主题：大家怎么看证明庞加莱定理 -- 北风之神

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2006-08-25科学时报

作者:科学时报记者 易蓉蓉 王丹红

聚焦庞加莱猜想与中国数学：专访哥伦比亚大学数学系教授张寿武

2006-08-25科学时报

本报记者 易蓉蓉 王丹红

(下)

据张寿武说，前不久看到有关庞加莱猜想被证明的诸多报道后，他就写了一

封很长的信给丘先生，“我们有问有答，很有意思。我问这个定理是不是应该叫

Perelman—朱熹平—曹怀东定理？丘先生说不对， Hamilton的工作是最最重要

的。我又问，是不是应该叫Hamilton—Perelman定理？丘先生说也不对，严格来

说，Perelman发表在网上的文章只是证明概要，不能代表他证明了庞加莱猜想和

几何化猜想。我再问，是不是应该叫Thurston—丘成桐—Hamilton—Perelman

—朱熹平—曹怀东定理？丘先生说，这个说法是对的。名字虽然长一点儿，但点

明了每个人的角色。”

丘成桐和李伟光发展出用非线性微分方程的方法来研究几何结构。丘成桐用

这个方法证明了卡拉比猜想和复几何上的庞加莱猜想，并且建议Hamilton用几何

分析方法来做庞加莱猜想和三维空间几何化的问题。这在国际数学家大会对

Perelman的颁奖辞中得到了印证，“因为他对几何学的贡献以及他对‘瑞奇流’

的分析和几何结构的革命化见识”。

张寿武多次强调自己没有资格评论这件事，只是稍微看了看几篇论文的前言。

“他们每个人都很大度，给前人足够多的荣誉。 Hamilton的论文充分肯定了丘

成桐的工作，Perelman的网上论文在前言部分充分肯定了Hamilton的工作，而曹

怀东和朱熹平的论文也充分肯定了Hamilton和Perelman的工作。”

在7月国际弦理论大会召开期间，《科学时报》记者在北京采访了朱熹平。

他谦虚地将庞加莱猜想的最终证明归结为国际数学界同行的共同努力，自己只是

在最后关头完成了“临门一脚”。他说：“丘成桐先生创立的几何分析为解决这

个猜想奠定了基础，美国数学家Hamilton为这个猜测提出了解决框架，俄罗斯数

学家Perelman作出了重大突破。”

“谁敢站出来宣布是谁证明了庞加莱猜想”

事实上，张寿武也对Perelman的举动大惑不解。“这也是我所经历的最奇

怪的一个现象，一个大数学家，差不多完全知道怎么证明庞加莱猜想和几何化猜

想，但他没有把细节写下来；而且四年来，没有一个数学家站出来声明Perelman

的论文证明了或者没有证明庞加莱猜想，这是很少见的。当然，关于几何化猜想

的证明部分还不够详细。这里有一个评价标准——细节可补不可补，如果不可补

的话，那别人必须用新的想法来继续证明；目前大多数人认为， Perelman的工

作可以证明庞加莱猜想，后面的三篇论文（作者分别为克莱纳和洛特、曹怀东和

朱熹平、摩根和田刚）只是在验证Perelman工作的对与错，三篇论文没有多少原

创性。由于在更重要的几何化猜想上，曹怀东和朱熹平的论述更详细、全面，所

以Hamilton和他的合作者还在进一步推敲、求证文章是否顺畅、流利。”

那么，到底谁能评价他们的贡献呢？

“曹怀东和朱熹平的工作到底是本质性的改进，还是技术性的改进？只有几

位在做这个问题的科学家，如Hamilton、瑞士数学家Huisken和Illman等，才有

发言权。看样子，曹怀东和朱熹平的工作没有那么简单，Hamilton等几位数学家

考虑了很长时间。如果一目了然的话，那就说明他们的贡献不大。我看考虑评价

所需时间越长，对他们的评价就越好。” 张寿武说。

“一个科学家站出来声称谁证明了某个定理，他需要以他的学术声誉作担保、

负责任。这是非常严肃的事情。Hamilton到访北京时，也只是表示朱熹平和曹怀

东做了很好的工作，将这个证明说得更好一点，但没有说谁证明了庞加莱猜想。

所以国际数学家大会，最精彩的不是Perelman拿菲尔茨奖——当然他的贡献足够

拿菲尔茨奖，而是谁敢站出来宣布庞加莱猜想被证明了；再进一步，谁敢站出来

宣布几何化猜想也被证明了。”张寿武表示，这不仅需要时间，也需要勇气。

“国内官方以比较谨慎的方式对待中国科学家最后证明庞加莱猜想，小心总

没有错。” 张寿武说。

“1966年，陈景润证明了1+2，是世界上最接近哥德巴赫猜想的成果。1972

年，陈景润将改进后的论文投交《中国科学》杂志，当时处于非常时期。我的硕

士导师、先后证明3+4、2+3的王元先生是审稿人。富有基础的他在听完陈景润的

3天报告后说没有发现错误，顶着莫大的政治压力第一个向全世界公布陈景润证

明了1+2。王元先生的这句话很简单，但他把名誉都押上了。”张寿武所说的这

个细节在《华罗庚传》中有同样的叙述。

无独有偶，“1995年证明费马大定理的美国普林斯顿大学教授安德鲁·怀尔

斯，是我博士后的导师之一。他当初证明费马大定理的时候，第一稿中有个错误，

被撤回来了；一年后他把第二稿送给任教于普林斯顿大学的德国大数学家、我的

老师Faltings。Faltings读了24小时后，给全世界的数学家发E- mail，说费马

大定理被证明了。他完全出于一种数学家的职业道德，没有其他动机。”

张寿武强调说，一项数学成就总是好几代人积累的结果，获奖者是代表这个

成就的终结者。20世纪最伟大的数学家A·韦依这样评价菲尔茨奖：“菲尔茨奖

就像抓阄一样，不是想拿就拿得到的。”

