主题：几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 （0） -- changshou

一般人的想像力所能想出来的任何几何体 几乎都是流形。 说“几乎”是指你的几何体 除掉 类似于两尖对尖圆锥的尖点这样的部分 以外的部分 是流形。

尖对尖圆锥为啥不是流形？因为任何包含该尖点的 两尖对尖圆锥的 部分 都不能连续的等同于一个圆盘（不许撕破或粘合）。 而（2维）流形的定义要求 局部上可以等同于圆盘。这里的要点不是“尖 ”，而是尖点附近的形态。

为了加深理解，我可以指出 单个圆锥 是（拓扑）流形。而两个相切的球面作为整体 不是流形。单个球面 是流形。两个相切的球面 在挖去相切点后 是流形。

一般人的想像力所能想出来的几何体 哪怕再复杂，除掉个别类似于尖对尖圆锥之尖点 或相切的球面之切点 之类的个别低维数部分后 都是流形。

对常人而言，真正的难点在于 很难想象 不嵌入某个作为背景的欧氏空间的 几何体。这里的要点是 要将这件事 （不嵌入某个预先存在作为背景的欧氏空间） 蕴含在你的定义中。我的这几篇就解释了这件事。但逻辑上解释清楚某件事， 不代表你会觉得它直观。

那么怎样才能觉得直观呢？这恐怕已经不是数学或物理问题了。比如你也许有能力 直观的想像 将全体实数 对应于一条无缝隙的直线。为什么这件事是对的？严格说来问题问错了。这件事之所以存在 是因为你将其蕴含在实数和直线的确切定义中。但确切定义不保证 你觉得它直观。 如果有人在看了实数的定义后 就是觉得难以“直观”想象这件事（全体实数 对应于一条无缝隙的直线），我也没办法。 另一方面 你的直观洞察力 很可能不是建立在实数的严格定义上的， 而是建立在你能“看见”直线 或至少能在头脑中想象“无缝隙的直线”上。

对流形以及时空或宇宙的理解 是非常类似的。原则上讲 “直观”的感觉不是必需的，但如果没有直观的感觉 要去思考宇宙学模型是很费劲的。绝大多数人无法“直观”想像以下这几件事

1 不嵌入欧氏空间的 几何体（流形）

2 内在的弯曲

3 维数超过3的几何体

4 将时间和空间结合起来成为“洛仑兹流形” 而这“洛仑兹流形”具有上述 （1，2和3）性质。

所以如果你要说 在有的宇宙学模型中 “宇宙有限却无边界” 或者 “大爆炸不是发生在某处” 或者“时间不能无限回溯”或者“10维时空的6维卷曲起来”等等事情 绝大多数人是无法想像的。但对于能直观想象前述4件事的人（比如我）这些可能性 （至少在几何上） 没有任何神秘性， 其难度其实可能远低于 凭空想象 用绳子打一个较复杂的结。