主题：几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 （0） -- changshou

几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （5） 弯曲的度量流形

注意了。 下面我要描述一个非常难的概念：“弯曲”。

5.1 直观的例子

嵌入的二维球面， 一根没绷直的线，圆柱体的侧面，这些应该是弯曲的。 直线， 平面，三维欧氏空间， 这些应该是平直的（即不弯曲）。

5.2 弯曲 是局部的性质

从球面上切一片下来， 这一片是弯曲的。 我们可以说这一片是弯曲的，哪怕我们不知道 他是从球上切下来的。这一片是 球面的局部。所以 弯曲 是局部的性质。

5.3 两种弯曲

圆柱体的侧面 的弯曲 和 嵌入的二维球面 的弯曲 是两种完全不同的弯曲。

此话怎讲？

平面上直角三角形 两直角边的长度平方和 等于 斜边的长度平方。 这叫勾股定理。 勾股定理极其重要， 因为在选了直角坐标系后 我们用它定义两点间的距离。

圆柱体的侧面 可由一张纸卷起来。一张纸本是平面。 在卷的工程中，既无拉伸 也无压缩， 因此平面上三角形 变成了 圆柱体的侧面上的三角形， 各边长度不变，勾股定理成立。 这意味着 在圆柱体的侧面 定义距离 和测距离 在局部上 和在平面上作 是一样的， 哪怕圆柱体的侧面是弯曲的。

对嵌入的二维球面， 这就不对了。（注意 我这里说的是 嵌入的几何球面（2.2），即 他是把嵌入的橡皮膜球面绷圆了的， 在上边画上了标准的经纬线）。 这一点，任何搞地理的都知道：地球仪上的地图 是无法在保持距离不变的情况下 被画在平面上的。这一点哪怕在局部上也是对的 （比如：地球仪上的北半球地图 是无法在保持距离不变的情况下 被画在平面上的。 而北半球 如果看成橡皮膜 是可以摊平在平面上的。）

从勾股定理的角度讲， 几何球面上 “球面三角形”不满足 勾股定理。 取赤道， 东经30度经线（从北极到赤道），东经60度经线（从北极到赤道） 这三根线。 我们得到 几何球面上的一个“三角形”。东经30度经线 垂直于 赤道（看地球仪）。所以他应是“直角边”。于是 东经60度经线 该是 “斜边”。 可是这两条经线 从北极到赤道的距离是一样。显然勾股定理不成立了。 这意味着 在嵌入的几何球面 定义距离 和测距离 哪怕在局部上 和在平面上作 是不一样的。（严格说来：我还没有讲 在嵌入的几何球面上怎么定义距离，但实际上这个距离 就是我们每天用的 不同城市间的距离。 如前所述，这种距离 和平面上基于勾股定理的距离 不一样。）这就是 圆柱体的侧面 的弯曲 和 嵌入的二维球面 的弯曲 的本质不同。

既然有两种弯曲，就应该有两个名字。圆柱体的侧面 的弯曲，我叫它“外在的弯曲”，应为它上面的 （内在的）测距离的事情 和平直的平面（即用勾股定理定义距离的平面）是一样的。相应地，嵌入的几何球面 的弯曲 叫做“内在的弯曲”。

5.4 嵌入的几何球面 等于 嵌入的橡皮膜球面 加上 度量结构

我在5.3讲了嵌入的几何球面。 这和 嵌入的橡皮膜球面 有何关系？ 回顾2.2 （或上文），嵌入的几何球面 等于 嵌入的橡皮膜球面 加上 经纬线圈。经纬线圈 是球面上定义或测距离的基础（给定两城市的经纬度，它们的距离就确定了）。更确切地说 如同 平面上我们用直角三角形 作为 定义或测距离的标架并用勾股定理定义距离， 嵌入的几何球面上 我们用 经纬线圈为边的球面三角形 作为 定义或测距离的标架。一个度量结构， 就是制定一组 定义或测距离的标架和从这些标架给出距离的法则。你可以把 定义度量结构 理解为 定义距离。（标架和法则的关系其实有些复杂， 见（8）的讨论）。

5.5 内在的弯曲 就是度量结构（距离）和平直的欧氏空间（如平直的平面，平直的三维空间）不一样。 这里平直的欧氏空间指的是 距离是用 （在平面直角坐标系下）用勾股定理定义的。平直的欧氏空间也叫 有标准度量的欧氏空间。

这是 “内在的弯曲 ” 的定义。按此定义， 嵌入的几何球面 的弯曲 的确是“内在的弯曲”。

注意 内在的弯曲是局部的性质。（见5.2）

5.6 度量结构可以放在内在的橡皮膜球面上

嵌入的橡皮膜球面 给出 内在的橡皮膜球面（见上一篇）。度量结构（距离） 可以在局部上定义， 而局部上内在的橡皮膜球面 就是平面的一部分（平面膜）， 于是我们可以在 平面膜和各种标准模块上 指定 度量结构， 然后粘起来。 如果各个局部上的 度量结构（距离） 相互匹配， 我们就拼接出一个整体的 内在的橡皮膜球面上的度量结构。

