主题：几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 （0） -- changshou

几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （11.5）闵可夫斯基时空的物理来源

上文已经解释了闵可夫斯基时空 和狭义相对论的关系。但有的读者对 闵可夫斯基时空的物理来源 仍感到迷惑。因此我写了这一篇。

狭义相对论的一个基本假设是：世界上存在一种观察者， 名叫惯性观察者，他们之间相对匀速直线运动。我们可以这样定义他们：不受外力的物质点（观察者）， 就是惯性观察者。有了惯性观察者， 就可以 以他们的世界线为时间轴 建立每个惯性观察者自带的时空坐标系（从而有了时空分解），叫惯性参照系。（当然从实际角度讲，你必须先提供一个物质点不受外力的判据。这不是一个实验观测能解决的问题， 因为此时还没有建立研究运动的任何参照系。 通常能做的是指定一个看上去 受其它物体影响很小的东西 作为近似的不受外力的东西，比如在地球上，就指定地球。）这个假设可以说是先验的。以后我们会看到广义相对论不要这假设。

狭义相对论的又一个基本假设是：光在不同惯性参照系下速度不变。这个假设来源于电磁场的理论。电磁场的麦克斯韦方程说 电磁波（包括可见光）在不同惯性参照系下速度不变。这个假设也受实验支持。 如果我们用勾股定理 在某个惯性参照系里 定义空间距离， 我们就发现 之前我们定义的某点处的光锥 就是经过该点的所有方向的光的世界线的集合。 光在不同惯性参照系下速度不变 意味着 光锥也不变。可是 我们前面讲过光锥可以用 “三正一负”的“勾股定理”定义的闵可夫斯基时空距离 来定义。 而我们又知道 不同整体坐标系下 闵可夫斯基时空距离不变（意味着光锥也不变）。

如果 我们把惯性参照系 作为时空中的 整体坐标系， 然后用这些整体坐标系 和“三正一负”的“勾股定理”来定义距离， 我们就得到闵可夫斯基时空。 反过来， 如果我们假定时空是 闵可夫斯基时空，然后用整体坐标系来定义惯性参照系，我们就既建立了 惯性参照系（而且惯性参照系间相对匀速直线运动）， 又实现了光在不同惯性参照系下速度不变。

这就是闵可夫斯基时空的物理来源。

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几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （12）时空是洛仑兹流形

提示：如果你读的是（10）而不是（9）。下面自动降一维就行了。 注意：三正一负 要换为 二正一负。

12.0 （8）和（9）各讲了一个时空模型。（8）建议 用4维流形。 （9) 用了闵可夫斯基时空。

12.1 “三正一负”类型的度量结构

闵可夫斯基时空 是在 4维欧式空间上 用“三正一负”式的 “勾股定理” 定义的。4维欧式空间上 还可以定义 其他度量结构。 一个基本的想法是 使用 变系数的 “三正一负”式的 “勾股定理”。

此话怎讲？ 闵可夫斯基时空 使用的 “三正一负”式的“勾股定理” 在把 四个坐标的平方 作加减时， 每一个单独的平方 前面的系数是 1。 这里的要点是 不管你在时空中任何一处用这个“勾股定理” 这些系数都不改变。即 坐标的平方前面的系数 是常数 （不依赖于时空位置）。 在此意义上讲 我说 闵可夫斯基时空使用的 “三正一负”式的“勾股定理” 是“常系数的”。

现在 我们放宽要求 我们允许 坐标的平方前面的系数 不是常数（依赖于时空位置）。 这时的 “勾股定理” 就叫变系数的 “三正一负”式的 “勾股定理”。用 变系数的 “三正一负”式的 “勾股定理”定义的度量结构（距离）叫做 “三正一负”类型的度量结构。

当然你可能问 变系数时 取那个系数。 这其实是标准的微积分课程里的积分的问题。我们想要算一条线的长度。 我们把线切成很多小段，每一小段上系数变化很小， 我们任取一个系数 然后在这一小段上 用“勾股定理”。因为小段上系数变化很小 这是一个好的近似。 把所有小段上所算的距离加起来，这就是一个近似的长度。 现在我们让每一小段的长度 越来越小趋向于0，则近似长度的偏差 越来越小趋向于0。

上面一段话不懂没关系，只要能接受 变系数的 “三正一负”式的 “勾股定理”定义度量结构 就可以了。

但还有一个问题， 我们上面算的 实际上是连接某两点的某条线的长度。 它当然依赖于 这条线的选取。固定两个点有没有一条特殊的线连接它们呢？答案是肯定的。这叫测地线。 对闵可夫斯基时空 或 有标准度量的欧式空间 测地线都是通常所说的直线。 在闵可夫斯基时空 两点间直线（测地线）的长度（按上面的算法）就是 闵可夫斯基时空距离。

测地线的定义我就不写了（以后会解释物理意义），我只指出 测地线是由度量结构决定的。它可以理解为 在一个度量结构下的 标准的定义（测量）两点间距离的方法。 如果度量流形是以前讲的几何球面（有经纬线圈）， 那么经线都是测地线。 这也是测地线 名称的由来。

