主题：几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 （0） -- changshou
家园 关于光速不变原理 如果我们要求 光的世界线都在光锥上（这其实是物理上定义光锥的办法），这意味着光速不被洛伦兹变换改变。这就是光速不变原理：不同惯性参照系下光速一样。F如果光的世界线保证在光锥上，那么我大致可以理解光速不变原理。问题是为什么你说“如果我们要求...”，换句话说，光为什么一定在光锥上？我想，不是被我们要求之后，光才在光锥上的吧。
还有，光的性质我忘了——光走直线还是不走？光速不变和光走不走直线有没有关系。假如光在光锥上不走直线，那么还能推出光速不变吗？
家园 悲剧了 11.3 取另一个定义闵可夫斯基时空的 整体坐标系。我们便有了 另一个整体时空分解 和在其中静止的点（观察者）。这个点（观察者）的时间线是一条直线。 在前一个时空分解中这是一条直线。 所以在前一个点（观察者）看来，这是匀速直线运动的轨迹。为啥是匀速直线运动？ 想想看，在做好了时空分解后的整体坐标系中， 直线（世界线）和时间轴夹角是不变的，这说的不就是匀速直线运动吗？
问题一：这个“静止”是相对于“本”坐标系的“原点”而言的，即空间坐标不变而时间坐标在变，对吗？
问题二：这个观察者的时间坐标在本坐标系中是在变的，所以这个观察者不能称为本坐标系的原点。原点是另外一个点，和观察者不是一回事。对吗？
问题三：引文中的黑体部份不理解。什么叫“在前一个点（观察者）看来”，是指“相对于前一个点（观察者）”，即相对于一个时间坐标不断改变的某个点吗？我怎么感觉后一个观察者相对于前一个观察者，时间坐标和空间坐标都是不变的？看到这里有点晕了。
前面的数学内容我都懂，现在谈到相对论我就悲剧了，不懂物理，这里的相对性太绕人了。楼主这里恐怕还是要循循善诱才行，这样罗列定理引论的教学方法太难了。
- 复 悲剧了
家园 我又一次做了修改 我突然明白了你的理解困难在哪里。
在于“此点非彼点”。 “物质点非时空点”。
- 复 我又一次做了修改
家园 运动和静止的定义最好说清楚一点 现在11中凡是出现“运动”一词的地方到底是专指空间坐标的改变还是包括时间坐标的改变？比如空间坐标不变而时间坐标在变，在你的术语体系里到底叫“运动”还是叫静止。
比如11.2中
这世界线对应于一个物质点（观察者）的运动。按我的理解，你的意思是这个世界线上空间坐标是不变而只有时间坐标在变，那么按照你后面对“静止”的描述，这个世界线／时间轴反而应该对应于“静止”。
反正这里我觉得有些概念在你的叙述上还不是分得很清晰。但我对你的意思还是能够体会到的。
11.3匀速直线运动我目前在数学上是可以理解的。但是物理意义还莫名其妙，只能如此接受？
家园 静止指通常意义下的静止 即空间坐标不变， 但此时时间方向上也在运动（时间流逝）。
所以从时空（而非空间）描述的角度看，只要存在着，就在运动。
- 复 悲剧了
家园 我做了修改，你再读
家园 【贴图】关于四维空间的图解。还有什么需要图的地方？ 依次从一维扩展到四维空间
时间维度和三维空间
不可能是物理严格的，试图能给出直观的概念而已。
家园 this is 经典物理伽利略时空, in terms of 狭义相对论
with relatively low velocities, the relativity factor gamma approximates to one, and 时空 =经典物理伽利略时空, 低能;
if 高能, sr 四维: 时间, space has to go with lorentz transformation :
光锥- 维基百科，自由的百科全书, read English edition as well if possible;
analogy:even social 时空 cannot be 经典物理伽利略时空 all the time, or we have entropy issue,不進則退, and in a way, Marxist's 按勞分配 has an issue of entropy;
光锥 concept is the critical part of sr 四维, because we need high "velocities" or high gamma or 高能辐射 to progress, technologically or socially, kind of a analogy
经典物理伽利略时空 often 忽悠 our minds, as I wrote about language as a 低能 and 经典物理 communication tool (kind of in the sense of 等價交換) , otherwise how do you do "marketing" to obtain 剩余价值?
