全部過程只有一輪。
他說假設：因為乙的命中率比丙佳，所以甲射乙比甲射丙有利，因為第二輪後，留下丙比留下乙有利，所以甲應射乙而不射丙。
解說：此說不確，理由如後。
（１）因為規則只有一輪，沒有第二輪，所以不應為第二輪打算。
（２）機率要算盡各種可能，沒有絕對的事，沒有甲一定必射乙的事，也應存在甲有可能射丙。
（３）甲的存活取決於乙丙的選擇，與甲的決定無關，丙沒有絕對把握，令甲乙不射。
他說原解：甲射乙（在乙丙之中選高命中率）、乙射丙（在甲丙中選高命中率）、丙射甲（在甲乙中選高命中率），因此粗算三人存活率：
甲：24%（被乙丙合射40%X60%=24%）
乙：20%（被甲射100%-80%=20%）
丙：100%（無人射丙）
再論：此為只有一輪的之下的丙優勢，不過若只有一輪，甲不必擔心第二輪，也就沒有必采以上的選擇。
本帖一共被 1 帖 引用 (帖内工具实现)家园 有点意思 家园 写这篇文章的人数学也就…… 这个例子在《阿基米德的报复》第四篇 一人一票，第十二章 数学中的民主
中也有提到
三思藏书里有
家园 枪手模型的机率分配──论三国博奕荆州的数字分析（五之五） 四、结论
实验室中的完美模型，不见得适用，因世事非尽如人意，事实常常受到很多因素的干扰。
即使甲在安全上为求第二轮的优势而采留丙射乙，甲的存活率不过为12.672%，但是甲也可冒险地在第一轮先干掉丙再来对乙，丙的死亡率可高达98.976%，以上两者各有优劣，在历史上却常常看到冒险以博高功。
春秋战国时就有一个很有名的史例，那就是秦国在伐韩与取蜀中两相为难，套上枪手模型，秦国为甲、韩国为乙、蜀国为丙，秦最强、韩次之、丙最弱。张仪为伐韩辩护，司马错为取蜀辩护，秦惠王并没有因韩国难以应付就先攻韩，正如甲不应以乙的命中率高就先射乙，事实上蜀国更弱，也就是甲射丙轻而易举，前面也计算出丙在甲的攻击下，死亡率极高，而伐韩或有赵魏等国之援（韩赵魏原为三晋），不易攻拔。因此甲射乙不易，但甲射丙则占优，虽然是比起比甲射乙更冒风险，但是甲不一定要在安全下抉择，留乙虽比留丙不利，但是攻丙却能比攻乙有利。秦国先灭蜀国而留韩国，就是甲留乙而杀丙，因此若有利可图，冒险又何妨。
在孙权与刘备争夺荆州中，论实力的话，若说曹操为枪手甲，孙权应为枪手乙，最弱的刘备才是枪手丙，而不是以刘备势力比孙权广大就错认刘备为枪手乙。孙权在赤壁战前就拥兵十余万（采陶元珍教授《三国吴兵考》），刘备虽征荆南四郡又收川取汉中，但在湘水议和被割走二郡，又承在与刘璋及对曹操的战争中损耗之后（庞统死于攻益州、吴兰死于伐巴汉），刘备不应比孙权还强大。
而孙权这枪手乙在前面命中率高低偏好中并无太多举足轻重的地位：采偏好命中率高的对手下，乙存活率为10.08%；采偏好命中率低的对手下，乙存活率为13.92%──皆介于甲丙之间。而甲灭弱丙比攻强乙更为有利，所以历史上也是魏先灭蜀，大先灭小，后来晋再吞东吴，正是这种概念，正如秦王灭蜀再攻韩，先小后大。
相同的情况还有春秋战国，诸侯原有万国之称，但是大家都采兰开斯概念，以「大数法则」先灭小而成其大，最后只剩战国七雄，然后被秦统一天下。一大在前，二小私斗，最后必遭一大各个击破，「鹤蚌相争，渔翁得利」正是此理。焉有背叛而获全胜的道理，也许出卖可以在短时获利，但是长期并没有胜算。只算一轮的话，又在甲必安全稳重偏好命中率高的对象之下，丙有可能在第一轮获胜，但是若有第二轮，一但甲乙有人生还，丙就死定了，短期（一轮）丙优，长期（二轮）丙败。
只有合作才能对抗强敌，只有乙丙合作，才能连手把甲解决，若是乙丙不合，乙对甲或丙对甲都不占优，必然因实力不如而落败。赤壁之战就是刘备与孙权联盟抵抗曹操的最好例证，一但二家貌合神离，魏晋有实力单独灭蜀吞蜀。
争一时也争千秋，近视贪利不如宏观天下。
家园 枪手模型的机率分配──论三国博奕荆州的数字分析（五之四） ４、分析
除了存活率外，事实上还有一个死亡率亦可参考，「求己生」或「让他死」同为彼此消长所在，有人求前，有人爱后，各有喜好不同。
若各人皆采偏好命中率高的对手，甲只有12.672%的存活率，但是各人皆采偏好射击低的对手，甲却能有65.6%的存活率。因为若各人皆采偏好命中率高的对手中，丙的死亡率不高（24.48%）；但是在各人皆采偏好命中率低的对手中，丙死亡率大幅提升（98.976%）。
这种牺牲安全以谋求更大利益的原则，通常叫「冒险」，也就是博奕的基本法理，采取激进的方式，甚至不顾自身安全，为谋厚利，自损其身，在所不惜。
就前例试算中，甲欲采安全的选择，结果却是存活率极低，但是若反采冒险的选择，乙丙的死亡率都会提升，就牺牲安全与谋取利益上，甲不妨采取冒险一博。
