主题：大家怎么看证明庞加莱定理 -- 北风之神

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原载：2006年08月17日 三联生活周刊

百年未解的谜题：庞加莱猜想

2006年08月17日 三联生活周刊

(下)

　　三天之后的晚上，田刚写下了这封回信。

　　标题:回复:新的预印本

　　亲爱的格里沙，我正在阅读你的论文。很有意思。你是否愿意访问MIT并就

这一工作做几个演讲？

　　田刚

　　佩雷尔曼的全名，是格利高里·雅科夫列维奇·佩雷尔曼，但熟悉的人，通

常都叫他格里沙。生于1966年的佩雷尔曼，中学时就读的是著名的圣彼得堡第

239中，这所学校，一向以高等数学和物理教学闻名。1982年，作为一名高中学

生，佩雷尔曼参加了国际数学奥林匹克竞赛，并以满分的成绩获得金牌。此后，

他在圣彼得堡大学获得了博士学位，接着在斯特科洛夫研究所(Steklov

Institute of Mathematics)谋得职位。1992年秋天，佩雷尔曼前往美国纽约大

学库朗研究所访问，随后，又于1993年春天，到了纽约州立大学的石溪分校。就

是在这期间，当时就职于库朗研究所的田刚认识了佩雷尔曼。

　　田刚回忆道，那时候，佩雷尔曼的研究方向，并不是几何分析和Ricci流，

而是度量几何。“他的思路很敏捷，做东西技术性和技巧性很强，而且很严谨。”