光锥, time, space of sr are kind of "local", in terms of gr
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http://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_factor
zh.wikipedia.org/zh-hk/光锥 - 轉為繁體網頁
在狭义相对论中，光锥（英文：Light cone）是闵可夫斯基时空下能够与一个单一事件通过光速存在因果联系的所有点的集合，并且它具有洛伦兹不变性。光锥也可以看作 ...
本帖一共被 1 帖 引用 (帖内工具实现)家园 你想画什么就画好了 我不好说还有什么需要图的地方。
就我个人而言没有什么需要图的地方
。你从阅读者的角度想事最好的。
家园 几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （10） 几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （10）初步的时空模型（续2）
提示： 这篇是（9）的姊妹篇， 专供 不适应4维的人阅读。能看（9）的就不用看这篇了。我把上一篇中的4维替换为三维。 一切本质的东西都在。4维时空（流形）替换为3维 意味着物理空间只有2维。时间还是一维的。
10.1 闵可夫斯基时空
狭义相对论 提供了又一个 初步的时空模型， 叫做 （3维）闵可夫斯基时空。 它是一个3维度量流形， 包含了 3维物理空间和1维时间。
作为流形，闵可夫斯基时空就是 3维的欧氏空间。 他的度量结构(距离)是什么呢?
10.2 点（或观察者）的世界线
我们把观察者简化为一个点。 一个点（或观察者）在时空中的位置 说的是 它某时刻在物理空间的某位置 （3维的位置 包含了在物理空间的位置和在时间中的位置：时刻）。 一个点（或观察者）的运动 意味着 它 在时空中的位置 在时空中变动， 其扫出的轨迹 是一条线 （为什么是1维的？）， 这叫 该点（或观察者）的世界线。
注意，世界线的定义 对 3维流形模型也是成立的。
10.3 勾股定理
在平面上 如何用勾股定理 定义距离？ 要定义 一个点 到另一个点（简单起见，假设他是原点） 的距离。 我们取这个点的两个坐标， 取它们的平方和， 再取平方和的平方根， 这就是距离。
在三维欧氏空间， 如何用勾股定理 定义距离？ 要定义 一个点 到另一个点（简单起见，假设他是原点） 的距离。 我们取这个点的三个坐标， 取它们的平方和， 再取平方和的平方根， 这就是距离。
任何实数的平方是正数（或0）， 在3维欧氏空间中用勾股定理定义距离时，我们把3个正数或0加起来（然后求平方根）， 所以这是一个 “带三个正号” （因为在加3个正数）的度量结构。
10.4 “二正一负” 的度量结构。
现在我们做一件有趣的事。 在定义上文的距离时， 强行把其中一个正号换为负号。 这个“二正一负” 的度量结构有什么性质呢？
二正一负 说明 3个方向中有一个与其它不一样。 另一方面 时空中， 1维的时间 似乎是与其他两个空间的方向不一样。于是我们 把这两个独特的方向等同起来（即二正一负时， 在时间方向的坐标平方前面用负号）。
二正一负 的实质 就是 时间和空间 有所不同。
三个正号 意味着我们把 三个正数或0（三个都是实数的平方）加起来， 结果 不会是负数。可二正一负 就不一定了。 2个正数加起来再减1个正数， 结果可正可负。结果如果是正的， 我们说 点B 和 点A 是 类空分隔的；结果如果是0， 我们说 点B 和 点A 是 类光分隔的；结果如果是负的， 我们说 点B 和 点A 是 类时分隔的。
这样一来， 固定了点A之后 整个 闵可夫斯基时空中的点 就根据 其与 点A 的分隔 属于何种类型，而分为了 3类。和点A类光分隔的点 比较特殊。这些点构成的集合 只有2维（别忘了闵可夫斯基时空是3维）。 为啥？ 应为结果刚好等于0 是一个等式。在3维，满足一个等式的点 构成一个 2维的 东西 （如同 在2维，满足一个等式的点 构成一个 1维的 东西）。 和点A类光分隔的点 构成的 2维的 东西 叫光锥。 2维的光锥 把 3维闵可夫斯基时空 分为两部分，光锥内部的 正是 和点A类时分隔的点；光锥外部的 正是 和点A类空分隔的点。