对于庞加莱猜想，张寿武说自己是个“外行”，“要等‘内行’的数学家站

出来宣布是否被证明了”。

“放在国际大舞台上，朱熹平和曹怀东的工作很重要，但可能比不上

Hamilton和Perelman；但放在国内背景中，他们俩做出了这样的工作，是极为了

不起的。特别是朱熹平，所处的环境没有国外的好，他不仅看懂了，还能够作出

自己的贡献，非常了不起。”张寿武表示。

张寿武假设说，如果当时不光是丘成桐，还有别的科学家站出来宣布中国科

学家最后证明了庞加莱猜想，那可能就不会有那么多议论。他还建议媒体作报道

时，不妨多引用一些其他科学家的话，那样会客观一点。

对有三组论文都致力于证明庞加莱猜想是否是资源浪费的问题，张寿武同样

摇头表示否定，“三组科学家都在做同一个问题，因为这是一个重要的问题，大

家都很好奇，并不是浪费。以后还会有人急需做这个问题，比如把这个证明过程

简化。这都是科学发展的必要阶段。”

“没有回国做数学，我也要自我批评”

“我前几天给朱熹平打电话，他还说中山大学很适合做数学，很安静。”

张寿武意味深长地说，“中国改革开放将近30年了，但这并不是中国数学的最好

阶段，原因很多。”他认为做学问最重要是给年轻人好的条件，衣食无忧。“据

我所知，国内较好的教授和一般的教授、研究生和教授之间的收入落差太大，有

的相差几十倍之多。公认的最大的数学家之一A.Grothendieck至今还活着，上世

纪80年代，他曾经拒绝瑞典皇家学会颁发的50万美元的奖金。他在拒绝信中写道，

‘我当初困难的时候非常需要钱做研究，但没有钱；现在我有退休金了，足够我

吃饭了’。”

“所以一定要关心年轻人，给他们一个安静的学习和研究环境。法国数学家

的收入大致和北大、清华、中科院研究所的相差不多，但他们很安心地做研究，

没有都跑到美国去。不像中国的数学家，很多都跑到美国去，这实际也是对我自

己的批评。我建议增加他们的固定工资，减少或者放弃工资之外的奖金、项目提

成、对论文的奖励等功利方式。”

“现在，国内的基础课程开得不全面。美国是硕士研究生要过三四门基础

课，合格后才可以做研究，中国没有这一说。学生也没有题目可做，更没有好题

目做。这都是教授的问题，真正在数学前沿做研究的少之又少。教授要尽量教给

学生东西，帮助他们选择好的题目做，鼓励他们，不要拼命抓他们干活儿。”

张寿武说学生有三种，最好的学生自己找题目自己做，一般的学生做老师给

的题目，最差的学生可能都看不懂老师给的题目，更做不了。

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2006-08-25科学时报

作者:科学时报记者 易蓉蓉 王丹红

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聚焦庞加莱猜想与中国数学：专访哥伦比亚大学数学系教授张寿武

2006-08-25科学时报

本报记者 易蓉蓉 王丹红

编者的话

6月1日下午四时左右，中国科学院晨兴数学中心办公室的李小凝打来电话，

邀请本报记者参加6月3日上午在晨兴数学中心举办的新闻发布会。会上，丘成桐

教授将通报有关庞加莱猜想证明的情况。

6 月5日，《科学时报》在头版对庞加莱猜想被证明的消息作了整版篇幅的

报道，标题为《一个长达101年的数学问题经美俄中数学家共同努力——中国数

学家最终证明庞加莱猜想》。主报道之外，我们还发表了《丘成桐眼中的朱熹平、

曹怀东》和《数学是中国人擅长的科学——杨乐谈庞加莱猜想的最后证明》等文

章。同期，包括新华社、《光明日报》、《人民日报》等在内的国内有关重要新

闻媒体也均发表文章，热情报道了这个世纪难题的解决和中国科学家的贡献。

但就在我们埋头准备借国际数学家大会召开之机开展对庞加莱猜想的后续报

道时，有关媒体的报道突然使庞加莱猜想被最终证明的归属和评价笼上了一层迷

雾。

8 月中旬，《美国数学会会志》9月号在网上刊出，其中一篇题为《不再猜

想？正在形成之中的庞加莱猜想和几何化猜想的共识》，其中一段文字说：“一

些新闻文章被翻译成英文放在网上。在那些文章里，曹朱两位中国数学家的成就

得到强调，而佩雷尔曼的功绩则以不够显著的方式被提及。新华通讯社2006年6

月21日发的一篇文稿里，佩雷尔曼的名字甚至根本没有出现。”

8月21日，国内《三联生活周刊》发表20页的封面文章——《庞加莱猜想的

数学江湖》，文章将庞加莱猜想的证明过程描述为充满恩怨情仇的风雨江湖。

此后，8月28日的美国《纽约客》杂志发表题为《流形的命运——一个传奇

的问题和谁解决它之争》的14页文章。在这篇文章中，庞加莱猜想的证明过程被

描述为尔虞我诈的“名利场”，文中漫画是丘成桐正在从俄罗斯数学家佩雷尔曼

的胸前摘取菲尔茨奖奖章。

从1904年庞加莱猜想的提出，到2006年这个猜想被证明，这是一个由众多

天才数学家造就的百年传奇，今天为什么被描述成了丑陋的名利场？中国数学家

究竟在其中作出了哪些贡献？带着这些困惑，我们独家专访了中国科学院院士杨

乐先生和美国哥伦比亚大学数学系教授张寿武。

“庞加莱猜想是一个非常奇妙、漂亮的数学描述，并且，其证明因为这么多

人的贡献而变得有意思。其实，做庞加莱猜想的多是我的师长、同学、同事，他

们能参与这个伟大的猜想并得以最后证明，我非常高兴。”