家园 枪手模型的机率分配──论三国博奕荆州的数字分析（五之三） ２、局部设限：对命中率高的对象之偏好计算
（１）第一轮开始：
甲射乙（在乙丙中选高命中率），乙射甲（在甲丙中选高命中率），丙射甲（在甲乙中选高命中率）。
（２）第一轮结束：
甲的活率为24%（40%X60%），乙的活率为20%(100%-80%)，丙的活率为100%（无人射丙）。
（３）第二轮开始：
．甲活乙死（24%X80%=19.2%）
甲射丙，丙射甲──甲的活率为60%，丙的活率为20%。
．乙活甲死（20%X76%=15.2%）
乙射丙，丙射乙──乙的活率为60%，丙的活率为40%。
．甲乙皆活（24%X20%=4.8%）
重复第一轮。
．甲乙皆死（76%X80%=60.8%）
结束。
（４）第二轮结束：
甲的活率为12.672%（[19.2%X60%=11.52%]+[4.8%X24%=1.152%]）
乙的活率为10.08%（[15.2%X60%=9.12%]+[4.8%X20%=0.96%]）
丙的活率为75.52%（[19.2%X20%=3.84%]+[15.2%X40%=6.08%]+[4.8%X100%=4.8%]+[60.8%X100%=60.8%]）
３、局部设限：对命中率低的对象之偏好计算
（１）第一轮开始：
甲射丙（在乙丙中选小），乙射丙（在甲丙中选小），丙射乙（在甲乙中选小）。
（２）第一轮结束：
甲的活率为100%（无人射甲），乙的活率为60%（100%-40%），丙的活率为8%（20%X40%）。
（３）第二轮开始：
．乙活丙死（60%X92%=55.2%）
甲射乙，乙射甲──甲的活率为40%，乙的活率为20%。
．丙活乙死（8%X40%=3.2%）
甲射丙，丙射甲──甲的活率为60%，丙的活率为20%。
．乙丙皆活（60%X8%=4.8%）
重复第一轮。
．乙丙皆死（40%X92%=36.8%）
结束。
（４）第二轮结束：
甲的活率为65.6%（[55.2%X40%=22.08%]+[3.2%X60%=1.92%]+[4.8%X100%=4.8%]+[36.8%X100%=36.8%]）
乙的活率为13.92%（[55.2%X20%=11.04%]+[4.8%X60%=2.88%]）
丙的活率为1.024%（[3.2%X20%=0.64%]+[4.8%X8%=0.384%]）
家园 枪手模型的机率分配──论三国博奕荆州的数字分析（五之二） ２、公平计算
事实上甲被乙射、甲被丙射、甲被乙丙射及甲不被乙丙射的机率各为25%，除了被乙丙合射只有25%外，也应考虑其它75%的变化。按贝氏定理计算各人存活率：
甲活率：31%（[被乙射25%X40%=10%]+[被丙射25%X60%=15%]+[被乙丙射25%X40%X60%=6%]）。
乙活率：23%（[被甲射25%X20%=5%]+[被丙射25%X60%=15%]+[被甲丙射25%X20%X60%=3%]）。
丙活率：17%（[被甲射25%X20%=5%]+[被乙射25%X40%=10%]+[被甲乙射25%X20%X40%=2%]）。
小结：
这是命中率决生死的典型例子，别人命中率愈低，当然自己存活率愈高，所以甲乙丙分别按命中率递减而有存活率递增的表现。
综合计算第一轮中，甲的存活率最高，丙的存活率最低，这是因为个人存活率取决于他人的命中率之失误，其它人命中率愈差，让人活的机会愈大。若只讨论甲必被乙丙所射，而且没有人叛盟，甲当然死定，这也是合作的真缔，连合二小可以抗一大，但是既然有人叛盟，就不是乙丙攻甲，而有可能会出现其它组合。
（二）多次比赛
１、前言
既然各人命中率不同，所以对命中率高低对象的偏好，也应有不同的机率，而非铁口直断。
他说没有提到的地方：
在第二轮后，丙有可能面对甲，也可能面对乙，甚至同时面对甲与乙，除非第一轮中甲乙皆死。而且第二轮没有别人，不用再考虑第三轮想要留谁，第二轮为二人对射。
因此第一轮结束后，丙极有可能获胜（即甲乙双亡），但是第二轮开始，丙却极遭劣势，因为不论甲或乙，其命中率都比丙命中率为高。
这也是枪手丙的悲哀，由于能力不行，命中率太低不足以威胁他人，而别人甲乙的命中率都比丙高，只玩花样也许能取巧在第一轮暂时获胜，但是若有第二轮的话，丙的40%命中率实在难以与乙命中率60%或甲命中率80%相提并论。因此第二轮结束后，丙的存活率比甲或乙为低。
粗算如下：
（１）假设甲丙对决：甲的存活率为60%，丙的存活率为20%。
（２）假设乙丙对决：乙的存活率为60%，丙的存活率为40%。
不过以上太过简略，还可以按以下各项条件再详细计算。