主题：阿波罗尼奥斯问题-Prob. of Apollonius -- 理性网民
家园 【1】PPP问题 问题：给定三个点A、B和C，找出过A、B、C三点的圆（如图）。
解：连接A和B得到线段l，做线段l的中垂线a。连接A和C得到线段m，做线段m的中垂线b。找到a和b的交点O，以O为圆心、|OA|为半径做圆即为所求。
证明：O在线段l的中垂线a上，所以|OA| = |OB|。O同时又在线段m的中垂线b上，所以|OA| = |OC|。那么|OA| = |OB| = |OC|，所以A、B、C三点在以O为圆心、|OA|为半径的圆上。
分析：两条直线a、b最多有一个交点，所以PPP问题最多有一个解。当a、b没有交点时，意味着a、b平行，那么A、B、C三点共线。这种情况下PPP问题无解。
评论：O同时也在以B、C为端点的线段BC的中垂线上。问题所求的圆是以A、B、C为顶点的三角形ABC的外接圆，因而O也是三角形ABC的外心。
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家园 【1.2】解的存在性和个数 两条直线a、b最多有一个交点，所以PPP问题最多有一个解。当a、b没有交点时，意味着a、b平行，那么A、B、C三点共线。这种情况下PPP问题无解。
解的数目总结如下。
- 当A、B、C共线：无解；
- 当A、B、C不共线：一个解。
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家园 【1.1】解析几何方法 PPP问题可以用解析几何的语言进行描述及求解。令给定点A、B、C的坐标分别为(xA, yA)、(xB, yB)、(xC, yC)。假设所求圆圆心为(x, y)，半径为r。那么PPP问题等价于求解如下非线性方程组。其中xA、yA、xB、yB、xC、yC为已知量，x、y、r为未知量。
方程组（1.1）的第一式要求点A在所求圆上。第二式要求点B在所求圆上。第三式要求点C在所求圆上。
为了求解方程组（1.1），用第一式减去第二式，并用第一式减去第三式。这样可以得到如下等价方程组
方程组（1.2）的第一式要求点A在所求圆上。第二式要求所求圆圆心在线段AB的中垂线上。第三式要求所求圆圆心在线段AC的中垂线上。
方程组（1.2）的后两式组成一个关于x和y的二元二次方程组。它们可以解释为求线段AB和线段AC中垂线的交点。此二元二次方程组的行列式det(A)可以用于判断方程是否有解。
当det(A)不为零时，x和y的解存在。将其代入第一式可以得到r的值。此时A、B、C三点不共线。当det(A)为零时，x和y的解不存在。此时A、B、C三点共线。
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家园 我误解了尺规的约束，还以为只能用圆规和直尺 中垂线用尺来画恐怕有些难度。我觉得可以只用圆规，然后用直尺连线。具体做法如下：
1、圆规跨度大于 1/2 AB，以 A 为中心面对 B 画弧，然后以同样的跨距以 B 为中心面对 A 画弧。两弧相交，有两个交点，直尺连接这两个交点，就形成了 AB 的中垂线。
2、同样的做法，选择 A，C， 或者 B，C划弧，连接交点，形成它们的中垂线。
3、中垂线1 和中垂线2 相交，就是圆心。