淡黄色的旧T恤，米色的短裤，沙滩鞋，不高的个子，瘦削的脸，时而严肃

地思考，时而微笑、大笑，说话中气很足、声音洪亮。他的坐姿很放松——靠着

沙发，双脚相叠，两只手随意搭在沙发扶手上，背后是数学家都很喜欢的大黑板。

8月20日，国际数学家大会召开前夕，《科学时报》记者就庞加莱猜想的证

明、中国数学的发展和数学的魅力等问题，在中国科学院晨兴数学中心大楼丘成

桐的办公室里，采访了美国哥伦比亚大学数学系教授张寿武。

张寿武，1983年毕业于中山大学数学系，1986年在中科院数学所获硕士学

位，1991年获哥伦比亚大学博士学位，1996年获哥伦比亚大学终身教职， 1998

年任该校正教授，同年证明世界性难题波戈莫洛夫猜想。1998年应邀在柏林国际

数学家大会上作45分钟报告，同年获得用于奖励全球杰出华人数学家的晨兴数学

奖最高奖。

“说庞加莱猜想比哥德巴赫猜想重要，是因为其方法很有用”

记者问张寿武是否看过国内关于庞加莱猜想最后被证明的报道，张寿武挥了

挥手里的几张报纸，“我看到了，报纸上、网上的报道那么多”。

至于庞加莱猜想是否比哥德巴赫猜想重要，张寿武明确表示：“我前几天去

哈佛大学，笑着跟丘先生争论。我不同意他的观点。”但他随后也表示，如果了

解了丘成桐观点的背景，再认同起来就没问题了。

今年6月3日，丘成桐在中国科学院晨兴数学中心接受《科学时报》采访时曾

表示，哥德巴赫猜想虽然很美，但并不是数论中一个很重要的问题，因此，它的

重要性远远赶不上庞加莱猜想。这是国际上公认的，原因是它的证明不能像庞加

莱猜想这样对其他学科产生影响。

他进一步解释：“庞加莱猜想是数学史上最伟大的问题之一，是拓扑和几

何的主流。一个世纪以来，我不相信任何一个著名的拓扑学家、几何学家没有考

虑过这个猜想的解决。庞加莱猜想的研究对广义相对论和宇宙、黑洞的研究以及

实际的工程学应用等都可能有着深远的影响，其证明方法跨越拓扑学、几何学和

微分方程等数学学科，它的重要性和难度都是相当高的。”

“数学家证明猜想，最大的收获是证明方法”

张寿武告诉记者，一位数学家怎么看定理的证明、怎么看方法，是证明猜想

过程中的关键所在，因此，报道中一定要介绍清楚。

他说：“历史上，一个数学家做数学，得到的最大结果不是对猜想的证明，

而是背后的证明方法。相对而言，哥德巴赫猜想的证明比较孤立，它的方法不能

解决其他数学分支问题。这大概也是美国Clay研究所没有把哥德巴赫猜想列为七

大猜想之一的原因。几十年来，哥德巴赫猜想的证明方法没有得到突破，这大概

就是争论哥德巴赫猜想和庞加莱猜想谁更重要的原因所在。当然，因为哥德巴赫

猜想至今还没有被完全证明，我们不知道会不会有更精彩、更伟大的方法在后

面。”

张寿武举例说：“比如微积分，当年发展微积分就是为了解决实际问题—

—求面积、求体积、求距离、做计算，每个单独的问题都是很重要的问题，很多

数学家在做完这些问题时，积累了一个方法，那就是微积分方法，现在重要得不

得了！这就跟庞加莱猜想一样，在其解决过程中得到了非常重要的方法，对其他

学科、技术、生活都很有帮助。”

“这是最有意思的地方，我们对解决哥德巴赫猜想感兴趣，但更感兴趣的是

背后的新方法、新思想，这是更为重要的。就像抛砖引玉一样，数学猜想只是引

子，证明方法才是玉。”张寿武说。

就庞加莱猜想证明和方法的比较评价，张寿武作了一个有意思的描述：“尽

管今天我们看来庞加莱猜想是多么重要，但很可能几百年后，它只是一个标准的

事实、一个习题，但Hamilton和丘成桐创立的几何分析方法可能需要拿出整整一

章的篇幅来介绍。”

“任何一个数学成就都建立在前人的基础上”

对庞加莱猜想的最终证明，张寿武的高兴心情是溢于言表的。因为参与这项

工作的，多是他的师长、同学和同事。

任教于世界几何分析中心之一的哥伦比亚大学数学系，张寿武有机会亲密接

触做几何分析的这群科学家。“事实上，他们的很多工作在我的研究中起了关键

性的作用。”

他举例说：“几何分析是我非常敬畏的一个学科。当年我就对丘先生的理

论很感兴趣，而我在哥伦比亚做博士论文时用了田刚的论文。我是做数论的，数

论和几何是数学的两个分支。一般而言，做数论不会用到几何的工具，但我的博

士论文的一个重要步骤就是田刚的毕业论文。1989年，我写信向素昧平生的丘成

桐请教，他就把田刚的论文寄给我。曹怀东是我的老师，在我在哥伦比亚大学读

博士时教过我的课，还一起打球。他很幽默、开朗，人非常好。朱熹平比我早一

年毕业于中山大学数学系，我们是系友，一起上过课。他话不多，极为谦虚。摩

根是我们哥伦比亚大学数学系的系主任，是一位非常刻苦、勤奋的拓扑学家。

Hamilton是我们系的教授，非常潇洒、正直。田刚也经常访问哥伦比亚大学，做

工作很踏实。”

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原载：2006年08月17日 三联生活周刊

百年未解的谜题：庞加莱猜想

2006年08月17日 三联生活周刊

(下)

　　三天之后的晚上，田刚写下了这封回信。

　　标题:回复:新的预印本

　　亲爱的格里沙，我正在阅读你的论文。很有意思。你是否愿意访问MIT并就

这一工作做几个演讲？

　　田刚

　　佩雷尔曼的全名，是格利高里·雅科夫列维奇·佩雷尔曼，但熟悉的人，通

常都叫他格里沙。生于1966年的佩雷尔曼，中学时就读的是著名的圣彼得堡第

239中，这所学校，一向以高等数学和物理教学闻名。1982年，作为一名高中学

生，佩雷尔曼参加了国际数学奥林匹克竞赛，并以满分的成绩获得金牌。此后，

他在圣彼得堡大学获得了博士学位，接着在斯特科洛夫研究所(Steklov

Institute of Mathematics)谋得职位。1992年秋天，佩雷尔曼前往美国纽约大

学库朗研究所访问，随后，又于1993年春天，到了纽约州立大学的石溪分校。就

是在这期间，当时就职于库朗研究所的田刚认识了佩雷尔曼。

　　田刚回忆道，那时候，佩雷尔曼的研究方向，并不是几何分析和Ricci流，

而是度量几何。“他的思路很敏捷，做东西技术性和技巧性很强，而且很严谨。”