例如 嵌入的几何球面 给出 嵌入的橡皮膜球面 （忘掉经纬线圈即是了），嵌入的橡皮膜球面又给出 内在的橡皮膜球面。 同时， 我们把 嵌入的几何球面上的度量结构 以嵌入的橡皮膜球面为中转 转放到 内在的橡皮膜球面上。这个度量结构 是由 粘成 内在的橡皮膜球面的各个局部标准模块上的 度量结构 拼接成的。 这些 局部的度量结构 自动相互匹配，因为 在嵌入的橡皮膜球面上 已经自动匹配了 （否则就不会有嵌入的几何球面了）。

又例如， 你可能觉得 在用平面膜粘成内在的球面时， 如果每块平面膜给的度量结构是平面的标准度量结构（即用勾股定理定义距离）， 那么 粘成的内在的球面就有一个 平直的（即不内在弯曲的） 度量结构。 可惜这是不对的，因为 如果你这样做，不同平面膜上的度量结构一定无法匹配（这一点我不解释了）。

5.7 同一个内在的橡皮膜球面上 可以选择 （无穷多种）不同的度量结构。

很简单。拉伸一个 嵌入的几何球面。 这不改变 嵌入的和内在的橡皮膜球面（橡皮膜球面允许拉伸）。 可这改变了 度量结构 （因为距离被拉长了）。 于是我们可以转移一个 不同的 度量结构 到内在的橡皮膜球面上。

内在的橡皮膜球面 加上一个 特定的 度量结构 叫做 内在的几何球面。

5.8 内在的几何球面有 内在的弯曲（度量结构 和平面不一样）。 当然 嵌入的几何球面 也有。询问 嵌入的橡皮膜球面 或 内在的橡皮膜球面 有无内在的弯曲 是毫无意义的。因为 内在的弯曲 是度量结构的性质， 必须先指定度量结构， 然后才能问这问题。

5.9 外在的弯曲

我其实没有确切地说 什么是外在的弯曲。我不准备确切定义它。 不仅因为这个概念在将来不是很重要，也是因为 这其实就是人们 通常所说的弯曲。 只要你见到一个三维空间中的 直观上弯曲的东西， 那东西就有 外在的弯曲。 外在的弯曲 大体上 就是 以弯曲的方式 嵌入一个 流形（如三维空间）。

内在的几何球面有没有外在的弯曲? 这个问题毫无意义。因为 只有先嵌入某个流形，才能问 有没有外在的弯曲（嵌入方式弯曲）。 而 内在的几何球面 不是嵌入的流形。

问 嵌入的几何球面 有没有外在的弯曲。 这问题就有意义了。 在我们讲的例子中 它有外在的弯曲。

5.10 举例

嵌入的几何球面 既有 外在的弯曲 又有 内在的弯曲。 但这两种弯曲是两码事。

在5.3 中提到的 （嵌入的）圆柱体的侧面（上面的距离是从平直的平面转移上去的） 有 外在的弯曲 没有 内在的弯曲（5.3证明了这一点）。

在5.1中提到的 没绷直的线 有 外在的弯曲（作为嵌入的线）。如果绷直为直线 就没有外在的弯曲。 内在的线 没有 具有内在弯曲的 度量结构。 这是因为维数太低（想一想，5.3 的论证在一维无法展开）。

平面 和三维欧式空间（用勾股定理定义距离后）没有 内在弯曲， 但可以定义 有内在弯曲的 度量结构（不均匀的修改距离就行了。）平面 作为嵌入在 三维欧氏空间 的流形 没有外在弯曲。但它可以 以有外在弯曲的方式 嵌入三维欧氏空间 （把代表平面的纸卷一下就行了）。

5.11 流形的弯曲

所有一切都可以推广到流形上。 你看懂了5.1 到5.10， 就应该明白我下面写的。

1 流形 加上一个 它上面的 特定的 度量结构 叫做 度量流形。 这相当于 在流形上定义了距离。

2 是否有内在的弯曲 不是流形的性质，是度量流形的性质。度量流形 可以有内在的弯曲。是否有外在弯曲 不是度量流形的性质。

3 嵌入的度量流形 可以既有内在的弯曲 又有外在弯曲。 这两种弯曲没有关系。外在弯曲是 流形外的人 看到的直观的弯曲。

4 对我们来说，重要的是 内在的弯曲， 它可由在度量流形上 搞距离测量 来确定。

5 内在弯曲 外在弯曲 都是局部的性质。

待续

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