主题：投票你会变分法吗？ -- 乾道学派
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家园 变分法在物理中只是一个可有可无的小工具 有没有最小作用量原理和路径积分，不影响物理的发展。但是现在工程方面的仿真工具的核心是有限元方法，主要是解带边界条件的偏微分方程的，关键思想就是伽辽金变分法，非常的简单粗暴，但是非常有效，数学物理方法里面的解析求法完全不需要，很多军工学校被禁用的matlab主要就是做有限元计算的。
家园 MATLAB 不是做有限元的 它曾经有那么一部分去做有限元，叫FEM-LAB，最后一路进化成了COMSOL，算是和MATLAB当年有点渊源。
MATLAB应用及其广泛。我认为被禁止打击最大那块是simulink，用来搞控制模拟（解常微分方程组）。
变分法算是一个非常有效的理论工具，搞科研实践上，目前应用比较大的地方是multiphysics里面用来推导本构关系。 要是不用变分法，我还真想不出来能有什么别的路径。工程师还是有一小部分需要搞点研究的，所以也不能说这东西一点用没有。 但是非要说的很玄，就没意思了。工程师是最讲究实际效果的一批人。 只有有用的方法，没有高级的方法。
家园 Matlab本质上就是做矩阵运算的 有限元方法就是通过把连续的空间和连续的时间离散化，比如空间100个点，时间100个点，那么总共有n=100*100=10000个点，将各种微分方程通过离散化加变分法转化成简单的代数方程，也就是n元一次方程组，那么方程的求解的主要部分就变成一个求逆矩阵的问题，矩阵越大需要的内存越大，计算时间不是瓶颈，内存的大小才是瓶颈。这里面用到的变分法其实和我们熟悉的最小二乘法的原理是一样的，都是拟合参数如何确定的问题，只不过有限元方法里面需要拟合的参数非常多而已。matlab也好，comsol也好，simulink也好，都是擅长做矩阵运算的，只是针对不同的领域做了最方便的优化。这些软件的核心就是如何快速的求逆矩阵，基本的算法早就是公开的。和有限元方法不同的是分子动力学模拟，这个是模拟常微分方程随时间长时间演化的，算法很简单，内存一般不是问题，但是就是要算的时间长，对于大系统比如天气预报什么的，经常需要在超算上跑几天甚至几个月，时间短模拟出来的数据一点用都没有。
家园 稍微说几句吧 时间空间不能混为一谈。空间叫离散，时间叫积分。区别就是空间点与点之间是平等的，但是时间是有先后的，没有过去，求不出未来。另外很大一部分，至少一半以上的问题是不需要时间的。
方程AX=B求解不是必须的，是一部分问题。实际上，复杂问题往往不能用这个办法。
变分法还是不要和最小二乘法混为一谈。一个是基于函数空间的一套理论，一个是数据拟合的具体算法。差别还是大了一点。 有限元称作数据拟合也有点无厘头了。如果不想深入介绍，可以说有限元就是用来解偏微分方程的方法。
分子动力学不是用来搞天气预报的。顾名思义是预测原子分子相互运动的。计算的时间应该是纳秒左右。能做到微秒已然不易。目前比较好的应用是利用量子力学预测一些化学反应。天气预报不懂，我猜应该是finite volume method。
制约有限元的大部分问题，还是算力而不是内存。有限元需要大量乘法和循环。 并行有帮助，但是一般问题很快就到达并行上限。
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家园 最简单的有限元方法就是差分法啊 你把时间的导数差分，和空间的导数差分，没有什么区别，唯一的区别是时间的初始条件和空间的边界条件形式不一样，但这是数学的差别，你不要把有限元法看成物理的，它就是一个数学的方法，t和x对它来说就是一个变量而已，给它一个等式它就能算，在计算的过程当中是没有什么过去和未来的。很多场方程都是含时的，只不过经过一个暂态后就达到稳态了，时间的部分不需要算很长，时间离散化完全没有问题啊。
- 复 稍微说几句吧
家园 据我个人观察，实际工作上有限元的制约可能真是内存 我自己是做CFD的，跟公司里做FEA的组共享计算机集群。就我日常观察而言，FEA组的计算项目对CPU数量没啥要求，但是非常吃内存。以目前的24 CPU + 128G 内存的配置，FEA的计算使用的CPU数量往往只有3-4个就顶天了，而内存常常是拉满还不够用。不过反过来说，FEA运行速度确实受制于CPU的单核速度，搞并行的收益不大。从这个角度讲，那确实是被算力制约了。
家园 作为一个前efd从业人员 我倒是觉得内存最多可以算制约条件，并不是个本质问题。本质问题在于纯粹的数值计算无法可靠可信的处理微小的，看似无关紧要的因素。
举个🌰，很久以前给某公司做过一个内窥镜的实验。他们要搞个冲洗内窥镜的东西，委托我在的公司做实验测量一下出口的速度分布。据说计算做完了，需要对比一下。实验结果过了几个月做好拿给他们了。当时不知何故对面不太高兴的样子。过了几个月以后按习惯要和他们去谈谈，看看反馈，有没有进一步弄点生意啥的。然后才知道实验结果和计算差距很大，简直就是对不上。那边折腾了一段时间之后，觉得应该是加工上的小问题导致流路的转角处粗糙度比较大，角度也不是完全和设计一致。
这种事情非常多，基本上都是实验结果和计算不一致，然后做计算的回去找原因。常常是毫不起眼的东西导致了计算结果毫无用处。
家园 就是内存，我的使用经验也是内存是瓶颈 有限元是先分区再求解矩阵方程，靠分区来减小维度。当分区无法减小（尺寸过大）的时候就会爆内存。