主题：数学闲话（闲话开始前的闲话） -- 明日枯荷包
家园 数学闲话（闲话开始前的闲话） 这个“数学闲话”的系列，准备讲一些在我其他帖子中用得到的数学知识。
因为这些东西也许会在不同的地方用到，所以如果只附在某一篇中不是太合适。还有一个是，其他帖子也许讲的问题太过专门，不喜欢那些问题的朋友也许懒得看，却搞得不是讲专门问题的帖子也看不到，我觉得我很亏，写东西就是希望别人看的。再一个是这个系列的讲法，我准备稍多忽悠，比较形而上，大家也看得轻松点。
我也不知道会写多少，既然说是“闲话”，就不拘小节了。讲什么，讲多少，怎么讲，都不准备计划得太周到。扯到哪里算哪里，会讲得既不周全又不严格。大家呢，也看看过就是，不要太认真，要以不求甚解的态度来读。不过我既然说“其他帖子中用得到”，也会讲点稍微深入的东西，作些推导证明。如果你不看那些“其他帖子”，那么如果不爱看那些推导证明，跳过去就行。而看其他帖子的，我会在其他那些帖子里补充说明没讲清楚的部分。
目录：
明日枯荷包:数学闲话（一）——代数结构(2) 群环域那些玩意儿
明日枯荷包:数学闲话（一）——代数结构(5) 那么，有什么用呢？
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本帖一共被 2 帖 引用 (帖内工具实现)家园 和《通向实在之路》一样，极好的数学科普，可惜断档了 要是能介绍到非交换几何，拓扑斯理论等等就更好玩了！
家园 没能看完，但是非常赞赏这种讲解数学的方法 我不是极端的直觉主义数学派，但我仍旧觉得，如果一个理论不够直观，那它要不就是它自身有待优化以便更容易理解，要不就是有待人类改变自己的大脑结构以便更容易理解，再有就是它也许真的就没啥前途。
比如近世代数，其实有些概念（比如群）已经很直观了，但毕竟用起来要弯弯绕，而且抽象代数中数不清的新概念也会对喜欢简化思考的人给以沉重的打击。以微积分为例，无穷逼近和极限的概念早就有，但如果仅以数学定义，就显得及其繁琐，如果说积分导数就是距离，速度，加速度，加速度的加速度...或者面积，斜率，这显然大大促进了人对抽象概念的理解。再说复数，如果按euler定义复数，那只有专业数学才能理解，后来复数被理解为平面上的点，复平面被理解成球面在平面上的一种映射，乘法变为旋转，加法变为力的平行四边形中和，幂指数变为化直线为圆，一系列的直观优化导致它称为数学中的奇葩。在这个意义上，我觉得抽象代数尽管在上世纪取得瞩目的发展，但其中的去伪存精概念直观化的道路还有很长很长，也许这正是它的潜力所在。人的脑子宝贵就宝贵在：它容量是有限的，不能直接装下所有东西，所以才要找规律试图装下更多的东西，所以才有科学和规律的发现。
我觉得数学要平民化，平民才是数学的大地母亲，能从中不断汲取营养，否则就会枯死了。楼主的讲法其实已经有娓娓道来的感觉了，但其实我觉得还有点不够，这显然不是楼主功力的问题，而是语言文字的局限性了。其实楼主在理解这些复杂的数学概念的时候头脑中肯定有各种表象，甚至故事情节，如果能把它以动画的形式显示，或者拍成故事片科教片，把那些准确的数学概念的表象以图形声音动作的形式传达给观众，肯定会大大提高观众的整体数学素养。比看什么大片有用多了。讲数学就像听评书，看电影，看电视连续剧，玩电游...呵呵，瞎侃了
家园 不知道现在素数分布做的怎么样了 我有时候想，人类什么时候掌握了素数，就掌握了宇宙。。。
家园 黎曼猜想没有证明的话，素数分布研究就受到很多制约了 这个领域我因为想证明哥德巴赫猜想，很可能比楼主还要知道得多一些。
素数分布研究的一个重要函数π（x),注意这里的π与圆周率一点关系都没有，指的是小于x的素数的个数。
这个素数的个数是有准确的计算公式的，与所谓的ζ函数的零点有关。
所谓ζ函数指的是1+2（-s)+3(-S)+4(-s)+......