12.2 闵可夫斯基时空是平直的“三正一负”类型的度量流形

最快捷的方法，是把这看成是平直的时空的定义。 如果要负责一点， 平直的原因在于我们用了“常系数的”“三正一负”式的 “勾股定理” 定义闵可夫斯基时空。

你可能问 为何 闵可夫斯基时空 和有标准度量的4维欧式空间 都是平直的（感觉他们俩不一样啊）。 回答是， 我们不比较 “三正一负”类型的度量结构 和 “四个正号”类型的度量结构。 我们只比较同一类型的。 闵可夫斯基时空是平直的“三正一负”类型的度量流形， 有标准度量的4维欧式空间 是平直的“四个正号”类型的度量流形。

12.3 把流形和闵可夫斯基时空 结合

我们把（8）和（9）的想法结合起来。 我想接受狭义相对论， 又不想排除 时空整体上有蹊跷 的可能。 于是一个自然的模型是 时空是一个度量流形，在局部上这个度量结构是闵可夫斯基时空。

12.4 也许时空有内在的弯曲

在12.3中给的模型已经是一个很精确的模型了。12.2告诉我们 这个模型是平直的。 可是我一旦知道了 度量流形可以内在的弯曲， 我便禁不住怀疑 也许时空是 有内在的弯曲的度量流形。哪怕在实验上我暂时证明不了（当然目前的实验已经可以证明有内在弯曲了），我也不愿排除这种可能。 于是一个更稳妥的模型是 时空是 （可以有内在弯曲的） 一个 “三正一负”类型的度量流形。我们把 “三正一负”类型的度量流形 叫做 洛仑兹流形。

12.5 广义相对论认为 时空是洛仑兹流形。 这是广义相对论的一个基本观点。有时候为了强调时空是洛仑兹流形， 我称时空为 时空洛仑兹流形。

待续

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几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （11）初步的时空模型（续3）

提示：如果你读的是（10）而不是（9）。下面自动降一维就行了。

下面讲闵可夫斯基时空的物理意义。 这篇同时也是 狭义相对论概要

提示：一个物质点和一个时空中的点 不是一回事。一个物质点在时空中对应一条线：它的世界线。即它的运动在时空中（不是空间中）扫出的轨迹。这是因为随着时间的流逝，他会在时空中扫出一条线，哪怕它相对于某坐标系静止（这情况下 时间方向上还在动嘛）。它的世界线完整描述了 这个物质点在时空中的运动。这里说的相对于某坐标系静止，是指一个物质点在某坐标系下，空间坐标不变。某物质点在闵可夫斯基时空里匀速直线运动，指的是物质点的世界线是直线。注意 定义闵可夫斯基时空里匀速直线运动时我们没选任何坐标系。一个闵可夫斯基时空里的匀速直线运动 和 相对于某个坐标系的匀速直线运动 是两回事（见下文讨论）。我们可以把一个时空中的观察者 理想化地当作一个物质点。

11.0 用两句话解释 狭义相对论：我们的物理时空是闵可夫斯基时空。 物理规律 在洛伦兹变换和平移下 不变，如同 闵可夫斯基度量结构 在洛伦兹变换和平移下 不变。

仅用第一句话我们就能推出很多东西。

11.1 取一个描述闵可夫斯基时空的 整体坐标系。接下来所说的整体坐标系 都指 按“三正一负”的“勾股定理”描述闵可夫斯基时空的 整体坐标系。我们叫该整体坐标系 整体坐标系A. 整体坐标系A的选取，给出了一个将 闵可夫斯基时空 分解为时间部分和（物理）空间部分 的时空分解(因为“三正一负”中的“一负”的方向 被定为时间方向)。

11.2 由于整体坐标系A是整体的 时空分解也是整体的。整体坐标系A的时间轴 自身是一根世界线 且是一条直线。这世界线对应于一个物质点（观察者）的运动。由于 观察者 在 时空分解的坐标系中 （物理）空间坐标为零（时间轴上的点 空间坐标总是0）， 在该时空分解中，该观察者是静止的 （时间位置在变 空间位置没变）。

11.3 取第二个定义闵可夫斯基时空的 整体坐标系B。我们便有了 另一个整体时空分解 和在其中静止的观察者。这个观察者的世界线是整体坐标系B的时间轴。 这是一条直线。于是我们说观察者在闵可夫斯基时空里匀速直线运动。在整体坐标系A的时空分解中这也是一条直线。 所以在整体坐标系A的观察者看来，这是相对于该观察者的匀速直线运动的轨迹。为啥是相对于该观察者的匀速直线运动？ 因为 直线（世界线）总是和整体坐标系A的时间轴有一个固定的夹角，这说的不就是 在整体坐标系A的观察者看来 匀速直线运动吗？这就是我们通常理解的 相对的 匀速直线运动。

注意：如果我们不选某个 按“三正一负”的“勾股定理”描述闵可夫斯基时空的 整体坐标系， 而是乱选一个坐标系（哪怕他可以扩张到整个闵可夫斯基时空），一个闵可夫斯基时空里的匀速直线运动 可能不是 相对于这个坐标系的匀速直线运动。