10.5 光锥是对于一个点定义的
因为我们使用点A 来定义光锥。
10.6 “二正一负” 的度量结构 似乎是局部的
因为 “二正一负” 的度量结构是从“带三个正号” 的度量结构 修改符号得来的。而10.3 中用勾股定理分析时 我们固定了 点A， 把它作为坐标系的原点。所以似乎 我们的分析取决于 以点A 为“中心” 的一个坐标系。 按8.4的观点， “二正一负” 的度量结构 似乎是局部的。注意 这里说 “二正一负” 的度量结构是局部的 和 8.5 不矛盾。这里说的是 由于定义时用的坐标系 有可能只是局部的，所以它 有可能只是定义在 装备这些局部的坐标系的标准模块上。
10.7 强行要求“二正一负” 的度量结构是整体的
可以强行要求吗？ 可以，只要 定义“二正一负” 的度量结构时 用的坐标系是整体的就行。由于作为流形，闵可夫斯基时空就是3维的欧氏空间 所以我们可以规定 该3维欧氏空间是唯一标准模块，粘合指示为：什么也不粘。
这样一来 整体的坐标系 意味着“二正一负” 的度量结构是整体的。 3维的欧氏空间 加上这个 度量结构 就是 作为度量流形的 闵可夫斯基时空。 这个度量结构叫闵可夫斯基度量。
10.8 光锥场
由于有了一个整体的坐标系 和整体的“二正一负”度量结构 （闵可夫斯基度量），我们可选择 原点A外的任何一点 用同样方法定义光锥。 于是闵可夫斯基时空 点点有光锥，而且来自同一度量。这叫光锥场。
10.9 不同的整体坐标系
同一空间上可以有不同的坐标系。
比如平面上给了一个直角坐标系后， 我们可以通过平移原点 或旋转坐标系 而得到新的坐标系。当然我们也可以用 拉伸压缩改变夹角等方法 得到新的坐标系。 平移原点 和旋转坐标系的方法是特殊的。特殊之处在于 这种坐标变换 不改变 平面上用勾股定理定义的距离（度量结构）。证明很简单。 以勾股定理定义的到原点的距离 为半径，原点为圆心画一个圆。旋转坐标系后， 这还是一个以同样距离为半径的 以新坐标系原点（没动过！）为圆心的圆。 所以勾股定理定义的距离 在这种坐标变换下不变。平移原点当然也不改变勾股定理定义的距离。
现在我们对闵可夫斯基时空 做同样的事。 注意到 闵可夫斯基时空 用的是 “二正一负” 的“勾股定理” 定义的距离。 所以我们要求的是 闵可夫斯基空间里的 保持这种距离的 3维“旋转”。 不难写出这种坐标变换的公式来， 这种变换叫“洛伦兹变换”。注意 这里变换的坐标系都是 整体坐标系。平移原点当然也不改变闵可夫斯基时空的距离。
10.10 用坐标系描述度量结构 不同于 用坐标系定义度量结构
你可能问如果坐标只是 点的名字 按8.7的说法，距离自然不依赖于坐标系的选取，10.9中还有什么好证明或推导的呢？仔细一想，不对呀。如果真按8.7 那应该是 任何坐标变换（不光是洛伦兹变换，平移原点）都不改变闵可夫斯基时空的距离（度量结构）。到底哪错了？
这里的问题在于 我们实际不是处在8.7中的情况。8.7讲的是固定了一个度量结构（距离） 然后选择坐标系去描述它。 而10.9这里实际上是 先定义（整体）坐标系 然后通过“二正一负”式的 “勾股定理” 用坐标系定义 度量结构。 所以 不同的（整体）坐标系 原则上讲 可能定义出不同的度量结构！这时10.9 告诉我们 只要不同的整体坐标系 是由洛伦兹变换和平移变换联系起来的 那么定义出来的度量结构其实是相同的。
所以 用坐标系描述度量结构 和 用坐标系定义度量结构 是不同的。这不是文字游戏。这件事有时候专业人士都会搞错。
用坐标系定义度量结构 其实是一个不好的习惯。因为你必须检查 你的度量结构实际上不依赖于 用于定义它的坐标系 （不觉的是一件别扭的事吗？）。 但是为了降低阅读的痛苦指数，下几篇中我仍然会这么做。
待续
本帖一共被 1 帖 引用 (帖内工具实现)家园 几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （9） 几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （9）初步的时空模型（续1）
提示： 如果你不能想象4维时空， 跳过此篇 直接看（10）
9.1 闵可夫斯基时空
狭义相对论 提供了又一个 初步的时空模型， 叫做 闵可夫斯基时空。 它是一个4维度量流形， 包含了 3维物理空间和1维时间。
作为流形，闵可夫斯基时空就是 4维的欧氏空间。 他的度量结构(距离)是什么呢?