1994年，在加州大学伯克利分校任职米勒访问学者(Miller Fellow)时，佩雷尔

曼证明了著名的灵魂猜测(Soul Conjecture)，为他赢得了国际声誉。此外，他

还曾被邀请在国际数学家大会上做报告。大约在1994年左右，汉密尔顿到库朗研

究所作了一个关于 Ricci流的报告，佩雷尔曼也是听众之一。“让大家都有点惊

讶的是，他居然提了一个关于奇点的问题”——如何解决手术过程中产生的奇点，

正是证明庞加莱猜想中的关键一步——“现在看来，那个时候，佩雷尔曼就应该

已经对解决庞加莱猜想产生了兴趣。”田刚说。

　　在米勒访问学者期满后，佩雷尔曼回到圣彼得堡，继续“安静地”任职于斯

特科洛夫研究所。有一次，田刚遇到一位当时曾与佩雷尔曼共事的数学家，向他

打听佩雷尔曼的近况。得到的消息是，佩雷尔曼几乎已经离群索居，没人知道他

在做些什么。然后，就到了2002年11月。就像阿拉丁神灯中的神仙一样，佩雷尔

曼现身了，而且，带着有可能是正确的庞加莱猜想的证明论文。

　　佩雷尔曼的第一篇论文，发表在arXiv网站上。这是一个著名的学术论文网

站，最开始的用户多为物理学家，随后，数学家们也纷纷在上面发表自己的论文

预印本，以供同行参照评议。不过，通常而言，发表在arXiv网站上的文章不被

认为是正式发表的学术论文。

　　建立一个关键的椭圆形估计，应用粗细分解，来给出瑟斯顿几何化猜测的证

明，这被认为是佩雷尔曼的“神来之笔”。在随后发表于网上的第二篇论文中，

佩雷尔曼给出了更多的证明细节。看过论文的田刚，益发认识到这项工作的重要

性。而“几乎是幸运的”，2002年12月3日，佩雷尔曼给田刚回了信，表示愿意

到麻省理工学院演讲。

　　在一般的描述中，佩雷尔曼是一个怪人:胡子头发都很长，不修边幅，衣服

经常很久不洗。今年40岁的他，至今单身，与母亲生活在一起。因为父亲去世早，

佩雷尔曼事母至孝，又一种说法是，当时他在美国，曾经有很多学校邀请他任教，

但佩雷尔曼坚持回国，原因就是牵挂母亲。2003年访问麻省理工学院时，他的条

件之一，就是要携母同行。

　　不过，在田刚的眼中，佩雷尔曼的“怪”，只是远离物质化和名利世界的一

种表现。在讨论学术问题时，他和最严谨的数学家一样，愿意就每一个细节认真

地回答。2003年的4月7日、9日和11日，佩雷尔曼在麻省理工学院作了3个演讲，

除此以外，在两周的访问时间里，他还作了一系列报告，时间超过20个小时，非

常仔细地回答每一个问题。这时候，庞加莱猜想被证明的消息，开始流传出去，

《纽约时报》和“数学世界”(MathWorld)网站都刊登了相应的消息。

　　然而，就是在麻省理工学院的讲座后，有数学家表示，佩雷尔曼的文章存在

“gaps” (漏洞)，无法读通。就在所有人都期待佩雷尔曼就此作出解释，补全

文章的细节之时，佩雷尔曼却不置一词，翩如惊龙，自此隐居不出。两篇文章放

在网上，3年多来，没有显示任何准备交由学术杂志发表的迹象。这给曾规定，

必须在学术刊物上发表论文才有资格被颁给千年数学问题奖金的克雷数学研究所，

出了个不大不小的难题。在接受本刊记者采访时，克雷所所长卡尔森表示，不排

除为此修改规定的可能。

　　可是，佩雷尔曼会接受这笔奖金吗？最近的消息，是他因为不愿参与江湖中

的名利之争，已经从斯特科洛夫研究所辞职，靠着10年前在美国访问时的积蓄维

生，躲起来思考另一个大问题。因为佩雷尔曼曾经拒绝领取欧洲数学会颁发的一

个奖项，很多人怀疑，菲尔茨奖和克雷所的百万悬赏，都未必能打动这个世外高

人的心。

　　三驾马车

　　如果把庞加莱猜想比作一局棋，在汉密尔顿和佩雷尔曼下完最关键的几步后，

余下的，已经是收官的工作。

　　不能说这个工作不重要。“高手或许一步可以看到7步后的变化，棋艺稍逊

的人或许只能看到2步，剩下的5步，就是gaps。”普林斯顿大学数学系的一位教

授说，“只有完完整整把每一步的走法写下来，才能算是一个完整的证明。”

　　而在丘成桐看来，需要做的工作，可能比补上缺失的几步还要多。“一篇论

文，从2002年放到现在，3年半的时间，为什么一直没有人站出来说看得懂？关

键是其中还有很多问题没有解决。”他认为的关键问题，是几何化猜想，而天降

大任于斯人的对象，就是朱熹平和曹怀东。

　　2005年5月中旬，为了纪念一年前刚刚去世的陈省身先生，丘成桐在哈佛大

学组织了一个微分几何的研讨会。朱熹平也被邀请参加这个会议。会议间隙，丘

成桐问朱熹平:“做得怎么样了？”

　　“基本上完成了，可是要到暑假的时候才能全部写出来。”