这里我用2（-s)表示2的-s次方（因为难以编辑成那种数学形式。这个函数经过解析拓展以后有很多的零点，有显然零点和非显然零点。
与π（x)直接相关的一个函数叫做ψ（x)---这个函数要说明白的话就需要把解析数论的基础知识或者说Λ（n)函数，Dirichlet级数什么的都说清楚了，总之，那两个函数是相联系的，有了一个函数就可以求出另外的函数。
ψ（x)约=x-∑x(ρ)/ρ,还有其他比较小的项，对应于ζ（s)函数的显然零点--即s=-2,-4,-6......等等一大堆式子的累加，而∑x(ρ)/ρ，这里的（ρ）还是同前面一样表示指数函数，ρ是ζ函数的非显然零点，即把所有的非显然零点的x(ρ)/ρ都要给累加起来。
黎曼猜想的意思是说，非显然零点的实部都等于1/2，如果是这样的话，那么就可以算出素数分布的余项是x的 1/2次方的倍数。
但是黎曼猜想不是那样好证的，人们只能从其他渠道，例如对零点的分布密度的规律，在潘承洞的那本书里面的素数分布的余项只达到xexp（-(logx)(-3/5)）的水平
陈景润之所以能够证明1+2,是因为人们对素数分布的理解接近于黎曼猜想的余项的值，黎曼猜想可以给出素数分布的平均值的误差大致为x的1/2次方除以log(2)x,而根据零点的密度分布，可以给出的误差，最精确的结果是x的1/2次方除以log(11)x--即差了一个logx的9次方
所谓1+2，x的1/2次方的平方等于x，所以容易证明，但是证明1+1呢，则根据那个已经接近于黎曼猜想的结果也是不对的---有另外的机制需要去找
家园 借宝帖请教一个问题，pi是如何得来的？ 既然是圆周长和直径的比，那这个无限不循环的数字是如何精确定义出来的？
或者是用圆内接正n边形推导，得到无穷级数得到的？
还是其它什么方法？
同样，那自然对数e又是根据什么来的呢？
家园 e的定义 有好几种方式，最常见的一种定义方式是：数列 a_n=(1+1/n)^n 的极限
家园 π=1-1/3+1/5-1/7+1/9-...... 当然还有很多其他的式子。
自然对数的底e很简单就是等于（1+1/n)的n次方，这里的n越大，就越趋近于e的准确值，或者说e=lim(1+1/n)^n 这里的 n--->无穷大
家园 比较有趣的是扔针法和投币法 PI的精确定义由公式完成即可，给定位数的具体数值则由现代电子计算机得出。
介绍两种比较另类的计算方法：
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%92%B2%E4%B8%B0%E6%8A%95%E9%92%88%E5%AE%9E%E9%AA%8C
投币法：
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%92%99%E5%9C%B0%E5%8D%A1%E7%BE%85%E6%96%B9%E6%B3%95
家园 扔针法和投币法不妥 因为这实际上默认了世界是平滑的 实际上空间并不平滑 我们测量不出而已
数学上的圆周率 是在一个欧式几何空间纯逻辑推理的
家园 你这个问题有点怪，不过关于派和自然对数的问题我也考虑过 我考虑的是圆周率和自然对数的概念是怎么产生的。坦白讲认识到圆周和直径的比是一个常数，这个可能不是特别直观，不过有正方形和三角形的例子在那摆着，估计PI的概念也自然会产生吧。至于具体数是怎么计算的，确实应该是逐渐逼近的，否则还能有其他的方式吗？我想可能也是有的，比如也可以弄把软尺子直接绕着圆周量，不过这样都比较粗糙（到小数点后两位是容易的，不过像祖冲之那样到7位就不大可能了），显然还是数学逼近比较准确些，是说想准确到几位就能准确到几位，至于怎么逼近，方法很多，查查就可以了，最直观的肯定应该是多边形逼近吧。
