主题：几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 （0） -- changshou
家园 要求流形带有微分结构 一般要求流形带有微分结构（即可以在上面搞微积分）。
家园 已经有度量结构的流形容易理解(容易想象) 但还没有嵌入的流形的概念还是不太清晰。我现在的直观理解是，一个流形的确定，就确定了它所能包含空间的形态(有没有洞、几个洞等)。你举的例子（两个对立的圆锥）在数学上能明白（一个点对应了多个集合？），但是没有建立”非流形“的大脑图像。
说明一下，我以极差的微积分基础似似而非的看了个网易公开课里讲广义相对论的课程，他是从数学角度（张量、梯度、度规什么的）来构建概念的，听懂了他的思路，但一直希望能建立一个直观一点的时空观。你的解读很好，如果能多一些例子我想就更容易理解了。
家园 流形，时空与直观想象 一般人的想像力所能想出来的任何几何体 几乎都是流形。 说“几乎”是指你的几何体 除掉 类似于两尖对尖圆锥的尖点这样的部分 以外的部分 是流形。
尖对尖圆锥为啥不是流形？因为任何包含该尖点的 两尖对尖圆锥的 部分 都不能连续的等同于一个圆盘（不许撕破或粘合）。 而（2维）流形的定义要求 局部上可以等同于圆盘。这里的要点不是“尖 ”，而是尖点附近的形态。
为了加深理解，我可以指出 单个圆锥 是（拓扑）流形。而两个相切的球面作为整体 不是流形。单个球面 是流形。两个相切的球面 在挖去相切点后 是流形。
一般人的想像力所能想出来的几何体 哪怕再复杂，除掉个别类似于尖对尖圆锥之尖点 或相切的球面之切点 之类的个别低维数部分后 都是流形。
对常人而言，真正的难点在于 很难想象 不嵌入某个作为背景的欧氏空间的 几何体。这里的要点是 要将这件事 （不嵌入某个预先存在作为背景的欧氏空间） 蕴含在你的定义中。我的这几篇就解释了这件事。但逻辑上解释清楚某件事， 不代表你会觉得它直观。
那么怎样才能觉得直观呢？这恐怕已经不是数学或物理问题了。比如你也许有能力 直观的想像 将全体实数 对应于一条无缝隙的直线。为什么这件事是对的？严格说来问题问错了。这件事之所以存在 是因为你将其蕴含在实数和直线的确切定义中。但确切定义不保证 你觉得它直观。 如果有人在看了实数的定义后 就是觉得难以“直观”想象这件事（全体实数 对应于一条无缝隙的直线），我也没办法。 另一方面 你的直观洞察力 很可能不是建立在实数的严格定义上的， 而是建立在你能“看见”直线 或至少能在头脑中想象“无缝隙的直线”上。
对流形以及时空或宇宙的理解 是非常类似的。原则上讲 “直观”的感觉不是必需的，但如果没有直观的感觉 要去思考宇宙学模型是很费劲的。绝大多数人无法“直观”想像以下这几件事
1 不嵌入欧氏空间的 几何体（流形）
2 内在的弯曲
3 维数超过3的几何体
4 将时间和空间结合起来成为“洛仑兹流形” 而这“洛仑兹流形”具有上述 （1，2和3）性质。
所以如果你要说 在有的宇宙学模型中 “宇宙有限却无边界” 或者 “大爆炸不是发生在某处” 或者“时间不能无限回溯”或者“10维时空的6维卷曲起来”等等事情 绝大多数人是无法想像的。但对于能直观想象前述4件事的人（比如我）这些可能性 （至少在几何上） 没有任何神秘性， 其难度其实可能远低于 凭空想象 用绳子打一个较复杂的结。
家园 这样的解答非常有助于理解 这么详细，太感激了！
楼主这么一说后，我感激自己的2维流形的概念和图像都清晰了不少。我提个小建议，描述一个概念或图像时多举例一般来说是有帮助的，例子中有反例更好。此外，提及一下这个概念的来源或用途也是有帮助的。比如流形这个概念，为什么会和广义相对论的时空模型有关，从这个概念开始去理解时空有什么好处，是不是唯一途径，是不是简便途径……
对于楼主提出的几件事，反馈一下我脑中现在的图像。
1 不嵌入欧氏空间的 几何体（流形）
一个瘪了的皮球或轮胎或多个洞的轮胎，可以随意变形，但不能弄破。
2 内在的弯曲
除了看起来是“弯的”以外，它的内部不是均匀分布的，所以叫“内在”，所以有可能看起来不是“弯的”，也有内在的弯曲。
3 维数超过3的几何体
额，这个确实很难描述了，自己在大脑里类推吧。
4 将时间和空间结合起来成为“洛仑兹流形” 而这“洛仑兹流形”具有上述 （1，2和3）性质。
如果能想象3的话，4就不难了，先忘掉时间就行。
“宇宙有限却无边界” 或者 “大爆炸不是发生在某处” 或者“时间不能无限回溯”这几个想象不难，只是潜意识里不太愿意相信，所以感觉难。“10维时空的6维卷曲起来”这对我来说还是有点陌生。
另外，楼主有空的话也给大家纠正一下量子物理里的一些误区吧，功德无量啊。
家园 拓扑流形=摸著石頭過河, kind of the followings are a rough kind of analogy, not real "math/physics", for the purpose of 图像
disclaimer:图像 is always an approximation, be careful and watch out, better to have different 图像 or have them upgraded.
