主题：三、卦变数学结构 -- 唵啊吽

定义一：

一个卦g在易经中有六爻组成，从下至上六个爻为分别定义为初、二、三、四、五和上爻位。每个爻位可以放两种爻之一，阴爻和阳爻。阴爻名六，阳爻名九。

例1.1：

乾卦的卦像就是｛初九、九二、九三、九四、九五、上九｝，坤卦的卦像就是｛初六、六二、六三、[**]、六五、上六｝。

推理1.1：

一个卦g就是六维布尔空间中一个点（a、b、c、d、e、f）。

例1.2：

乾卦就是（1、1、1、1、1、1），坤卦就是（0、0、0、0、0、0）。

推理1.2：

六维布尔空间总共有64个点。这些点的集合G就是易卦空间。一个卦变f，就是G到G的一个映射，或G到G的一个函数，或定义在G空间上的一个单元素操作。

中国易学中所有卦变F组成一个G到G的映射的集合。下边让我们整理这个中国易学卦变集合的元素。

1、消息。

定义2：

将一个卦g中的某些爻变性，得到一个新卦g’，称为消息。有阳变阴谓之消，由阴变阳为之息。如蒙卦（0、1、0、0、0、1）消二息一就变成颐卦（1、0、0、0、0、1）。

对于一个卦，总存在一个消息将其变为任意指定的另一个卦。即总共应该有63个消息操作。如果我们把零消息操作加进去，即无消无息也算作一个消息操作，那么我们就有64个消息操作。这六十四个消息组成G的共轭空间F。这样，卦像空间G包涵64个卦象g（b），消息操作空间F包涵64个消息操作f（b），其中b是六维布尔空间的一个点。即对应于六维布尔空间的一个点b，我们可以有一个易卦g(b)和一个消息f（b）。例如比卦（0、0、0、0、1、0）可以代表易卦空间G中的一个卦象，也可以代表消息F中的一个消息f（5），即第5爻变性的消息操作。

定义3：

当一个卦象用做代表一个G到G的映射的时候，消息象中的阳爻指示本卦相应爻位上的爻为变爻，消息象中的阴爻指示本卦相应爻位上的爻为不变爻。

例3.1：履卦（1、1、0、1、1、1）用作代表消息操作的时候，就表示初、二、四、五、上为变爻，等价于消息f（12456）。

例如

f（12456）泰卦（111000）＝遁卦（001111），即履卦代表消息操作的时候，把本卦泰卦变为变卦遁卦。

消息在占卜中有普遍的应用。占卦是占得本卦和变爻，则变爻改变爻性得到变卦，这就是消息操作。乾卦对应于f（123456），即六爻皆变。坤卦对应于零消息f（0），即不变，或没有占得变爻。即乾卦对应于极大的消息，坤卦对应于极小的消息。乾卦至动，坤卦至静。

定理1：

任何一个消息作用两次等于零消息。

如f（5）将第5爻变性，消息第5爻，变性一次以后，得到新卦，用f（5）对新卦再操作一次，则返回本卦。定理1表达为f（b）f（b）＝f（0）。即重复使用一个卦对应的消息操作等于坤卦对应的消息操作，即零操作。

推理1.1：在消息空间中，乾乾为坤；其中乾和坤不是卦象，而是消息象。

推理1.2：在消息空间中，所有卦的平方都是坤。即乾乾为坤，但坤坤还是坤。坤主聚，如大海纳百川。注意，这里说的是消息空间，是操作符空间，有别于易卦象空间。消息空间中消息象中阳爻指示变爻的爻位，而阴爻指示不变的爻位。

传统习惯是对一事只能占卦一次，再占就不灵了。不能占到自己不喜欢的卦就不要，重新再占一次。我以为这种传统和定理一并没有必然关联，传统是对占卦人的权威的尊重和对所得卦神机的敬重。