9.2 点（或观察者）的世界线
我们把观察者简化为一个点。 一个点（或观察者）在时空中的位置 说的是 它某时刻在物理空间的某位置 （4维的位置 包含了在物理空间的位置和在时间中的位置：时刻）。 一个点（或观察者）的运动 意味着 它 在时空中的位置 在时空中变动， 其扫出的轨迹 是一条线 （为什么是1维的？
）， 这叫 该点（或观察者）的世界线。注意，世界线的定义 对 4维流形模型也是成立的。
9.3 勾股定理
在平面上 如何用勾股定理 定义距离？ 要定义 一个点 到另一个点（简单起见，假设他是原点） 的距离。 我们取这个点的两个坐标， 取它们的平方和， 再取平方和的平方根， 这就是距离
。在三维欧氏空间， 如何用勾股定理 定义距离？ 要定义 一个点 到另一个点（简单起见，假设他是原点） 的距离。 我们取这个点的三个坐标， 取它们的平方和， 再取平方和的平方根， 这就是距离。
在4维欧氏空间， 如何用勾股定理 定义距离？ 要定义 一个点B 到另一个点A（简单起见，假设他是原点） 的距离。 我们取这个点的4个坐标， 取它们的平方和， 再取平方和的平方根， 这就是距离。
任何实数的平方是正数（或0）， 在4维欧氏空间中用勾股定理定义距离时，我们把四个正数或0加起来（然后求平方根）， 所以这是一个 “带四个正号” （因为在加四个正数）的度量结构。
9.4 “三正一负” 的度量结构。
现在我们做一件有趣的事。 在定义上文的距离时， 强行把其中一个正号换为负号。 这个“三正一负” 的度量结构有什么性质呢？
三正一负 说明 4个方向中有一个与其它不一样。 另一方面 时空中， 1维的时间 似乎是与其他三个空间的方向不一样。于是我们 把这两个独特的方向等同起来（即三正一负时， 在时间方向的坐标平方前面用负号）。
三正一负 的实质 就是 时间和空间 有所不同。
四个正号 意味着我们把 四个正数或0（四个都是实数的平方）加起来， 结果 不会是负数。可三正一负 就不一定了。 3个正数加起来再减一个正数， 结果可正可负。结果如果是正的， 我们说 点B 和 点A 是 类空分隔的；结果如果是0， 我们说 点B 和 点A 是 类光分隔的；结果如果是负的， 我们说 点B 和 点A 是 类时分隔的。
这样一来， 固定了点A之后 整个 闵可夫斯基时空中的点 就根据 其与点A的分隔 属于何种类型，而分为了 3类。和点A类光分隔的点 比较特殊。这些点构成的集合 只有3维（别忘了闵可夫斯基时空是4维）。 为啥？ 应为结果刚好等于0 是一个等式。在4维，满足一个等式的点 构成一个 3维的 东西 （如同 在3维，满足一个等式的点 构成一个 2维的 东西 和 在2维，满足一个等式的点 构成一个 1维的 东西）。 和点A类光分隔的点 构成的 3维的 东西 叫光锥。 3维的光锥 把 4维闵可夫斯基时空 分为两部分，光锥内部的 正是 和点A类时分隔的点；光锥外部的 正是 和点A类空分隔的点。
9.5 光锥是对于一个点定义的
因为我们使用点A 来定义光锥。
9.6 “三正一负” 的度量结构 似乎是局部的
因为 “三正一负” 的度量结构是从“带四个正号” 的度量结构 修改符号得来的。而9.3 中用勾股定理分析时 我们固定了 点A， 把它作为坐标系的原点。所以似乎 我们的分析取决于 以点A 为“中心” 的一个坐标系。 按8.4的观点， “三正一负” 的度量结构 似乎是局部的。注意 这里说 “三正一负” 的度量结构是局部的 和 8.5 不矛盾。这里说的是 由于定义时用的坐标系 有可能只是局部的，所以它 有可能只是定义在 装备这些局部的坐标系的标准模块上。