　　丘成桐当即决定:“你来哈佛，专门讲这个问题。”经哈佛数学系教授表决

同意，这一年 9月，朱熹平来到了哈佛，向这一领域的专家讲解他和曹怀东的证

明论文。每周讲3个小时，一共讲了70多个小时，这些内容与曹怀东的研究结果

汇集整理之后，就是后来发表在《亚洲数学杂志》上的328页的《庞加莱猜想和

几何化猜想的完全证明——汉密尔顿-佩雷尔曼Ricci流理论的应用》(A

Complete Proof of the Poincar and Geometrization Conjectures -

application of the Hamilton-Perelman theory of the Ricci flow)。

　　《亚洲数学杂志》是丘成桐主编的一本相对比较年轻的杂志。与公认排名前

四的《美国数学年刊》、德国的《数学发明》、《美国数学会杂志》和瑞典的

《数学学报》相比，分量上的确稍显不足。而且，《亚洲数学杂志》的两名编委，

斯瑞尼瓦斯 (Srinivas)和普拉萨德(Prasad)在论文发表后写给编委会的邮件中

也指出过一些问题:比如，最终发表论文的题目与最初征询编委同意时的题目不

一致;直到杂志出版后近半个月的6月13日，杂志全文仍无法下载，与以往惯例不

符;论文的审稿没有遵循复杂的程序，留给编委评论的时间也只有3天。之所以会

存在这些问题，丘成桐的解释是——“竞争”。虽然在程序上或有可商榷之处，

但丘成桐敢于用自己的学术声誉为朱熹平和曹怀东的工作担保:“完完整整，每

一步写得清清楚楚，第一次给出了全部的证明，可以用来做教科书。”在接受

《科学时报》记者采访时，丘成桐说。而汉密尔顿，则给出了如下的评价:“曹

怀东与朱熹平最近在佩雷尔曼与前人的工作基础上，给出了关于庞加莱猜想证明

的一个完整与详细的描述。我很高兴这两位Ricci流领域里的杰出学者所写的这

篇文章。他们引入了自己的新思想，使得证明变得更容易理解。”

　　的确，竞争是激烈的。就在《亚洲数学杂志》6月号出版前的5月25日，密歇

根大学的布鲁斯·克莱纳(Bruce Kleine)和约翰·洛特(John Lott)，把名为

“佩雷尔曼论文注记”(Notes on Perelman's Papers)的192页文章放到了arXiv

网站上。这是对他们2004年关于佩雷尔曼部分工作的注记的修改和补充。

　　比这再早一些时间，2004年9月，田刚和哥伦比亚大学的拓扑学家约翰·摩

根 (John Morgan)决定合作，在田刚之前给学生开讨论班研读佩雷尔曼论文时留

下的笔记的基础上，撰写一部关于庞加莱猜想的书。这部书稿，得到了克雷数学

研究所的著述专项资助(Book Fellow)。2006年5月，摩根和田刚合作完成的书稿

提交给了克雷数学研究所，并在7月25日把这本473页的书放到了arXiv网站上。

而此时，国际数学家大会已确定，将由摩根在8月24日作一个关于庞加莱猜想的

公众报告。

　　3个小组，3驾马车，彼此的差异在哪里？在接受本刊记者采访时，摩根说:

“2004 年8、9月间，我和克莱纳、洛特以及田刚和其他一些人共同参加了一次

学术会议。我们研读了佩雷尔曼的第二篇文章。这之后，我认为，我们彼此都觉

得佩雷尔曼了解问题所在。我和田刚对庞加莱猜想感兴趣，并且给出了我们认为

的完整的证明，而克莱纳和洛特、曹怀东和朱熹平的文章，关心的是整个几何化

猜想的问题，并把问题的范围缩小到Shioya-Yamaguchi的工作的范围内。而这项

工作，反过来要借助佩雷尔曼自1990年以来未发表的文章。我的感觉是，在最后

几步中所引用的数据，可能需要进行更彻底细致的检查。”不过，在克雷研究所

所长卡尔森的眼中，事情，也许并没有那么复杂。“克莱纳和洛特，曹怀东和朱

熹平，摩根和田刚，3个小组中的每一个都对检验佩雷尔曼的工作做出了重要的

贡献。能够有3个独立的数学家小组来做这件事，当然比只有一个小组要好得多

了。”

　　而且，所有的竞争，仿佛只是让佩雷尔曼最终获得菲尔茨奖的成算，变得更

大。

　　如果一切如普遍的预料，那么，在数学论文日益冗长繁复的今日，佩雷尔曼

将创下一个新的纪录:可能为他赢来数学家最高荣誉的两篇网上论文，分别只有

22页和39页。

　　“大张旗鼓地面对一个众人皆知的难题，将会冒很大的风险。”1982年的菲

尔茨奖得主阿兰·孔曾经在一篇论文的序言中如此写道，“以后人们记住他的将

是他的失败，而不是别的。随着年龄的增大，我认识到‘安全地’到达生命的终

点是一种很好的自我保护的选择。”对于在过去20年的时间里一直致力于攀登数

学世界里的珠穆朗玛峰——黎曼猜想——的阿兰·孔来说，这段话，更像是一段

幽默的自嘲。庞加莱猜想的故事，也许会在几个星期、几个月或者几年内迎来一

个圆满的——或许也是出人意料的——结局，但它所开拓的疆域，和数学世界广

袤无垠充满挑战与乐趣的地平线，还将无穷无尽的向远方延伸。

　　故事，永远在继续……-

　　（转载者注：2006国际数学家大会于22日在马德里开幕当天宣布，本届菲尔

兹奖由4人分享，他们分别是俄罗斯的格里戈里·佩雷尔曼、安德烈·奥昆科夫、

法国的文德林·维尔纳和澳大利亚的陶哲轩。）

转自：http://www.xys.org/xys/ebooks/others/science/report/poincare.txt

原载：2006年08月17日 三联生活周刊

百年未解的谜题：庞加莱猜想

2006年08月17日 三联生活周刊

　　百年未解的谜题

　　十几年来，没有哪一届国际数学家大会，能像8月22日将在西班牙马德里召

开的2006年国际数学家大会(ICM2006)这样引人注目。

　　早在几个月前，ICM2006的网站上，就贴出了这样的消息:“一个有100年历

史的数学难题的证明，将在本届大会上宣布。”尽管做出欲说还休的姿态，但看

一眼会议的日程表——8月22日17:15至18:15，里查德·汉密尔顿(Richard

Hamilton)，题目:庞加莱猜想。答案，已经无需再言。

　　一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利·庞加莱(Henri Poincare):