2、旁通。旁通就是将一个卦的所有爻都变性卦变为新卦。如乾卦的傍通就是坤卦。需卦（1、1、1、0、1、0）旁通就变为胥卦（0、0、0、1、0、1）。旁通是消息的一个特例，就是乾卦代表的消息操作。

3、往来。往来就是两个不同爻位上的爻交换。如屯卦（1、0、0、0、1、0）二五往来就卦变为临卦（1、1、0、0、0、0）。往来操作共有5+4+3+2+1＝15个。对于这15个往来操作中的7个屯卦变回自身，或者说，对于其中7个往来操作，屯卦是不动点。

定理2：任何一个往来操作w（ij），把易卦象空间G分为这样两个子卦象空间：i爻位与j爻位爻性相同的卦组成子卦象空间E（ij），i爻位与j爻位的爻性不同的卦组成的子卦象空间M（ij）。w（ij）作用于E（ij）空间里的卦相当于零消息f（0）操作，w（ij）作用于M（ij）里的卦象相当于f（ij）操作。如二五往来w（25）对于E（25）空间等于坤消息，对于M（25）等于坎消息。E（ij）有32个卦象，M（ij）也有32个卦象，E（ij）+M（ij）＝G。M（ij）空间又分为16对卦象，每对卦象在往来w(ij)作用下相互转换，你变成我，我变成你。

4、内八卦组合。

定义4：八卦是三维布尔空间B（3）的点。

八卦为坤（0、0、0），震（1、0、0），坎（0、1、0），兑（1、1、0），艮（0、0、1），离（1、0、1），巽（0、1、1），乾（1、1、1）。

定义5：每个易卦可以生成四个内八卦：（初、二、三），（二、三、四），（三、四、五），（四、五、六）。其中（初、二、三）和（四、五六）称为上下卦，（二、三、四）和（三、四、五）称为互体卦。

例5.1:小畜卦（1、1、1、0、1、1）生成内八卦乾（1、1、1），兑（1、1、0），离（1、0、1），巽（0、1、1）。其中乾和巽是易卦小畜的上下卦，兑和离是易卦小畜的互体卦。

定义6：把两个八卦上下相叠而构成一个易卦，记作B（3）X B(3)＝G。即易卦空间是两个八卦空间的直积。

定义7：用本卦生成的四个内八卦相叠而构成的变卦定义为内八卦组合操作。

共有12个内八卦组合卦变操作。

例7.1：

否卦（0、0、0、1、1、1）有四个内八卦坤、乾、艮、巽。

内组合乾上坤下为本卦，是内八卦组合中的不变操作。

内组合坤上乾下为泰卦，本卦否变为变卦泰就是把上下八卦相互易位，这个操作在传统中称为“上下象易”。

互体八卦的内组合：艮上巽下得变卦蛊，巽上艮下得变卦渐。传统称为互体卦变。

互体卦和上下卦的内组合艮上坤下、巽上坤下、艮上乾下、巽上乾下、以及这四个变卦的上下易象，传统称为“连互”卦变。

5、反对。倒转就是把一个卦反过来看，这个新卦称为原卦的复卦。如讼卦（0、1、0、1、1、1）反对成为需卦（1、1、1、0、1、0）。

无论是内八卦组合还是反对，对于某特点的易卦，都对应于某个消息操作。如讼卦反对成需卦，对应的消息是f（1346），即初、三、四、上爻消息。反之，如果占得本卦和变爻得到的变卦刚好是某个反对操作、或者内组合操作、或者上下易象操作，或者往来操作，那么，这个变卦就揭示了本卦的什么特性在这个变卦中起来作用，这有点像“性格决定命运”。即同样的环境和外部条件，同样的消息，本卦不同，结果大不一样。在同样的消息操作下，某些易卦是一成不变，某些易卦变为反对，某些卦变为往来，某些卦变回胡体等等。

结论：64个消息操作F是完备的卦变操作集合，其它卦变操作等价于某个消息操作，是否等价以及等价于那类卦变操作是由本卦的结构决定的，因而揭示了卦象的某些特征。所以，卦变成为研究易卦的重要工具之一。