9.7 强行要求“三正一负” 的度量结构是整体的
可以强行要求吗？
可以，只要 定义“三正一负” 的度量结构时 用的坐标系是整体的就行。由于作为流形，闵可夫斯基时空就是4维的欧氏空间 所以我们可以规定 该4维欧氏空间是唯一标准模块，粘合指示为：什么也不粘。 这样一来 整体的坐标系 意味着“三正一负” 的度量结构是整体的。 4维的欧氏空间 加上这个 度量结构 就是 作为度量流形的 闵可夫斯基时空。 这个度量结构叫闵可夫斯基度量。
9.8 光锥场
由于有了一个整体的坐标系 和整体的“三正一负”度量结构 （闵可夫斯基度量），我们可选择 原点A外的任何一点 用同样方法定义光锥。 于是闵可夫斯基时空 点点有光锥，而且来自同一度量。这叫光锥场。
9.9 不同的整体坐标系
同一空间上可以有不同的坐标系。
比如平面上给了一个直角坐标系后， 我们可以通过平移原点 或旋转坐标系 而得到新的坐标系。当然我们也可以用 拉伸压缩改变夹角等方法 得到新的坐标系。 平移原点 和旋转坐标系的方法是特殊的。特殊之处在于 这种坐标变换 不改变 平面上用勾股定理定义的距离（度量结构）。证明很简单。 以勾股定理定义的到原点的距离 为半径，原点为圆心画一个圆。旋转坐标系后， 这还是一个以同样距离为半径的 以新坐标系原点（没动过！）为圆心的圆。 所以勾股定理定义的距离 在这种坐标变换下不变。平移原点当然也不改变勾股定理定义的距离。
现在我们对闵可夫斯基时空 做同样的事。 注意到 闵可夫斯基时空 用的是 “三正一负” 的“勾股定理” 定义的距离。 所以我们要求的是 闵可夫斯基空间里的 保持这种距离的 4维“旋转”。 不难写出这种坐标变换的公式来， 这种变换叫“洛伦兹变换”
。注意 这里变换的坐标系都是 整体坐标系。平移原点当然也不改变闵可夫斯基时空的距离。9.10 用坐标系描述度量结构 不同于 用坐标系定义度量结构
你可能问如果坐标只是 点的名字 按8.7的说法，距离自然不依赖于坐标系的选取，9.9中还有什么好证明或推导的呢？仔细一想，不对呀。如果真按8.7 那应该是 任何坐标变换（不光是洛伦兹变换，平移原点）都不改变闵可夫斯基时空的距离（度量结构）。到底哪错了？
这里的问题在于 我们实际不是处在8.7中的情况。8.7讲的是固定了一个度量结构（距离） 然后选择坐标系去描述它。 而9.9这里实际上是 先定义（整体）坐标系 然后通过“三正一负”式的 “勾股定理” 用坐标系定义 度量结构。 所以 不同的（整体）坐标系 原则上讲 可能定义出不同的度量结构！这时9.9 告诉我们 只要不同的整体坐标系 是由洛伦兹变换和平移变换联系起来的 那么定义出来的度量结构其实是相同的。
所以 用坐标系描述度量结构 和 用坐标系定义度量结构 是不同的。这不是文字游戏。这件事有时候专业人士都会搞错
。用坐标系定义度量结构 其实是一个不好的习惯。因为你必须检查 你的度量结构实际上不依赖于 用于定义它的坐标系 （不觉的是一件别扭的事吗？）。 但是为了降低阅读的痛苦指数，下几篇中我仍然会这么做。
待续
本帖一共被 1 帖 引用 (帖内工具实现)家园 9.9都理解，9.10 又有点犯糊涂 说说俺的理解：用坐标系描述度量结构 是说，度量结构已经确定了，而度量结构是整体的。那么不管局部的坐标系怎么变，都不会改变距离。
用坐标系定义度量结构 是说，度量结构本身就是与坐标系怎么选取相关，所以当整体坐标系发生变化时，度量结构可能发生变化，比如说非洛仑兹转变，相应的，距离就可能不同。
不知道对不对