“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见

这个恼人的声音在我耳边响起。”庞加莱作为数学家的伟大，并不完全在于他解

决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞加

莱猜想，就是其中的一个。

　　1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学猜想:在一个

三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个

三维的圆球。提出这个猜想后，庞加莱一度认为，自己已经证明了它。但没过多

久，证明中的错误就被暴露了出来。于是，拓扑学家们开始了证明它的努力。

　　20世纪30年代以前，庞加莱猜想的研究只有零星几项。但突然，英国数学家

怀特黑德 (Whitehead)对这个问题产生了浓厚兴趣。他一度声称自己完成了证明，

但不久就撤回了论文。失之桑榆、收之东隅的是，在这个过程中，他发现了三维

流形的一些有趣的特例，而这些特例，现在被统称为怀特黑德流形。

　　50年代到60年代之间，又有一些著名的数学家宣称自己解决了庞加莱猜想，

著名的宾 (R.Bing)、哈肯(Haken)、莫伊泽(Moise)和帕帕奇拉克普罗斯

(Papa-kyriakopoulos)均在其中。帕帕奇拉克普罗斯是 1964年的维布伦奖得主，

一名希腊数学家。因为他的名字超长超难念，大家都称呼他“帕帕”(Papa)。在

1948年以前，帕帕一直与数学圈保持一定的距离，直到被普林斯顿大学邀请做客。

帕帕以证明了著名的“迪恩引理”(Dehn's Lemma)而闻名于世，喜好舞文弄墨的

数学家约翰·米尔诺(John Milnor)曾经为此写下一段打油诗:“无情无义的迪恩

引理/每一个拓扑学家的天敌/直到帕帕奇拉克普罗斯/居然证明得毫不费力。”

然而，这位聪明的希腊拓扑学家，却折在了庞加莱猜想的证明上。在普林斯顿大

学流传着一个故事。直到1976年去世前，帕帕仍在试图证明庞加莱猜想，临终之

时，他把一叠厚厚的手稿交给了一位数学家朋友，然而，只是翻了几页，那位数

学家就发现了错误，但为了让帕帕安静地离去，最后选择了隐忍不言。

　　这一时期拓扑学家对庞加莱猜想的研究，虽然没能产生他们所期待的结果，

但是，却因此发展出了低维拓扑学这门学科。

　　一次又一次尝试的失败，使得庞加莱猜想成为出了名难证的数学问题之一。

然而，因为它是几何拓扑研究的基础，数学家们又不能将其撂在一旁。这时，事

情出现了转机。

　　1966年菲尔茨奖得主斯梅尔(Smale)，在60年代初想到了一个天才的主意:

如果三维的庞加莱猜想难以解决，高维的会不会容易些呢？1960年到1961年，在

里约热内卢的海滨，经常可以看到一个人，手持草稿纸和铅笔，对着大海思考。

他，就是斯梅尔。1961年的夏天，在基辅的非线性振动会议上，斯梅尔公布了自

己对庞加莱猜想的五维和五维以上的证明，立时引起轰动。

　　10多年之后的1983年，美国数学家福里德曼(Freed man)将证明又向前推动

了一步。在唐纳森工作的基础上，他证出了四维空间中的庞加莱猜想，并因此获

得菲尔茨奖。但是，再向前推进的工作，又停滞了。拓扑学的方法研究三维庞加

莱猜想没有进展，有人开始想到了其他的工具。瑟斯顿(Thruston)就是其中之一。

他引入了几何结构的方法对三维流形进行切割，并因此获得了1983年的菲尔茨奖。

　　然而，庞加莱猜想，依然没有得到证明。

　　人们在期待一个新的工具的出现。

　　“就像费马大定理，当谷山志村猜想被证明后，尽管人们还看不到具体的前

景，但所有的人心中都有数了。因为，一个可以解决问题的工具出现了。”

清华大学数学系主任文志英说。

　　可是，解决庞加莱猜想的工具在哪里？

　　工具有了

　　里查德·汉密尔顿，生于1943年，比丘成桐大6岁。虽然在开玩笑的时候，

丘成桐会戏谑地称这位有30多年交情、喜欢冲浪、旅游和交女朋友的老友

“Playboy”，但提起他的数学成就，却只有称赞和惺惺相惜。

　　1972年，丘成桐和李伟光合作，发展出了一套用非线性微分方程的方法研究

几何结构的理论。丘成桐用这种方法证明了卡拉比猜想，并因此获得菲尔茨奖。

1979年，在康奈尔大学的一个讨论班上，当时是斯坦福大学数学系教授的丘成桐

见到了汉密尔顿。“那时候，汉密尔顿刚刚在做Ricci流，别人都不晓得，跟我

说起。我觉得这个东西不太容易做。没想到，1980年，他就做出了第一个重要的

结果。”丘成桐说，“于是，我跟他讲，可以用这个结果来证明庞加莱猜想，以

及三维空间的大问题。”

