主题：【求教数学问题】如何判别这个函数在原点附近的性质？ -- 晨枫

不知道她是不是已经学过L'Hopital's rule。如果是这样，因为当(x,y)\to(0,0)的时候分子、分母都趋于零，我们有

dy/dx |_{(x,y)=(0,0)}

=\lim_{x\to 0}(6*x^2+2*x-5*x^4)/(4*y^3-6*y^2+2*y)

=\lim_{x\to 0}((6*x^2+2*x-5*x^4)')/((4*y^3-6*y^2+2*y)')

=\lim_{x\to 0}(12*x+2-20*x)/(12*y^2*y'-12*y*y'+2*y'),

所以

(dy/dx |_{(x,y)=(0,0)})^2=\lim_{x\to 0}(12*x+2-20*x)/(12*y^2-12*y+2)=1.

因此在原点处的斜率是1或者-1，在原点附近的图象是近似为一个X形(y^2=x^2)。

不用L'Hopital's rule的话，利用你注意到的因式分解，我们可以注意到(x,y)\to(0,0)的时候近似地我们有

dy/dx=x/y

所以x*dx=y*dy，即d(x^2)=d(y^2)，所以x^2=y^2+C，其中C是一个常数。特别的，因为图象过原点，C=0。于是我们再次看到在原点附近的图象近似于两条垂直相交的直线y=x和y=-x。

嗯，大概是这样吧。希望有所帮助。Good luck!