1994年，在加州大学伯克利分校任职米勒访问学者(Miller Fellow)时，佩雷尔

曼证明了著名的灵魂猜测(Soul Conjecture)，为他赢得了国际声誉。此外，他

还曾被邀请在国际数学家大会上做报告。大约在1994年左右，汉密尔顿到库朗研

究所作了一个关于 Ricci流的报告，佩雷尔曼也是听众之一。“让大家都有点惊

讶的是，他居然提了一个关于奇点的问题”——如何解决手术过程中产生的奇点，

正是证明庞加莱猜想中的关键一步——“现在看来，那个时候，佩雷尔曼就应该

已经对解决庞加莱猜想产生了兴趣。”田刚说。

　　在米勒访问学者期满后，佩雷尔曼回到圣彼得堡，继续“安静地”任职于斯

特科洛夫研究所。有一次，田刚遇到一位当时曾与佩雷尔曼共事的数学家，向他

打听佩雷尔曼的近况。得到的消息是，佩雷尔曼几乎已经离群索居，没人知道他

在做些什么。然后，就到了2002年11月。就像阿拉丁神灯中的神仙一样，佩雷尔

曼现身了，而且，带着有可能是正确的庞加莱猜想的证明论文。

　　佩雷尔曼的第一篇论文，发表在arXiv网站上。这是一个著名的学术论文网

站，最开始的用户多为物理学家，随后，数学家们也纷纷在上面发表自己的论文

预印本，以供同行参照评议。不过，通常而言，发表在arXiv网站上的文章不被

认为是正式发表的学术论文。

　　建立一个关键的椭圆形估计，应用粗细分解，来给出瑟斯顿几何化猜测的证

明，这被认为是佩雷尔曼的“神来之笔”。在随后发表于网上的第二篇论文中，

佩雷尔曼给出了更多的证明细节。看过论文的田刚，益发认识到这项工作的重要

性。而“几乎是幸运的”，2002年12月3日，佩雷尔曼给田刚回了信，表示愿意

到麻省理工学院演讲。

　　在一般的描述中，佩雷尔曼是一个怪人:胡子头发都很长，不修边幅，衣服

经常很久不洗。今年40岁的他，至今单身，与母亲生活在一起。因为父亲去世早，

佩雷尔曼事母至孝，又一种说法是，当时他在美国，曾经有很多学校邀请他任教，

但佩雷尔曼坚持回国，原因就是牵挂母亲。2003年访问麻省理工学院时，他的条

件之一，就是要携母同行。

　　不过，在田刚的眼中，佩雷尔曼的“怪”，只是远离物质化和名利世界的一

种表现。在讨论学术问题时，他和最严谨的数学家一样，愿意就每一个细节认真

地回答。2003年的4月7日、9日和11日，佩雷尔曼在麻省理工学院作了3个演讲，

除此以外，在两周的访问时间里，他还作了一系列报告，时间超过20个小时，非

常仔细地回答每一个问题。这时候，庞加莱猜想被证明的消息，开始流传出去，

《纽约时报》和“数学世界”(MathWorld)网站都刊登了相应的消息。

　　然而，就是在麻省理工学院的讲座后，有数学家表示，佩雷尔曼的文章存在

“gaps” (漏洞)，无法读通。就在所有人都期待佩雷尔曼就此作出解释，补全

文章的细节之时，佩雷尔曼却不置一词，翩如惊龙，自此隐居不出。两篇文章放

在网上，3年多来，没有显示任何准备交由学术杂志发表的迹象。这给曾规定，

必须在学术刊物上发表论文才有资格被颁给千年数学问题奖金的克雷数学研究所，

出了个不大不小的难题。在接受本刊记者采访时，克雷所所长卡尔森表示，不排

除为此修改规定的可能。

　　可是，佩雷尔曼会接受这笔奖金吗？最近的消息，是他因为不愿参与江湖中

的名利之争，已经从斯特科洛夫研究所辞职，靠着10年前在美国访问时的积蓄维

生，躲起来思考另一个大问题。因为佩雷尔曼曾经拒绝领取欧洲数学会颁发的一

个奖项，很多人怀疑，菲尔茨奖和克雷所的百万悬赏，都未必能打动这个世外高

人的心。

　　三驾马车

　　如果把庞加莱猜想比作一局棋，在汉密尔顿和佩雷尔曼下完最关键的几步后，

余下的，已经是收官的工作。

　　不能说这个工作不重要。“高手或许一步可以看到7步后的变化，棋艺稍逊

的人或许只能看到2步，剩下的5步，就是gaps。”普林斯顿大学数学系的一位教

授说，“只有完完整整把每一步的走法写下来，才能算是一个完整的证明。”

　　而在丘成桐看来，需要做的工作，可能比补上缺失的几步还要多。“一篇论

文，从2002年放到现在，3年半的时间，为什么一直没有人站出来说看得懂？关

键是其中还有很多问题没有解决。”他认为的关键问题，是几何化猜想，而天降

大任于斯人的对象，就是朱熹平和曹怀东。

　　2005年5月中旬，为了纪念一年前刚刚去世的陈省身先生，丘成桐在哈佛大

学组织了一个微分几何的研讨会。朱熹平也被邀请参加这个会议。会议间隙，丘

成桐问朱熹平:“做得怎么样了？”

　　“基本上完成了，可是要到暑假的时候才能全部写出来。”

　　丘成桐当即决定:“你来哈佛，专门讲这个问题。”经哈佛数学系教授表决

同意，这一年 9月，朱熹平来到了哈佛，向这一领域的专家讲解他和曹怀东的证

明论文。每周讲3个小时，一共讲了70多个小时，这些内容与曹怀东的研究结果

汇集整理之后，就是后来发表在《亚洲数学杂志》上的328页的《庞加莱猜想和

几何化猜想的完全证明——汉密尔顿-佩雷尔曼Ricci流理论的应用》(A

Complete Proof of the Poincar and Geometrization Conjectures -

application of the Hamilton-Perelman theory of the Ricci flow)。

　　《亚洲数学杂志》是丘成桐主编的一本相对比较年轻的杂志。与公认排名前

四的《美国数学年刊》、德国的《数学发明》、《美国数学会杂志》和瑞典的

《数学学报》相比，分量上的确稍显不足。而且，《亚洲数学杂志》的两名编委，

斯瑞尼瓦斯 (Srinivas)和普拉萨德(Prasad)在论文发表后写给编委会的邮件中

也指出过一些问题:比如，最终发表论文的题目与最初征询编委同意时的题目不

一致;直到杂志出版后近半个月的6月13日，杂志全文仍无法下载，与以往惯例不

符;论文的审稿没有遵循复杂的程序，留给编委评论的时间也只有3天。之所以会

存在这些问题，丘成桐的解释是——“竞争”。虽然在程序上或有可商榷之处，

但丘成桐敢于用自己的学术声誉为朱熹平和曹怀东的工作担保:“完完整整，每

一步写得清清楚楚，第一次给出了全部的证明，可以用来做教科书。”在接受

《科学时报》记者采访时，丘成桐说。而汉密尔顿，则给出了如下的评价:“曹

怀东与朱熹平最近在佩雷尔曼与前人的工作基础上，给出了关于庞加莱猜想证明

的一个完整与详细的描述。我很高兴这两位Ricci流领域里的杰出学者所写的这

篇文章。他们引入了自己的新思想，使得证明变得更容易理解。”