　　Ricci流，以

意大利数学家Gregorio Ricci命名的一个方程。用它可以完成一系列的拓扑手术，

构造几何结构，把不规则的流形变成规则的流形，从而解决三维的庞加莱猜想。

看到这个方程的重要性后，丘成桐立即让跟随自己的几个学生跟着汉密尔顿研究

Ricci流。其中，就包括他的第一个来自中国大陆的学生曹怀东。

　　第一次见到曹怀东，是在超弦大会丘成桐关于庞加莱猜想的报告上。虽然那

一段时间，几乎所有的媒体都在找曹怀东，但穿着件颜色鲜艳的大T恤的他，在

会场里走了好几圈，居然没有人认出。这也难怪。绝大多数的数学家，依然是远

离公众视线的象牙塔中人，即使是名动天下如威滕(Witten)，坐在后排，俨然也

是大隐隐于市的模样。

　　1982年，曹怀东考取丘成桐的博士。1984年，当丘成桐转到加州大学圣迭戈

分校任教时，曹怀东也跟了过来。但是，他的绝大多数时间，是与此时亦从康奈

尔大学转至圣迭戈分校的汉密尔顿“泡在一起”。这时，丘成桐的4名博士生，

全部在跟随汉密尔顿的研究方向。其中做得最优秀的，是施皖雄。他写出了很多

非常漂亮的论文，提出很多好的观点，可是，因为个性和环境的原因，在没有拿

到大学的终身教职后，施皖雄竟然放弃了做数学。提起施皖雄，时至今日，丘成

桐依然其辞若有憾焉。一种虽然于事无补但惹人深思的假设是，如果，当时的施

皖雄坚持下去，今天关于庞加莱猜想的故事，是否会被改写？

　　在使用Ricci流进行空间变换时，到后来，总会出现无法控制走向的点。这

些点，叫做奇点。如何掌握它们的动向，是证明三维庞加莱猜想的关键。在借鉴

了丘成桐和李伟光在非线性微分方程上的工作后，1993年，汉密尔顿发表了一篇

关于理解奇点的重要论文。便在此时，丘成桐隐隐感觉到，解决庞加莱猜想的那

一刻，就要到来了。

　　1995年，丘成桐来到北京。这次，跟他一起来的，还有汉密尔顿。做演讲的

时候，丘成桐提出了口号，向汉密尔顿学习。随后，又在新建的晨兴数学中心，

开设了关于Ricci流的讨论班。当时在中山大学的朱熹平，便在这段时间跟了上

来。

　　朱熹平最早的研究方向，是与Ricci流关系并不大的偏微分方程。但是，遇

到丘成桐后，他开始转型。“那段时间很痛苦的，几乎没什么文章出来。”朱熹

平说，“幸好中山大学的制度，工资高，收入只有很少一部分与课题基金和论文

挂钩，这才坚持下来。”在报章一度的渲染中，专心研究Ricci流和三维庞加莱

猜想的朱熹平，被描述为几年没有论文发表。问及此事，朱熹平哈哈一笑:“我

有那么差吗？”事实上，在很短的时间内，他就完成了转型，而且在《数学发明》

等著名数学专业杂志上，也先后发表过多篇文章。

　　汉密尔顿提出的Ricci流，实际上可以分为两类。一种是在实流形上作的实

Ricci流，它与三维庞加莱猜想的证明密切相关，另一种是在复流形上作的复

Ricci流，它有很多重要的应用，但与庞加莱猜想无关。最早跟随汉密尔顿进行

Ricci流研究的曹怀东，主要的方向，其实是复Ricci流。丘成桐的其他一些弟子

也不例外。直到后期，部分人才开始转到实Ricci流的方向。后转型的朱熹平，

因为用功、投入和耐心，没过多久，就成为国内做实Ricci流最出色的数学家，

而他的实干与低调，也赢得了丘成桐格外的青睐。

　　然而，尽管曹怀东、朱熹平以及朱的学生陈兵龙在Ricci流的研究上取得了

很多进展，但是，无论是汉密尔顿还是他们，几经周折，都没能找出解决奇点的

好办法。随着拓扑手术次数的增加，奇点也会递增，最终失去控制。几年的时间

里，在这个最关键的问题上，研究几乎停滞了。

　　就在关于Ricci流的工作陷入山重水复疑无路的情形持续了几年之后，远在

圣彼得堡的一位特立独行的大胡子数学家，却在几乎不为外界所知的半隐居中，

找到了解决问题的柳暗花明又一村。

　　格里沙！

　　2002年11月12日，当时在麻省理工学院数学系任教授的田刚在信箱中看到一

封显示发件人为“格利高里·佩雷尔曼”(Grigori Perelman)的邮件。

　　标题:新的预印本

　　亲爱的田，

　　可否请你关注我发表在arXiv数学网站上的论文，DG 0211159。

　　摘要:我们提出了一个Ricci流的单调式，在所有的维度中成立且无需曲率假

设……我们还验证了与理查德·汉密尔顿关于瑟斯顿封闭三维流形几何化猜想证

明的纲领相关的一些假设，使用先前关于局部曲率下界的塌陷结果，给出了对这

一猜想的证明概要。

　　格里沙·佩雷尔曼

这期经济学家里说的，好像没有太多的实际意义，重要的是很多现有的数学上的基本理论都支持这一定理，如果能证明它是错的，将几乎推翻整个现有的数学体系，所以能证明它是对的真是一件大好事。

外链出处

文中提到的一些人纷纷给nyt写信，与作者划清界限。

注： 个人感觉这个评论比其他的更专业细致些，请大家评判

送交者: HPCZ 2006年7月02日19:51:55 于 [教育与学术]http://www.bbsland.com

（http://www1.bbsland.com/education/messages/287625.html〕

Hamilton has classified 3 manifolds except that

(1). one exception, a cigar type singularity.

(2). one assumption, he assumed that

每个有限时间段内只进行有限次手术。

Prelman

(i). Ruled out the exception (1)

(ii). Sketched steps for (2), missing details.

(iii)对于粗的部分，基于李伟光-丘成桐-Hamilton 的估计，Perelman 建立了一个关键的椭圆型估计，使得他可以证明粗的部分由双曲片组成。对细的部分，由于他只能得到截面曲率的一个(局部)下界, 他宣布了一个新的塌陷结果。假设这个新的塌陷结果成立，Perelman 认为手术解与Hamilton工作中的非奇异解具有相同的长时间行为，这个结论可以推出 Thurston 几何化猜想的证明。

Perelman 期望的这个新的塌陷结果还未见诸文献，

Shioya-Yamaguchi 在闭空间的特殊情形发表了一个塌陷结果的证明。

Cao-Zhu

a. Give details for (i),(ii), especially (ii),

some parts took different approaches from Perelman\'s.