11.4 前面讲过不同的整体坐标系由洛伦兹变换和平移 联系起来。根据11.3 在这些整体坐标系中静止的观察者 相对间 作匀速直线运动。我们把这类观察者称为惯性观察者。整体坐标系 称为 惯性参照系。

11.5 上一篇（9.9）告诉我们洛伦兹变换和平移 不改变 闵可夫斯基时空的距离。 注意 这是 4维的距离。

11.6 在不同的整体坐标系 给出的 不同时空分解中 在3维的空间部分 我们可用勾股定理定义空间距离。 在一维的时间方向， 可用时刻相减的办法定义 时间距离。但空间距离和时间距离 依赖于 时空分解的选取（整体坐标系的选取），也即依赖于 惯性参照系。特别地，时间距离是否为0 依赖于 惯性参照系的选取。这叫 同时的相对性。空间距离和时间距离 在不同惯性参照系下的变换 可由 洛伦兹变换和平移 决定。

11.7 根据11.5 11.6 我们看出 不同惯性参照系下 包含了时间和空间贡献的 4维闵可夫斯基时空距离不变，但其中的时间部分贡献 或 空间部分贡献 单独分离出来 则会变。这就是著名的钟慢尺缩效应。

11.8 光锥的定义是4维闵可夫斯基时空距离为0（见9.4）， 而洛伦兹变换 不改变4维闵可夫斯基时空距离，所以洛伦兹变换保持光锥场不变 （即 每一点的光锥都不变）。如果我们要求 光的世界线都在光锥上（这其实是物理上定义光锥的办法），这意味着光速不被洛伦兹变换改变。这就是光速不变原理：不同惯性参照系下光速一样。

11.9 那么光速是多少呢？ 是 1。光速的单位（量纲）是什么？ 没有单位。速度的单位是空间距离的单位除以时间距离的单位。 速度没有单位，说的是空间距离的单位和时间距离的单位是一样的。

很奇怪吗？单位，就是取坐标（标记点)时的基准， 即 某坐标轴上的被标记为1的点 被我们说成是 具有1个单位的 空间距离或时间距离。 如果你能接受11.5 11.6 11.7， 那么你能看到 唯一本质的距离是4维闵可夫斯基时空距离，这是由度量结构决定的。这个距离混合了空间距离和时间距离的贡献，但空间距离和时间距离是由整体坐标系的选取决定的，而度量结构不依赖于（整体）坐标系的选取。所以从4维闵可夫斯基时空距离的观点看，硬要把 某一个整体坐标系下分解出来的 时间和空间方向上的 坐标基准 说成是不同的（所谓不同的单位）， 反倒是别扭的事情。光速为1也不难理解。如果在某个坐标基准下它不是1而是比如说30万， 你换一个空间坐标基准（重新标记点）把原先被标为1的点标记为30万 就可以了。选光速为1是为了方便。

当然由于整体坐标系（惯性参照系）带来时空分解，该惯性参照系的观察者可能忽发奇想 说自己的时空分解 是特殊的。于是自行规定 不允许把空间坐标和时间坐标比较。 从这个意义上他说 时间空间的单位是不同的。这其实就是 普通人通常认为的事。在此意义下光速就有单位了。这有单位的光速在不同整体坐标系（惯性参照系）下是一样的（光速不变原理）， 于是我们有了一个 不变的（所有惯性参照系都认可的） 强行将空间坐标和时间坐标比较的方法。 我们把一切空间的定位或空间距离的测量 都化为时间的， 即我们用光信号连接不同的点 然后用光速和光信号所用的时间 来定空间位置。这样一来你再强说时间空间的单位是不同的 也可以。但 你把它们说成不同 却又总偷偷用 不变的光速 把它们化为相同的测量 和 正大光明地干脆承认 它们可以看成是相同的（比如其实都是时间单位） 这两种观点在物理上是没有区别的。 当然 你一旦用第二个观点，就回到了上一自然段：速度没有单位。

11.10 既然洛伦兹变换保持光锥场不变，光锥场的内外部也保持不变。 一个点处的光锥的内外部 分别是与这个点 类时分隔的点和类空分隔的点。这意味着在不同惯性参照系下 类时分隔依然是类时分隔， 类空分隔依然是类空分隔。 光锥是类时分隔与类空分隔分界,而光锥本身是光的轨迹。 这意味着光锥一边是亚光速一边是超光速。类时分隔对应亚光速（低于光速）。这意思是说，如果某个点（观察者）的世界线在光锥内部，那么这个点（观察者）速度低于光速。类空分隔对应超光速。 类时分隔的不变性意味着 惯性参照系的改变（相对匀速运动）不能把亚光速变为超光速。

11.11 我希望至此，对狭义相对论有所了解的读者 能体会到4维度量流形的观点（闵可夫斯基时空）是何等的有力。 我理解狭义相对论的各种时空效应， 不靠科普书里的各种思维试验。抓住 闵可夫斯基时空 就够了。更重要的是，这种观点是我们向广义相对论进军所需要的。

待续

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