关于自然对数，说实在的，要是没有人告诉我有这么个数，再没学过对数，还真挺难产生这个概念的。至少我上大学之前不知道自然对数有啥用，也不知道它为啥产生，这曾经一度让我觉得很费解。不过关于这个概念的产生网上有，查查就行了。所以对于欧勒，只有顶礼膜拜了。当然如果复变函数是必然产生的，那自然对数底这个概念肯定是在那之前就会被人们所认识的。我没查过资料，但我相信，在中国近代数学之前，应该没有这个类似的概念。不像圆周率，世界上几乎所有民族都有这个概念。
家园 证明π即所有的圆的周长与直径的比是常数是阿基米德证明的 家园 对数产生的很早 是为了解决天体运算提出的，把大量繁琐的观测数据的乘法变成简单的加法，其他文化圈没有这种需要所以没有产生对数。自然对数的产生则和简化对数表有关：
我们可以从自然对数最早是怎么来的来说明其有多“自然”。以前人们做乘法就用乘法，很麻烦，发明了对数这个工具后，乘法可以化成加法，即：log(a * b) = loga + logb
但是能够这么做的前提是，我要有一张对数表，能够知道loga和logb是多少，然后求和，能够知道log多少等于这个和。虽然编对数表很麻烦，但是编好了就是一劳永逸的事情，因此有个大数学家开始编对数表。但他遇到了一个麻烦，就是这个对数表取多少作为底数最合适？10吗？或是2？为了决定这个底数，他做了如下考虑：
1.所有乘数/被乘数都可以化到0.1-1之内的数乘以一个10的几次方，这个用科学记数法就行了。
2.那么现在只考虑做一个0-1之间的数的对数表了，那么我们自然用一个0-1之间的数做底数。（如果用大于1的数做底数，那么取完对数就是负数，不好看；）
3.这个0-1间的底数不能太小，比如0.1就太小了，这会导致很多数的对数都是零点几；而且 “相差很大的两个数之的对数值却相差很小”，比如0.1做底数时，两个数相差10倍时，对数值才相差1.换句话说，像0.5和0.55这种相差不大的数，如果用0.1做底数，那么必须把对数表做到精确到小数点以后很多位才能看出他们对数的差别。
4.为了避免这种缺点，底数一定要接近于1，比如0.99就很好，0.9999就更好了。总的来说就是1 - 1/X ， X越大越好。在选了一个足够大的X（X越大，对数表越精确，但是算出这个对数表就越复杂）后，你就可以算 （1-1/X）^1 = p1 ,
（1-1/X）^2 = p2 ,
……
那么对数表上就可以写上 P1 的对数值是 1，P2的对数值是 2……（以1-1/X作为底数）。而且如果X很大，那么P1,P2,P3……间都靠得很紧，基本可以满足均匀地覆盖了0.1-1之间的区间。
5.最后他再调整了一下，用 （1 - 1/X）^ X作为底，这样P1的对数值就是1/X， P2的对数值就是2/ X，…… PX的对数值就是1，这样不至于让一些对数值变得太大，比如若X=10000,有些数的对数值就要到几万，这样调整之后，各个数的对数值基本在0-1之间。两个值之间最小的差为1/X。
6.现在让对数表更精确，那么X就要更大，数学家算了很多次，1000，1万，十万，最后他发现，X变大时，这个底数（1 - 1/X）^ X趋近于一个值。这个值就是1/e，自然对数底的倒数（虽然那个时候还没有给它取名字）。其实如果我们第一步不是把所有值放缩到0.1-1之间，而是放缩到1-10之间，那么同样的讨论，最后的出来的结果就是e了 --- 这个大数学家就是著名的欧拉(Euler)，自然对数的名字e也就来源于欧拉的姓名。
当然后来数学家对这个数做了无数研究，发现其各种神奇之处，出现在对数表中并非偶然，而是相当自然或必然的。因此就叫它自然对数底了。
也就是说最早发现用处的是1/e而不是e本身。