b. (yau\'s comments in ppt before 后记

手术时间的离散性，比例尺论证

当对Hamilton方程的手术解采用比例尺论证，我们遇到如何应用Hamilton紧性定理的困难，因为这个紧性定理只对光滑解有效。

克服这个困难的想法由两部分组成：

---（Perelman）: 选择截断半径充分小，将手术区域远推。

---（曹怀东－朱熹平）：建立了三个关于手术解的时间延展的结果，使得Hamilton的紧性定理仍然可用。为了达到这个目的，他们需要对手术区域的延伸有深刻的了解，这用到 陈兵龙-朱熹平关于非紧流形上Hamilton方程解的唯一性定理。

总结庞加莱猜测证明

一旦知道手术相对于时间是离散的，我们可以完成正数量曲率三维空间的分类，这是 Schoen-丘成桐最早研究的问题。

更重要的，对单连通三维空间，结合 Colding-Minicozzi（2005）的有限时间消亡性结果，这就提供了庞加莱猜测的完整证明。

c. about (iii) of Perelman

最近，曹怀东－朱熹平在前面工作的基础上给出了 Thurston 几何化猜想的一个完全证明。

yau actually made more comments on Cao_Zhu\'s work in ppt

than in that in 后记。see

http://www.mcm.ac.cn/Active/20060626_005.ppt

The following is from yau\'s ppt talk.

手术时间的离散性，比例尺论证

当对Hamilton方程的手术解采用比例尺论证，我们遇到如何应用Hamilton紧性定理的困难，因为这个紧性定理只对光滑解有效。

克服这个困难的想法由两部分组成：

1. （Perelman）: 选择截断半径充分小，将手术区域远推。

2. （曹怀东－朱熹平）：建立了三个关于手术解的时间延展的结果，使得Hamilton的紧性定理仍然可用。为了达到这个目的，他们需要对手术区域的延伸有深刻的了解，这用到 陈兵龙-朱熹平关于非紧流形上Hamilton方程解的唯一性定理。

总结庞加莱猜测证明

一旦知道手术相对于时间是离散的，我们可以完成正数量曲率三维空间的分类，这是 Schoen-丘成桐最早研究的问题。

更重要的，对单连通三维空间，结合 Colding-Minicozzi（2005）的有限时间消亡性结果，这就提供了庞加莱猜测的完整证明。

(19.4) IV. 几何化猜测的证明：粗细分解

为了研究一般空间的结构，我们仍然需要分析Hamilton方程的手术解的长时间行为。正如我们在 II 中所提到的，Hamilton在1996年研究了一些特殊光滑解的行为。

粗细分解

Hamilton证明任意三维非奇异解容许一种粗细分解，其中粗的部分由有限多个双曲空间组成，而细的部分塌陷。通过改进 Schoen-丘成桐的极小曲面理论，Hamilton进一步证明双曲片的边界是不可压缩环面。所以，任何非奇异解都是可以几何化的。

虽然非奇异的假设的有局限性，但Hamilton的想法与论证在 Perelman 的工作中起了很关键的作用，特别用来分析一般手术解的长时间行为。

这样, Perelman 宣称可以用粗细分解来给出 Thurston 几何化猜测的证明。

对于粗的部分，基于李伟光-丘成桐-Hamilton 的估计，Perelman 建立了一个关键的椭圆型估计，使得他可以证明粗的部分由双曲片组成。对细的部分，由于他只能得到截面曲率的一个(局部)下界, 他宣布了一个新的塌陷结果。假设这个新的塌陷结果成立，Perelman 认为手术解与Hamilton工作中的非奇异解具有相同的长时间行为，这个结论可以推出 Thurston 几何化猜想的证明。

虽然 Perelman 期望的这个新的塌陷结果还未见诸文献，Shioya-Yamaguchi 在闭空间的特殊情形发表了一个塌陷结果的证明。最近，曹怀东－朱熹平在前面工作的基础上给出了 Thurston 几何化猜想的一个完全证明。

(20) 后记

在 Perelman 的工作中，许多关键的证明思想只是作了勾画或略述，而经常缺少完全的细节。最近曹怀东－朱熹平2005年提交给《亚洲数学杂志》（ Asian Journal of Mathematics） 的文章给出了庞加莱与 Thurston 几何化猜想的第一个完整与详细的描述。他们在自己工作基础上，给出了 Perelman 工作的几个步骤的新证明。

过去三年中，许多数学家试图探究: Hamilton与Perelman 的想法是否可以结合起来? Kleiner 与 Lott （2004）在网上公布了关于 Perelman部分工作的注记。不过这些注记与完整的证明相差甚远。在曹怀东－朱熹平的工作在2006年4月宣布以后，Kleiner 与 Lott 在五月底公布了一篇比他们在2004年完整的笔记。他们的方法与曹怀东－朱熹平的方法有所不同。要完全理解他们的笔记还需要一些时间，因为在其中几个关键的地方仍然非常粗略。

Hamilton纲领的成功是过去三十年中几何分析学家集体努力的成果。这应该被看作几何分析学科伟大的成就，它的奇妙之处在于只用几何与分析就能够证明极度困难的拓扑学定理。

Hamilton方程是一个复杂的非线性偏微分方程组。这是数学家们第一次能够理解复杂的偏微分方程组的奇点和演化。

类似的方程组在自然现象中比比皆是。解决Hamilton方程的方法将给这些自然的方程, 如 Navier-Stokes 方程和爱因斯坦方程, 的研究带来曙光。

杨乐说，汉密尔顿的贡献在50%以上，在框架上；那个俄国人做出关键的贡献，在30%以上；我们中国人，包括丘成桐，朱熹平等人在25%的样子。即使这样，杨乐说，已经是很大的贡献了。

不过，这些加起来大于100%，啊啊。

让我佩服的是朱熹平的为人，他一直很低调，说，这个是很多人多年努力的结果，他的团队只是完成临门一脚的工作而已。

至少得是数学的博士, 而且还得是几何方面的.

他们的论文还是让专家和时间来检验吧.

不以成败论英雄, 如果真的想新闻里说的那样, 他们经过了数学系教授70多个小时的答辩, 就算将来证明了他们的工作是错误的, 或者有巨大的漏洞. 至少告诉了后人, 此路不通, 或方法有待改进.

楼下说的好, 中山大学这几年没有对朱某人实行考核上岗, 真的是很难得.