主题：【原创】“罪大恶极”的数学家 -- 潘承彪 -- 萨苏

但是严格化以后的几何公理和欧几里德的体系在平行公设上是一致的，不同点在于加了一些公理，补足了原来不自觉地依赖于直觉而没有标明的公理，如顺序公理，完备公理等。上面的那个证明的“错误”在于没有顺序公理作保证，中学里恰恰没有这个公理，因此如果仅从中学的公理体系来看，这个证明是对的，你认为那个证明是错的，必定是引进了一些欧几里德公理没提到的几何直观，比如说角平分线和对边的中垂线交于三角形之外，当然，这个符合事实，但却不是用欧几里德公理能够证明的。

几何公理的不完备会导致公理确定的几何和直观的几何不相等，从而引发矛盾（并非真正的矛盾，因为直观是不能作为证据的，只能引导我们去寻找一个更好的表述）。比如说，如果去掉了完备公理，我们就可以构造一个以通常平面上所有从单位出发尺规可作的点、线（线上的点当然只取尺规可作的那些）为对象的“平面几何”，这个模型不仅满足中学里的所有平面几何公理，而且满足希尔伯特公理去掉完备公理后的所有公理，显然，这种几何不是我们想要的。