1.
集合,势, a bounch of 石頭(kind of, or different 石頭 , 势=cardinality)
2
拓扑流形
"一个 Hausdorff 空间 X , 如果每一点都有一个开邻域与 n 维欧氏空间 E n 的一个开子集同胚, 就叫 X 为 n 维拓扑流形, 简称流形".
摸著石頭過河, 石頭 has some kind of "orders", some kind of 度量结构, largely global, "有没有洞、几个洞等"
3.
"拓扑流形再加上微分结构就称为微分流形. 也就是说, 除了上面的“局部欧氏化”, 还必须满足任两个相交的可欧氏化的开邻域, 其相交部分在两个同胚映射下的转换映射是 C r 可微的".
3.1
local 微分结构=局部欧氏化, no other choice
like china=tg, usa=5 "tg made in usa"
3.2
微分结构=任两个相交的可欧氏化的开邻域, 其相交部分在两个同胚映射下的转换映射, etc,kind of like usa=5 "tg made in usa", and from here on
广义相对论 , gauge theory;
4.
professor 陈省身: he linked global 度量结构, "有没有洞、几个洞等", with 微分结构 in 3.2, kind of, etc, big deal
家园 什么不是流形？ 能不能举个二维的例子？
家园 就我个人极不完善（甚至不正确）的理解，可否这么理解这句话 我们无法 从 内在的橡皮膜球面 给出嵌入（在三维空间或其它流形）的橡皮膜球面内在的球面形成过程不涉及更高的维度，所以它与更高的维度无关，所以它就只具有所内在的维度下的几何性质，而无法观察到更高的维度下的几何属性。
可是，一旦它嵌入更高的维度。
那么在更高的维度下的几何属性便会体现在这个球面上，在这个情况下的球面就不再是内在的，而是嵌入的。
例如，二维的内在球面，是无法观察到一些嵌入三维空间的二维球面所具有的属性的——比如，这个嵌入三维空间的二维球面表现为一个立方体的表面，那么，它是有12条可确定位置的边长、6个正方形面积、每条边之间夹角90°等等。但是，在内在的二维球面上是无法找到这些的，虽然，我们可以在内在的二维球面上画出12条线段，但是，这都是任意的，无法和那个嵌入的球面上的12条边对应。这个现象也对应着我们这些三维的生物没法体会四维生物（假设存在）所认为很想当然的三维球面的样子。
是么？
（目前就看到4这里，明天看5）家园 你的理解有对有误 内在的球面形成过程不涉及更高的维度，所以它与更高的维度无关，所以它就只具有所内在的维度下的几何性质，而无法观察到更高的维度下的几何属性。可是，一旦它嵌入更高的维度。。。。。球面就不再是内在的，而是嵌入的。
这段话可以算对（如果你说的几何指的是橡皮膜式的），但我删掉了
在更高的维度下的几何属性便会体现在这个球面上例如，二维的内在球面，是无法观察到一些嵌入三维空间的二维球面所具有的属性的——比如，这个嵌入三维空间的二维球面表现为一个立方体的表面，那么，它是有12条可确定位置的边长、6个正方形面积、每条边之间夹角90°等等。但是，在内在的二维球面上是无法找到这些的，虽然，我们可以在内在的二维球面上画出12条线段，但是，这都是任意的，无法和那个嵌入的球面上的12条边对应
这段话就不对了。我说的是橡皮膜球面。橡皮膜球面和橡皮膜立方体表面是一回事。你讲的边长、面积、夹角等等 在橡皮膜世界中没有意义（不管嵌不嵌入）。 因为你必须先定义 距离。 这是一个新的结构。 我在（5）里就讲这个
家园 挑战一下 挑战：还记得我曾给过 将4维“空间”看成三维空间加时间 的观点吗？ 上面刚讲的 在4维 粘橡皮膜球面 的办法 在时间加三维空间的观点下 意味着什么？似乎是所有可能粘法、和过程的集合