　　的确，竞争是激烈的。就在《亚洲数学杂志》6月号出版前的5月25日，密歇

根大学的布鲁斯·克莱纳(Bruce Kleine)和约翰·洛特(John Lott)，把名为

“佩雷尔曼论文注记”(Notes on Perelman's Papers)的192页文章放到了arXiv

网站上。这是对他们2004年关于佩雷尔曼部分工作的注记的修改和补充。

　　比这再早一些时间，2004年9月，田刚和哥伦比亚大学的拓扑学家约翰·摩

根 (John Morgan)决定合作，在田刚之前给学生开讨论班研读佩雷尔曼论文时留

下的笔记的基础上，撰写一部关于庞加莱猜想的书。这部书稿，得到了克雷数学

研究所的著述专项资助(Book Fellow)。2006年5月，摩根和田刚合作完成的书稿

提交给了克雷数学研究所，并在7月25日把这本473页的书放到了arXiv网站上。

而此时，国际数学家大会已确定，将由摩根在8月24日作一个关于庞加莱猜想的

公众报告。

　　3个小组，3驾马车，彼此的差异在哪里？在接受本刊记者采访时，摩根说:

“2004 年8、9月间，我和克莱纳、洛特以及田刚和其他一些人共同参加了一次

学术会议。我们研读了佩雷尔曼的第二篇文章。这之后，我认为，我们彼此都觉

得佩雷尔曼了解问题所在。我和田刚对庞加莱猜想感兴趣，并且给出了我们认为

的完整的证明，而克莱纳和洛特、曹怀东和朱熹平的文章，关心的是整个几何化

猜想的问题，并把问题的范围缩小到Shioya-Yamaguchi的工作的范围内。而这项

工作，反过来要借助佩雷尔曼自1990年以来未发表的文章。我的感觉是，在最后

几步中所引用的数据，可能需要进行更彻底细致的检查。”不过，在克雷研究所

所长卡尔森的眼中，事情，也许并没有那么复杂。“克莱纳和洛特，曹怀东和朱

熹平，摩根和田刚，3个小组中的每一个都对检验佩雷尔曼的工作做出了重要的

贡献。能够有3个独立的数学家小组来做这件事，当然比只有一个小组要好得多

了。”

　　而且，所有的竞争，仿佛只是让佩雷尔曼最终获得菲尔茨奖的成算，变得更

大。

　　如果一切如普遍的预料，那么，在数学论文日益冗长繁复的今日，佩雷尔曼

将创下一个新的纪录:可能为他赢来数学家最高荣誉的两篇网上论文，分别只有

22页和39页。

　　“大张旗鼓地面对一个众人皆知的难题，将会冒很大的风险。”1982年的菲

尔茨奖得主阿兰·孔曾经在一篇论文的序言中如此写道，“以后人们记住他的将

是他的失败，而不是别的。随着年龄的增大，我认识到‘安全地’到达生命的终

点是一种很好的自我保护的选择。”对于在过去20年的时间里一直致力于攀登数

学世界里的珠穆朗玛峰——黎曼猜想——的阿兰·孔来说，这段话，更像是一段

幽默的自嘲。庞加莱猜想的故事，也许会在几个星期、几个月或者几年内迎来一

个圆满的——或许也是出人意料的——结局，但它所开拓的疆域，和数学世界广

袤无垠充满挑战与乐趣的地平线，还将无穷无尽的向远方延伸。

　　故事，永远在继续……-

　　（转载者注：2006国际数学家大会于22日在马德里开幕当天宣布，本届菲尔

兹奖由4人分享，他们分别是俄罗斯的格里戈里·佩雷尔曼、安德烈·奥昆科夫、

法国的文德林·维尔纳和澳大利亚的陶哲轩。）